Déterminants : cours, méthodes et exercices corrigés

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• TSI 2
• TPC 2
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Déterminant d'une matrice carrée et ses propriétés, calcul par opérations élémentaires et par développement, caractérisation des matrices inversibles, déterminant d'une famille de vecteurs et d'un endomorphisme, aires et volumes orientés, déterminants classiques (Vandermonde, tridiagonaux), formules de Cramer au Maroc.

• 12méthodes
• 39exercices corrigés
• 4problèmes
• 19pièges
• 2figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Le déterminant associe à toute matrice carrée un nombre qui dit, en une seule valeur, si la matrice est inversible, si une famille de vecteurs est une base, et de combien un endomorphisme dilate les aires ou les volumes. C'est l'outil central du chapitre suivant (polynôme caractéristique, valeurs propres) et un outil quotidien de la géométrie et de la résolution des systèmes. À la fin, tu dois savoir :

• énoncer les propriétés qui caractérisent le déterminant et les utiliser pour calculer sans développer brutalement ;
• calculer un déterminant d'ordre $2$, $3$ ou $4$ par opérations élémentaires et par développement selon une ligne ou une colonne ;
• décider de l'inversibilité d'une matrice, discuter un déterminant à paramètre, factoriser un déterminant ;
• calculer un déterminant tridiagonal ou de Vandermonde par récurrence ;
• interpréter un déterminant comme une aire ou un volume orienté, et définir le déterminant d'une famille de vecteurs et d'un endomorphisme.

Plan du cours

• 1. Déterminant d'une matrice carrée
  • 1.1 Ordre 2 et 3 : aires et volumes
  • 1.2 Définition générale
• 2. Propriétés et calcul par opérations élémentaires
  • 2.1 Opérations sur les colonnes et les lignes
  • 2.2 Transposée, produit, inverse
• 3. Développement selon une ligne ou une colonne
• 4. Déterminant d'une famille de vecteurs, d'un endomorphisme
  • 4.1 Famille de vecteurs dans une base
  • 4.2 Interprétation géométrique
  • 4.3 Déterminant d'un endomorphisme
• 5. Formules de Cramer

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Ordre 2 et 3 : calculer et contrôler
2. Faire apparaître des zéros par opérations élémentaires
3. Développer selon une ligne ou une colonne
4. Déterminant à paramètre et inversibilité
5. Factoriser un déterminant
6. Déterminant par récurrence
7. Le déterminant de Vandermonde
8. Montrer qu'une famille est une base
9. Déterminant d'un endomorphisme sans grosse matrice
10. Déterminant polynomial : degré, racines, coefficient dominant
11. Discuter un système carré à paramètre
12. Résoudre un système par les formules de Cramer

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

• Ordre 2 et 3
• Opérations élémentaires
• Développement selon une ligne ou une colonne
• Effet des opérations sur un déterminant connu
• Inversibilité d'une matrice à paramètre
• Factoriser
• Triangulaires et blocs
• Bases et déterminants
• Aires et volumes
• Déterminants d'endomorphismes géométriques
• Déterminant et équations matricielles
• Déterminant d'une matrice $xI_n - A$
• Rang selon un paramètre
• Aire de l'image d'une figure

Entraînement (20)

• La matrice $aI_n + bJ_n$
• Déterminant de Vandermonde
• Déterminant tridiagonal
• Déterminant tridiagonal général
• Déterminants par blocs d'ordre 4
• Rang d'une matrice à paramètre
• Permutations et matrices compagnon
• Système linéaire et déterminant
• Déterminants d'endomorphismes de polynômes
• L'endomorphisme $M \mapsto AM$
• Dérivée d'un déterminant
• Déterminant circulant d'ordre 3
• Alignement, droites et plans
• Un déterminant tridiagonal à deux racines
• Factoriser par les racines
• Inversibilité d'une matrice d'ordre 4 à paramètre
• Une base de polynômes
• Interpolation par trois points
• Résolution par Cramer
• Système à paramètre par Cramer

Approfondissement (5)

• $\det(A + xJ_n)$ est affine en $x$
• Un déterminant positif
• Perturbation de rang 1
• Familles libres de fonctions
• Inégalité de Hadamard en dimension 2 et 3

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Expression d'un déterminant de Vandermonde
  CNC 2012, filière TSI, Mathématiques II, première partie
• Matrices tridiagonales et suite de Fibonacci
  CCINP 2024, filière TSI, Mathématiques, problème 1, questions 10, 12, 13, 18, 21 à 23 et 25 à 27
• Un déterminant tridiagonal et ses racines
  Centrale 2015, filière TSI, Mathématiques 1, questions I.B.1 à I.B.3
• Inverse d'une matrice par les déterminants extraits
  Banque PT 2019, Mathématiques B, deuxième partie, questions 1 à 4

Comment y accéder

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