Topologie des espaces vectoriels normés : cours, méthodes et exercices corrigés

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Normes et distances, suites et valeurs d'adhérence, comparaison des normes, ouverts, fermés, adhérence et densité, continuité, applications linéaires continues et norme d'opérateur, compacité, connexité par arcs, espaces de dimension finie.

• 12méthodes
• 41exercices corrigés
• 4problèmes
• 23pièges
• 3figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

En première année, les limites, la continuité et les suites se traitaient dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, avec la valeur absolue ou le module pour mesurer les distances. Ce chapitre remplace la valeur absolue par une norme sur un espace vectoriel quelconque : $\mathbb{K}^n$, un espace de matrices, un espace de fonctions. Le vocabulaire (ouvert, fermé, adhérence, compact, connexe par arcs) et les théorèmes (bornes atteintes, valeurs intermédiaires, continuité des applications linéaires en dimension finie) serviront dans toute la suite : séries, suites et séries de fonctions, calcul différentiel, équations différentielles. À la fin, tu dois savoir :

• vérifier qu'une application est une norme et comparer deux normes, en particulier sur des espaces de fonctions ;
• manier les suites d'un espace normé, leurs valeurs d'adhérence, et le passage d'une norme à une norme équivalente ;
• montrer qu'une partie est ouverte, fermée, dense, déterminer une adhérence ou un intérieur, avec la caractérisation séquentielle ;
• étudier la continuité d'une application, en particulier d'une application linéaire, et calculer une norme d'opérateur ;
• utiliser la compacité (bornes atteintes, convergence par unicité de la valeur d'adhérence) et la connexité par arcs (valeurs intermédiaires) ;
• exploiter la dimension finie : équivalence des normes, compact égale fermé borné, continuité automatique des applications linéaires et polynomiales.

Plan du cours

• 1. Normes et distances
  • 1.1 Normes
  • 1.2 Distance, boules, parties bornées
• 2. Suites d'un espace vectoriel normé
• 3. Comparaison des normes
• 4. Topologie d'un espace vectoriel normé
  • 4.1 Ouverts et fermés
  • 4.2 Intérieur, adhérence, frontière
  • 4.3 Caractérisation séquentielle et densité
  • 4.4 Ouverts et fermés relatifs
• 5. Limites et continuité
  • 5.1 Limite en un point
  • 5.2 Continuité
  • 5.3 Uniforme continuité, applications lipschitziennes
• 6. Applications linéaires continues
• 7. Compacité
• 8. Connexité par arcs
• 9. Espaces vectoriels normés de dimension finie

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une application est une norme
2. Comparer deux normes
3. Montrer qu'une partie est ouverte ou fermée
4. Déterminer intérieur, adhérence et frontière
5. Montrer qu'une partie est dense
6. Étudier la continuité d'une application
7. Continuité d'une application linéaire et norme d'opérateur
8. Utiliser la compacité pour un extremum
9. Montrer qu'une suite converge par compacité
10. Étudier la connexité par arcs
11. Exploiter la dimension finie
12. Raisonner par densité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

• Vérifier des normes
• Boules unités dans le plan
• Comparaison des normes usuelles sur $\mathbb{K}^n$
• Distance à une partie
• Suites de matrices
• Valeurs d'adhérence
• Normes non équivalentes
• Ouverts et fermés du plan
• Intérieur, adhérence, frontière
• Continuité en un point
• Normes d'opérateur d'une forme linéaire sur $\mathbb{R}^2$
• Compact ou non
• Adhérence et intérieur d'une réunion, d'une intersection
• Normes sur des espaces de polynômes
• Comparer les ouverts de deux normes

Entraînement (19)

• Une norme sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^1$
• Une famille de normes sur $\mathbb{K}[X]$
• Normes matricielles usuelles
• Formes linéaires sur $\mathcal{C}([0, 1])$
• Topologie des sous-espaces vectoriels
• Densité de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et comatrice
• Lipschitz, uniforme continuité
• Distance entre un compact et un fermé
• Connexité par arcs : exemples
• Perturbation de l'identité et ouverture de $\mathrm{GL}_n$
• Fermés et compacts de matrices
• Distance à un fermé en dimension finie
• Calcul de normes matricielles
• Convexité, adhérence et distance
• Une forme linéaire sur les suites de limite nulle
• Norme d'opérateur de l'intégration
• Matrices de rang au plus $r$
• Valeurs propres et norme d'opérateur
• Projection sur un convexe fermé

Approfondissement (7)

• Forme linéaire continue et noyau fermé
• Une boule fermée non compacte
• Somme d'un compact et d'un fermé
• Point fixe sur un compact
• Continuité de l'inversion
• Une distance non atteinte
• Composantes connexes par arcs de $\mathrm{GL}_n$

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Topologie du groupe linéaire
  CCINP 2020, filière MP, Mathématiques 2, exercice II, questions 5 à 9
• Normes sur les matrices et suites de matrices
  CNC 2017, filière MP, Mathématiques II, parties I et II
• Approximation polynomiale et dépendance d'une limite vis-à-vis de la norme
  CCINP 2015, filière MP, Mathématiques 1, problème, questions III.1 à III.5
• Continuité de deux endomorphismes selon la norme
  Mines-Ponts 2017, filière MP, Mathématiques 1, questions 6 à 9

Comment y accéder

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