Compléments d'algèbre linéaire : cours, méthodes et exercices corrigés

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• TSI 2
• TPC 2
• Offert à l'essai

Sommes directes de plusieurs sous-espaces, projecteurs, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d'endomorphismes et de matrices, interpolation de Lagrange.

• 18méthodes
• 42exercices corrigés
• 5problèmes
• 28pièges
• 5figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

L'algèbre linéaire de première année a construit les objets : espaces vectoriels, bases, applications linéaires, matrices, déterminants. Ce chapitre les reprend avec un objectif précis, préparer la réduction des endomorphismes, c'est-à-dire l'art de choisir une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme devient simple. Pour cela, il faut savoir découper un espace en morceaux (sommes directes de plusieurs sous-espaces), reconnaître les morceaux qu'un endomorphisme respecte (sous-espaces stables), lire une matrice par blocs, disposer d'un invariant de similitude facile à calculer (la trace), et faire agir des polynômes sur un endomorphisme (polynômes annulateurs). À la fin, tu dois savoir :

• montrer qu'une somme de sous-espaces est directe, que des sous-espaces sont supplémentaires, construire une base adaptée à une décomposition ;
• manipuler projecteurs et symétries, et les reconnaître par leurs équations $p^2 = p$ et $s^2 = \mathrm{id}$ ;
• prouver qu'un sous-espace est stable, écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée et la lire par blocs ;
• calculer avec la trace et savoir ce qu'elle dit d'une matrice ;
• utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice et calculer ses puissances ;
• pour les filières concernées, manipuler les polynômes d'un endomorphisme, la base d'interpolation de Lagrange et le déterminant de Vandermonde.

Plan du cours

• 1. Sommes de sous-espaces
  • 1.1 Familles de vecteurs
  • 1.2 Produit d'espaces vectoriels
  • 1.3 Somme d'une famille finie de sous-espaces
  • 1.4 Sommes directes
  • 1.5 Dimension d'une somme, bases adaptées
• 2. Projecteurs, symétries, hyperplans
  • 2.1 Projecteurs
  • 2.2 Symétries
  • 2.3 Hyperplans
  • 2.4 Propriété universelle de la somme directe
• 3. Sous-espaces stables et matrices par blocs
  • 3.1 Matrices définies par blocs
  • 3.2 Sous-espaces stables, endomorphisme induit
  • 3.3 Traduction matricielle de la stabilité
  • 3.4 Stabilité et commutation
  • 3.5 Rappels sur les déterminants
• 4. Trace
  • 4.1 Trace d'une matrice carrée
  • 4.2 Trace d'un endomorphisme
  • 4.3 Transposée, matrices symétriques et antisymétriques
  • 4.4 Matrices semblables
• 5. Polynômes de matrices et d'endomorphismes
  • 5.1 Polynôme d'une matrice carrée
  • 5.2 Polynômes d'un endomorphisme
  • 5.3 Polynômes annulateurs : inversibilité, inverse, puissances
• 6. Interpolation de Lagrange
  • 6.1 Base de Lagrange
  • 6.2 Déterminant de Vandermonde

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une somme de sous-espaces est directe
2. Montrer que des sous-espaces sont supplémentaires
3. Reconnaître et utiliser un projecteur ou une symétrie
4. Montrer qu'un sous-espace est stable
5. Construire une base adaptée et lire la matrice par blocs
6. Exploiter un sous-espace stable
7. Calculer avec des matrices par blocs
8. Exploiter la trace
9. Formes linéaires sur $\mathcal{M}_n(K)$
10. Montrer que deux matrices sont semblables, ou ne le sont pas
11. Inverser une matrice par un polynôme annulateur
12. Calculer les puissances par division euclidienne
13. Décomposer l'espace à partir d'un annulateur scindé à racines simples
14. Étudier un endomorphisme nilpotent
15. Noyaux et images itérés
16. Déterminer un commutant
17. Résoudre un problème d'interpolation
18. Utiliser le déterminant de Vandermonde

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

• Sommes directes ou non ?
• Polynômes pairs et impairs
• Un projecteur de $\mathbb{R}^3$
• La symétrie associée
• Sous-espace stable et base adaptée
• Calculs par blocs
• Autour de la trace
• Traces d'endomorphismes de $\mathcal{M}_n(K)$
• Semblables ou non ?
• Inverser avec un polynôme annulateur
• Puissances par division euclidienne
• La dérivation sur $K_n[X]$
• Noyau et image de $M \mapsto AM$
• L'endomorphisme $P \mapsto P(X + 1) - P$
• Un endomorphisme annulé par $X^2 - X - 2$

Entraînement (17)

• Projecteurs de somme identité
• Noyau et image : quand sont-ils supplémentaires ?
• Un annulateur à trois racines simples
• L'endomorphisme $X \mapsto X + \operatorname{tr}(X) A$
• Formes linéaires sur $\mathcal{M}_n(K)$
• Matrices de rang 1
• Endomorphismes nilpotents
• Noyaux et images itérés
• Blocs symétriques
• Commutants
• La transposition comme symétrie
• Semblables sur $\mathbb{C}$, semblables sur $\mathbb{R}$
• Quand la somme de deux projecteurs est-elle un projecteur ?
• Calculer $BA$ connaissant $AB$
• La relation $AB - BA = A$
• Homothéties
• Endomorphismes vérifiant $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Im} u$

Approfondissement (10)

• Endomorphismes de carré $-\mathrm{id}$
• Hyperplans de $\mathcal{M}_n(K)$ et matrices inversibles
• Dimension d'un sous-espace d'endomorphismes
• Moyenne sur un groupe fini de matrices
• Déterminant de $u + v$ avec $v$ nilpotent
• Annulateur scindé à racines simples et projecteurs de Lagrange
• Interpolation et formules de quadrature
• Autour du déterminant de Vandermonde
• Hyperplans et supplémentaires
• Familles de polynômes échelonnées

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Décompositions de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ stables par les crochets
  CNC 2018, filière PSI, Mathématiques II, problème 2, questions 4.1 à 5.3.2
• Traces, projecteurs et diagonale d'une matrice
  Mines-Ponts 2014, filière PC, Mathématiques 1, questions 1 à 16
• Endomorphismes diagonaux par blocs de taille 1 ou 2
  CCINP 2026, filière PSI, problème, parties I et II, questions 21 à 36
• Matrices de trace nulle et sommes de matrices de carré nul
  Mines-Ponts 2026, filière PSI, Mathématiques 1, questions 1, 6, 7 et 8
• Un annulateur à racines simples ou doubles
  CCINP 2026, filière PSI, problème, partie III, questions 37 à 43

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter.