Structures algébriques usuelles : cours, méthodes et exercices corrigés

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Groupes, anneaux, corps et algèbres : sous-groupes engendrés, ordre d'un élément, idéaux, arithmétique de Z et de K[X], anneau Z/nZ, théorème chinois.

• 18méthodes
• 36exercices corrigés
• 3problèmes
• 28pièges
• 7figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

En première année, tu as manipulé des groupes, des anneaux et des corps sans presque jamais avoir besoin de la théorie : les entiers, les polynômes, les matrices, les permutations. Ce chapitre reprend ces objets avec un regard plus algébrique. Deux idées nouvelles le traversent : le sous-groupe engendré et l'ordre d'un élément d'un côté, la notion d'idéal de l'autre, qui unifie l'arithmétique de $\mathbb{Z}$ et celle de $K[X]$. Au bout, un nouvel objet, l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, que tu retrouveras en probabilités, en informatique et aux concours. À la fin, tu dois savoir :

• décrire le sous-groupe engendré par une partie, reconnaître un groupe monogène ou cyclique, calculer l'ordre d'un élément et utiliser le théorème de Lagrange ;
• manipuler les idéaux d'un anneau commutatif, savoir que les idéaux de $\mathbb{Z}$ et de $K[X]$ sont principaux, et relire le PGCD et Bézout avec ce langage ;
• calculer dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : inversibles, corps $\mathbb{F}_p$, théorème chinois, indicatrice d'Euler, théorèmes d'Euler et de Fermat ;
• reconnaître une algèbre, une sous-algèbre, un morphisme d'algèbres.

Plan du cours

• 1. Compléments sur les groupes
  • 1.1 Ce qu'il faut avoir en tête
  • 1.2 Sous-groupe engendré par une partie
  • 1.3 Sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$
  • 1.4 Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$
  • 1.5 Groupes monogènes et cycliques
  • 1.6 Ordre d'un élément
  • 1.7 Théorème de Lagrange
• 2. Compléments sur les anneaux
  • 2.1 Rappels
  • 2.2 Produit fini d'anneaux
  • 2.3 Idéaux
  • 2.4 Divisibilité dans un anneau intègre
• 3. Idéaux de $\mathbb{Z}$
• 4. L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
  • 4.1 Structure d'anneau
  • 4.2 Inversibles, corps $\mathbb{F}_p$
  • 4.3 Théorème chinois
  • 4.4 Indicatrice d'Euler
  • 4.5 Théorèmes d'Euler et de Fermat
• 5. Anneaux de polynômes $K[X]$
  • 5.1 Idéaux de $K[X]$
  • 5.2 PGCD et relation de Bézout
  • 5.3 Polynômes irréductibles
  • 5.4 Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et de $\mathbb{R}[X]$
• 6. Structure d'algèbre
  • 6.1 Définition et exemples
  • 6.2 Sous-algèbres et morphismes

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une partie est un sous-groupe
2. Décrire un sous-groupe engendré, montrer qu'une partie engendre un groupe
3. Calculer l'ordre d'un élément
4. Exploiter le théorème de Lagrange
5. Montrer qu'un groupe est cyclique, ou qu'il ne l'est pas
6. Déterminer les morphismes entre groupes cycliques
7. Montrer qu'une partie est un idéal, déterminer les idéaux d'un anneau
8. Traduire divisibilité, PGCD et PPCM en termes d'idéaux
9. Inverser une classe et résoudre $ax \equiv b$ modulo $n$
10. Résoudre un système de congruences
11. Calculer une puissance modulo $n$
12. Calculer $\varphi(n)$ et compter inversibles, générateurs, racines primitives
13. Exploiter le corps $\mathbb{F}_p$
14. PGCD de polynômes, relation de Bézout, factorisation en irréductibles
15. Montrer qu'une partie est une sous-algèbre, qu'une application est un morphisme d'algèbres
16. L'argument de bijection $x \mapsto ax$ et l'appariement avec l'inverse
17. Établir un isomorphisme, ou montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes
18. Raisonner sur les classes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (12)

• Sous-groupe ou non ?
• Sous-groupes engendrés
• Calculs d'ordres
• Générateurs et sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
• Conséquences du théorème de Lagrange
• Idéaux ou non, idéaux de $\mathbb{Z}$ et de $\mathbb{R}[X]$
• Inverses et équations du premier degré modulo $n$
• Systèmes de congruences
• Indicatrice d'Euler et puissances modulo $n$
• Équations dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
• $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et le théorème chinois à la main
• PGCD, Bézout et factorisation de polynômes

Entraînement (18)

• Réunion de deux sous-groupes
• Ordre d'un produit et exposant d'un groupe abélien
• Sous-groupes d'un groupe cyclique et $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$
• Morphismes entre groupes cycliques et morphismes de $S_n$
• Groupes où tout élément est son propre inverse
• Parties génératrices de $S_n$
• Groupes cycliques ou non : $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$
• Théorème de Wilson
• Carrés dans $\mathbb{F}_p$
• Anneaux intègres finis, morphismes de corps
• Radical d'un idéal
• Les entiers de Gauss
• Idéaux d'un produit et d'un sous-anneau de $\mathbb{Q}$
• Bézout, divisibilité par un produit et système de congruences
• Le petit théorème de Fermat par les coefficients binomiaux
• Permutations en Python
• Sous-groupes bornés de $\mathbb{R}^*$ et de $\mathbb{C}^*$
• La structure de $(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times$

Approfondissement (6)

• Sous-groupes de $(\mathbb{R}, +)$
• Le théorème de Lagrange dans le cas général
• Groupes de petit cardinal
• Algèbres intègres de dimension finie
• Diviseurs premiers des nombres de Mersenne
• Le polynôme $X^4 + 4$

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Sous-groupes finis des rotations et des symétries du plan
  Centrale-Supélec 2026, filières MP et MPI, Mathématiques 1, partie A, questions 1 à 8
• L'anneau des fonctions arithmétiques
  Centrale-Supélec 2020, filière MP, Mathématiques 1, partie I, questions 1 à 16
• Caractères réels modulo $N$
  Mines-Ponts 2007, filière MP, Mathématiques I, questions 1 à 3, 5 à 10 et 12 à 15

Comment y accéder

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