Séries numériques : critères et exercices corrigés MP PSI

Une série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $S_n = \sum_{k \leq n} u_k$ a une limite finie. Condition nécessaire : si $u_n$ ne tend pas vers $0$, la série diverge grossièrement, mais $u_n \to 0$ ne suffit pas, comme le montre $\sum \frac{1}{n}$. Les séries de référence sont la série géométrique $\sum q^n$, qui converge si et seulement si $|q| < 1$, et la série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^\alpha}$, qui converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; pour une série à termes positifs, on compare le terme général à l'une d'elles, par une inégalité ou par un équivalent.

Ce qui suit vaut en MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI2 et TPC2. Le programme marocain de l'ECT2 est plus restreint : sommes partielles, condition nécessaire, séries géométrique et exponentielle, convergence absolue ; les critères de comparaison, Riemann, d'Alembert et le critère des séries alternées n'y figurent pas. L'exercice 2 convient à toutes les classes.

Quels sont les critères de convergence ?

Nuances de programme : en TSI2 de France et en TPC2, la relation $O$ n'est pas citée, on écrit $0 \leq u_n \leq M v_n$ ; en MP, MPI, PC, PSI et PT de France, la comparaison série-intégrale se rédige par l'encadrement $\int_k^{k+1} f \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f$ ; en TPC2, la majoration du reste alterné se redémontre par les suites adjacentes.

Dans quel ordre essayer les critères ?

1. Divergence grossière. Chercher la limite de $u_n$. Si elle n'est pas nulle, ou n'existe pas, la série diverge.
2. Somme exacte. Si le terme est géométrique, exponentiel ou télescopique ($u_n = a_{n+1} - a_n$), calculer $S_n$ et passer à la limite.
3. Signe du terme général. S'il est positif à partir d'un rang, chercher un équivalent simple et comparer à Riemann ou à une série géométrique ; avec un logarithme, montrer $n^\alpha u_n \to 0$ pour un $\alpha > 1$.
4. Factorielles et puissances $n$-ièmes. Appliquer d'Alembert. Pour une fraction rationnelle en $n$, le rapport tend toujours vers $1$ : revenir à Riemann.
5. Terme $f(n)$ difficile à comparer, comme $\frac{1}{n \ln n}$ : comparer à une intégrale, $f$ décroissante.
6. Signe quelconque. Tester la convergence absolue, puis le critère spécial si la série est alternée, sinon développer $u_n$ jusqu'à un reste absolument convergent.

En ECT2, les étapes 1 et 2 et la convergence absolue (avec $|u_n|$ géométrique ou exponentiel) couvrent le programme.

Exercice 1 : quatre natures de séries (spé)

Déterminer la nature des séries de termes généraux suivants. a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{n^4 + 3n}$ ($n \geq 1$). b) $v_n = \frac{a^n\, n!}{n^n}$, selon le réel $a > 0$. c) $w_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt n$. d) $x_n = (-1)^n \frac{\ln n}{n}$ ($n \geq 2$).

a) Équivalent. Le terme est positif et $u_n \sim \frac{1}{n^2}$, terme d'une série de Riemann convergente ($\alpha = 2 > 1$) : $\sum u_n$ converge.

b) D'Alembert. $v_n > 0$ et $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{a^{n+1} (n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n\, n!} = a \Big(\frac{n}{n + 1}\Big)^n = \frac{a}{\big(1 + \frac{1}{n}\big)^n}.$ Or $n \ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \to 1$, donc le rapport tend vers $\frac{a}{e}$. Si $a < e$, la série converge ; si $a > e$, elle diverge grossièrement. Si $a = e$, la règle ne conclut pas ; mais $\ln(1 + t) < t$ pour $t > 0$ donne $\big(1 + \frac{1}{n}\big)^n < e$, donc $\frac{v_{n+1}}{v_n} > 1$ : la suite $(v_n)$ croît, ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.

c) Télescopage. $\sum_{k=1}^n w_k = \sqrt{n + 1} - 1 \to +\infty$ : la série diverge. Autre voie : $w_n = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt n} \sim \frac{1}{2\sqrt n} > 0$, Riemann avec $\alpha = \frac12$.

d) Série alternée. Pour $f(t) = \frac{\ln t}{t}$, $f'(t) = \frac{1 - \ln t}{t^2} < 0$ sur $]e, +\infty[$ : $\big(\frac{\ln n}{n}\big)$ décroît à partir de $n = 3$ et tend vers $0$. Par le critère spécial, $\sum_{n \geq 3} x_n$ converge, donc $\sum x_n$ aussi. Elle ne converge pas absolument, car $\frac{\ln n}{n} \geq \frac{1}{n}$ pour $n \geq 3$ et la série harmonique diverge.

Exercice 2 : trois sommes exactes (toutes classes, ECT2 comprise)

Justifier la convergence et calculer : $A = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^k + (-1)^k}{3^k}$, $B = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k + 1)\, 2^k}{k!}$, $C = \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{2}{k^2 - 1}$.

Somme $A$. Les séries géométriques de raisons $\frac23$ et $-\frac13$ convergent ($|q| < 1$). Par linéarité, et avec « premier terme sur un moins la raison » : $A = \frac{2/3}{1 - 2/3} + \frac{-1/3}{1 + 1/3} = 2 - \frac14 = \frac74.$

Somme $B$. On sépare $\frac{(k + 1) 2^k}{k!} = \frac{k\, 2^k}{k!} + \frac{2^k}{k!}$. Le terme $k = 0$ de la première est nul ; pour $k \geq 1$, $\frac{k\, 2^k}{k!} = \frac{2^k}{(k - 1)!}$, et le décalage $j = k - 1$ donne $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^k}{(k - 1)!} = 2 \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{2^j}{j!} = 2e^2.$ Les deux séries convergent, donc $B = 2e^2 + e^2 = 3e^2 \approx 22{,}17$.

Somme $C$. Pour $k \geq 2$, $\frac{2}{k^2 - 1} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1}$. Décalage de $2$ : il reste deux termes au début et deux à la fin. $\sum_{k=2}^n \frac{2}{k^2 - 1} = 1 + \frac12 - \frac1n - \frac{1}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac32.$ La série converge et $C = \frac32$.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Prendre $u_n \to 0$ pour une preuve. C'est une condition nécessaire seulement : $\frac1n \to 0$ et $\sum \frac1n$ diverge.
• Utiliser un équivalent sur des termes de signe non constant. $\frac{(-1)^n}{\sqrt n} + \frac1n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$, la seconde série converge et la première diverge. Vérifier le signe, ou passer à $|u_n|$.
• Lire d'Alembert sur le rapport et non sur sa limite. Pour $\frac1n$, le rapport $\frac{n}{n + 1}$ est toujours inférieur à $1$ et la série diverge.
• Déduire la décroissance de $|u_n|$ d'un équivalent. Elle se démontre sur $|u_n|$ lui-même.
• Croire qu'un $o\big(\frac1n\big)$ suffit. $\frac{1}{n \ln n} = o\big(\frac1n\big)$ et sa série diverge ; il faut un $\alpha > 1$ strictement.

Questions fréquentes

Quand une série de Riemann converge-t-elle ?

La série $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Ainsi $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, $\sum \frac{1}{\sqrt n}$ et $\sum \frac1n$ divergent.

Quand utiliser la règle de d'Alembert ?

Pour un terme strictement positif à partir d'un rang, avec factorielles ou puissances $n$-ièmes, comme $\frac{2^n}{n!}$. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell < 1$, la série converge ; si $\ell > 1$, elle diverge grossièrement ; si $\ell = 1$, la règle ne dit rien.

Quelle différence entre convergence et convergence absolue ?

La convergence de $\sum |u_n|$ entraîne celle de $\sum u_n$. La réciproque est fausse : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge, alors que $\sum \frac1n$ diverge.

Une série alternée converge-t-elle toujours ?

Non. Le critère spécial demande que $(|u_n|)$ décroisse et tende vers $0$. Sans la décroissance, la série peut diverger, comme $\sum_{n \geq 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$.

Pour aller plus loin

Le chapitre « Séries numériques et vectorielles » de maths spé va jusqu'à la constante d'Euler et, selon les filières, à la formule de Stirling ou au produit de Cauchy ; sa page publique montre un extrait et le plan. Le chapitre de l'ECT2, « Sommes finies et séries numériques », fait partie des chapitres offerts : voir sa page publique. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts. Pour une question ou l'accès complet, écris sur WhatsApp.