Espaces vectoriels normés : cours, méthodes et exercices corrigés

• PC
• PSI
• Offert à l'essai

Normes et distances, suites d'un espace normé, comparaison des normes, ouverts, fermés, adhérence et densité, limites et continuité, applications lipschitziennes, espaces de dimension finie : équivalence des normes, bornes atteintes sur un fermé borné, continuité des applications linéaires et polynomiales.

• 14méthodes
• 43exercices corrigés
• 4problèmes
• 20pièges
• 6figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

En première année, les limites, la continuité et les suites se traitaient dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, avec la valeur absolue ou le module pour mesurer les distances. Ce chapitre remplace la valeur absolue par une norme sur un espace vectoriel quelconque : $\mathbb{K}^n$, un espace de matrices, un espace de fonctions. Le vocabulaire (ouvert, fermé, adhérence, densité) et les théorèmes (bornes atteintes, continuité des applications linéaires en dimension finie) serviront dans toute la suite : suites de matrices, suites et séries de fonctions, fonctions vectorielles, calcul différentiel. À la fin, tu dois savoir :

• vérifier qu'une application est une norme et comparer deux normes, en particulier sur des espaces de fonctions ;
• manier les suites d'un espace normé et le passage d'une norme à une norme équivalente ;
• montrer qu'une partie est ouverte, fermée, dense, déterminer une adhérence, avec la caractérisation séquentielle ;
• étudier la limite et la continuité d'une application entre espaces normés, reconnaître une application lipschitzienne ;
• exploiter la dimension finie : équivalence des normes, convergence coordonnée par coordonnée, bornes atteintes sur un fermé borné, continuité automatique des applications linéaires et polynomiales.

Plan du cours

• 1. Normes et distances
  • 1.1 Normes
  • 1.2 Distance, boules, parties bornées
• 2. Suites d'un espace vectoriel normé
• 3. Comparaison des normes
• 4. Topologie d'un espace vectoriel normé
  • 4.1 Ouverts et fermés
  • 4.2 Intérieur, adhérence, frontière
  • 4.3 Caractérisation séquentielle et densité
• 5. Limites et continuité
  • 5.1 Limite en un point
  • 5.2 Continuité
  • 5.3 Applications lipschitziennes
• 6. Espaces vectoriels normés de dimension finie

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

1. Montrer qu'une application est une norme
2. Comparer deux normes
3. Montrer qu'une partie est ouverte ou fermée
4. Déterminer une adhérence, un intérieur
5. Montrer qu'une partie est dense
6. Étudier la continuité d'une application
7. Montrer qu'un extremum est atteint
8. Exploiter la dimension finie
9. Raisonner par densité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
10. Étudier une suite de vecteurs ou de matrices, une suite de puissances
11. Étudier la continuité d'une application linéaire en dimension infinie
12. Montrer qu'une application définie par une borne supérieure est une norme
13. Montrer qu'une fonction est minorée par un réel strictement positif
14. Calculer la distance d'un point à une partie

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (17)

• Vérifier des normes
• Boules unités dans le plan
• Comparaison des normes usuelles sur $\mathbb{K}^n$
• Suites de matrices
• Suites extraites et divergence
• Ouverts et fermés du plan
• Normes non équivalentes
• Intérieur, adhérence, frontière
• Continuité en un point
• Fermé ou non, borné ou non
• Applications lipschitziennes
• La dérivation n'est pas continue
• Une norme définie par une borne supérieure
• Extremums sur le disque unité
• Une norme qui n'est pas sous-multiplicative
• Matrices stochastiques
• Distance à une partie

Entraînement (19)

• Une famille de normes sur $\mathbb{K}[X]$
• Normes matricielles sous-multiplicatives
• Continuité de formes linéaires sur $\mathcal{C}([0, 1])$
• Topologie des sous-espaces vectoriels
• Densité de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et applications
• Fermés et bornés de matrices
• Calcul de normes matricielles
• Perturbation de l'identité et ouverture de $\mathrm{GL}_n$
• Continuité de l'inversion
• Deux fonctions continues égales sur une partie dense
• Distance à un fermé atteinte en dimension finie
• Puissances bornées et valeurs propres
• Deux normes équivalentes sur un espace de fonctions
• Un ouvert de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$
• Densité des matrices diagonalisables
• Moyennes des puissances d'un endomorphisme
• Une norme sur $\mathbb{C}[X]$ lue sur le cercle unité
• Distance entre un fermé borné et un fermé
• Limites à l'infini et existence d'un minimum

Approfondissement (7)

• Forme linéaire continue et noyau fermé
• Bornes non atteintes en dimension infinie
• Équivalence des normes en dimension finie
• Meilleure approximation dans un sous-espace de dimension finie
• Sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$
• Point fixe d'une application contractante
• Projection sur un convexe fermé

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

• Une norme construite par une borne supérieure, conditionnement
  Centrale-Supélec 2025, filière PSI, Mathématiques 1, questions 1 à 13 et 16 à 22
• Normes sous-multiplicatives, rayon spectral et puissances d'une matrice
  Centrale-Supélec 2023, filière PC, Mathématiques 1, questions 9 à 20
• Classes de similitude bornées, classes de similitude fermées
  CNC 2008, filière PSI, Mathématiques II, parties I et II
• Continuité de la longueur d'une courbe
  CCINP 2014, filière PSI, Mathématiques 1, partie V

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie des chapitres offerts : il s'ouvre en entier avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter.