Séries numériques et vectorielles en MP, PSI, PC, PT, TSI et TPC : convergence, critères et exercices corrigés

Q: Si le terme général tend vers 0, la série converge-t-elle ?

Non. La condition u_n → 0 est nécessaire, pas suffisante : (1)/(n) → 0 et la série harmonique Σ (1)/(n) diverge, car H_(2n) - H_n ≥ (1)/(2) pour tout n. En revanche, si u_n ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement : c'est le premier test à faire. Pour conclure à la convergence, il faut un vrai critère : comparaison, règle de d'Alembert, critère spécial des séries alternées ou convergence absolue.

Q: Quand utiliser la règle de d'Alembert ?

Quand le terme général contient des factorielles, des puissances n-ièmes ou des produits, comme (n!)/(n^n) ou (2^n)/(n!), dont le rapport (u_(n+1))/(u_n) se simplifie. Si la limite du rapport est ell 1, elle diverge grossièrement ; si ell = 1, la règle ne dit rien. Pour une fraction rationnelle en n, le rapport tend toujours vers 1 : on compare plutôt à une série de Riemann. Attention : c'est la limite du rapport qui compte, pas le rapport lui-même.

Q: Comment comparer une série à une intégrale ?

Si f est continue, positive et décroissante, alors ∫_k^(k+1) f ≤ f(k) ≤ ∫_(k-1)^k f. En sommant, la série Σ f(n) et l'intégrale ∫ f ont même nature, et l'on encadre les sommes partielles, par exemple ln (n + 1) ≤ H_n ≤ 1 + ln n, ou les restes, par exemple (1)/(n + 1) ≤ Σ_(k > n)(1)/(k^2) ≤ (1)/(n). La décroissance est indispensable. Dans plusieurs programmes français, c'est une technique : on rédige l'encadrement sur la copie.

Q: Quelle différence entre convergence et convergence absolue ?

Une série converge absolument si Σ |u_n| converge. La convergence absolue implique la convergence, avec |Σ u_n | ≤ Σ |u_n|. La réciproque est fausse : Σ ((-1)^n)/(n) converge, par le critère spécial, mais Σ (1)/(n) diverge. Devant une série de signe quelconque ou complexe, le premier réflexe est de majorer |u_n| par le terme d'une série positive convergente.

Séries numériques : convergence, séries à termes positifs, comparaison et règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale, séries alternées, absolue convergence, produit de Cauchy ; séries dans un espace de dimension finie et exponentielle de matrice selon les filières.

22méthodes
54exercices corrigés
6problèmes
18pièges
34figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $S_n = \sum_{k \leq n} u_k$ a une limite finie. On écarte d'abord la divergence grossière ( $u_n \not\to 0$ ), on compare une série à termes positifs aux séries de Riemann ( $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ) ou par la règle de d'Alembert, on compare une série à une intégrale pour obtenir sa nature, une somme partielle ou un reste, et l'on traite les séries de signe quelconque par la convergence absolue, le critère spécial des séries alternées et le développement asymptotique du terme général. Ce chapitre suit le programme de MP, PSI et TSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI, TPC en France. Constante d'Euler, série harmonique, séries de Bertrand : ces questions reviennent dans les DS et les problèmes du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Une série donne un sens à une somme d'une infinité de termes : $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ vaut $2$ , alors que $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ n'a pas de valeur finie. Ce chapitre apprend à décider, à approcher une somme avec une précision garantie, à estimer une somme partielle ou un reste. Il prépare les séries de fonctions, les séries entières et les probabilités. Pour les classes qui ont vu les séries en première année, il reprend et complète ; pour les autres, il est entièrement neuf. À la fin, tu dois savoir :

étudier une série à termes positifs par comparaison à une série de référence, par un équivalent, par la règle de d'Alembert ;
comparer une série à une intégrale pour obtenir sa nature, un équivalent d'une somme partielle ou d'un reste ;
appliquer le critère spécial des séries alternées et majorer le reste ;
montrer qu'une série converge absolument, et ne pas confondre convergence et convergence absolue ;
étudier une série de signe quelconque par un développement asymptotique de son terme général ;
calculer la somme des séries simples : géométriques, télescopiques, et celles qui s'y ramènent.

L'essentiel : Démonstrations à savoir refaire Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Propriété Démonstrations à savoir refaire

La divergence grossière, et la divergence de la série harmonique par $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
La somme et le reste d'une série géométrique.
Le lien suite-série.
Le théorème des séries à termes positifs, la comparaison et l'équivalence.
Les séries de Riemann (comparaison à une intégrale pour $\alpha > 1$ ).
La règle de d'Alembert (comparaison à une série géométrique).
L'encadrement série-intégrale, et ses conséquences pour $H_n$ et pour $\sum_{k>n}\frac{1}{k^2}$ .
L'existence de la constante d'Euler.
Le critère spécial des séries alternées et la majoration du reste.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Étudier une série à termes positifs par comparaison

Quand l’utiliser

Terme général positif (au moins à partir d'un rang), qui ressemble à une puissance de $n$ : fraction rationnelle, racines, logarithmes de $1 +$ petit.

Rappel de cours

Pour $0 \leq u_n \leq v_n$ à partir d'un rang : $\sum v_n$ converge implique $\sum u_n$ converge, et $\sum u_n$ diverge implique $\sum v_n$ diverge. Pour des termes positifs, $u_n = O(v_n)$ (ou $o(v_n)$ ) et $\sum v_n$ convergente donnent la convergence ; $u_n \sim v_n$ donne la même nature. Référence : $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .

Démarche

Établir le signe de $u_n$ à partir d'un rang.
Trouver un équivalent simple $\frac{c}{n^\alpha}$ , ou une majoration ou une minoration.
Comparer à une série de Riemann et conclure, en citant le signe.

Rédaction type

Pour $n \geq [n_1]$ , $u_n \geq 0$ . De plus $u_n \sim\frac{[c]}{n^{[\alpha]}}$ , terme positif d'une série de Riemann [convergente car $\alpha > 1$ / divergente car $\alpha \leq 1$ ]. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_n$ [converge / diverge].

Exemple traité

$u_n = \frac{n + 1}{n^3 + 2} > 0$ et $u_n \sim\frac{1}{n^2}$ : par équivalence de séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.
$u_n = \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}} > 0$ et $u_n \sim\frac{1}{n}$ : $\sum u_n$ diverge.

Erreurs fréquentes

Utiliser un équivalent sans avoir dit que les termes sont positifs.
Confondre la limite de $u_n$ et la nature de la série.
Se tromper d'équivalent en ne gardant pas le terme dominant ( $\frac{1}{n(n + 1)(2n + 1)} \sim\frac{1}{2n^3}$ , et non $\frac{1}{n^3}$ , relevé par un rapport de jury de la Banque PT 2023, épreuve de mathématiques C).

Pour s’entraîner

Exercices 4, 11, 30 et 33.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Les séries

\sum\ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)

★★☆

Soit $\alpha > 0$ . On pose, pour $n \geq 2$ , $u_n = \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ et $w_n = u_n - \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ .

Montrer que $w_n \leq 0$ et que $w_n \sim -\frac{1}{2n^{2\alpha}}$ .
En déduire que $\sum u_n$ converge si et seulement si $\alpha > \frac{1}{2}$ .
Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série converge-t-elle absolument ?

Indications

Méthodes 13 et 16. Écrire $u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} + w_n$ : le premier morceau donne une série convergente pour tout $\alpha > 0$ ; le second est de signe constant, donc un équivalent suffit.

Analyse : comment trouver l’idée

Le piège est de développer en

\frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)

et de conclure : pour $\alpha \leq \frac{1}{3}$ , le reste $O\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)$ n'est pas sommable et l'argument s'effondre. On garde au contraire $w_n$ tout entier, avec son équivalent : un terme de signe constant n'a pas besoin d'être développé davantage.

Correction détaillée

1. Pour $y > -1$ , $\ln(1 + y) \leq y$ (concavité du logarithme) : avec $y = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \in\ ]-1, 1[$ pour $n \geq 2$ , $w_n = \ln(1 + y) - y \leq 0$ . Et $\ln(1 + y) - y \sim -\frac{y^2}{2}$ quand $y \to 0$ , donc $w_n \sim -\frac{1}{2n^{2\alpha}}$ .

2. $\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge pour tout $\alpha > 0$ (critère spécial). Comme $-w_n \geq 0$ et $-w_n \sim \frac{1}{2n^{2\alpha}}$ , la série $\sum w_n$ converge si et seulement si $2\alpha > 1$ . Si $\alpha > \frac{1}{2}$ , $\sum u_n$ est la somme de deux séries convergentes : elle converge. Si $\alpha \leq \frac{1}{2}$ , $\sum w_n = \sum u_n - \sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ divergerait si $\sum u_n$ convergeait, contradiction : $\sum u_n$ diverge.

3. $|u_n| \sim \frac{1}{n^\alpha}$ (car $\ln(1 + y) \sim y$ ), terme positif : la série converge absolument si et seulement si $\alpha > 1$ . Ainsi, pour $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$ , elle converge sans converger absolument.

Méthodes à retenir

Le terme d'ordre deux d'un développement alterné est de signe constant : il décide de la convergence. On le garde avec son équivalent exact au lieu d'un $O$ trop grossier. Voir les méthodes 13 et 16.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 22 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 54 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

Ouvrir l'essai gratuit Une question ? WhatsApp

Plan du cours

1. Généralités
- 1.1 Convergence, somme, restes
- 1.2 Divergence grossière
- 1.3 Séries géométriques
- 1.4 Lien entre suites et séries, séries télescopiques
- 1.5 Séries à termes complexes
2. Séries à termes positifs
- 2.1 Le théorème de base
- 2.2 Comparaison
- 2.3 Séries de Riemann
- 2.4 Règle de d'Alembert
3. Comparaison entre une série et une intégrale
- 3.1 L'encadrement
- 3.2 Nature
- 3.3 Sommes partielles d'une série divergente
- 3.4 Restes d'une série convergente
- 3.5 La constante d'Euler
4. Séries absolument convergentes
- 4.1 Définition et théorème
- 4.2 Critères
- 4.3 Converger sans converger absolument
5. Séries alternées
6. Formule de Stirling
7. Sommation des relations de comparaison
- 7.1 Le théorème
- 7.2 Le théorème de Cesàro
- 7.3 Sommation par parties
8. Séries dans un espace normé de dimension finie
- 8.1 Convergence
- 8.2 Convergence absolue
- 8.3 La série de Neumann
- 8.4 Exponentielle
8. Produit de Cauchy
7. Produit de Cauchy
6. Produit de Cauchy

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Écarter la divergence grossière
Reconnaître une série télescopique et utiliser le lien suite-série
Calculer une somme exacte
Étudier une série à termes positifs par comparaison
Trouver un équivalent du terme général, ou appliquer la règle $n^\alpha u_n \to 0$
Appliquer la règle de d'Alembert, et savoir quand l'éviter
Comparer une série à une intégrale pour obtenir sa nature
Encadrer une somme partielle par des intégrales, en tirer un équivalent
Encadrer le reste d'une série convergente par des intégrales
Montrer la convergence absolue
Appliquer le critère spécial des séries alternées
Majorer le reste d'une série alternée, donner une valeur approchée de la somme
Étudier une série de signe quelconque par éclatement
Regrouper les termes, séparer les rangs pairs et impairs
Obtenir le comportement d'une suite par une série télescopique
Étudier une série dépendant d'un paramètre
Utiliser la formule de Stirling
Sommer des relations de comparaison
Étudier une série dans un espace normé de dimension finie
Utiliser la sommation par parties
Calculer l'exponentielle d'une matrice
Effectuer un produit de Cauchy

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (20)

Divergence grossière
Séries géométriques dérivées et série exponentielle
Séries télescopiques
Comparaison à une série de Riemann
La règle $n^\alpha u_n \to 0$
Règle de d'Alembert
Équivalents par développement limité
Une série de Bertrand par une intégrale
Sommes partielles de séries divergentes
Reste de la série $\sum\frac{1}{k^2}$
Convergence absolue
Critère spécial des séries alternées
La somme $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$
Valeur approchée d'une somme alternée
Paramètre et équivalent
Lien suite-série
Équivalents par la formule de Stirling
Sommation des équivalents
Exponentielles de matrices
Un produit de Cauchy géométrique

Entraînement (27)

Une somme d'arctangentes
Inverses des sommes de carrés
Une série définie par des intégrales
Séries de Bertrand
Un équivalent de $\ln(n!)$ par une intégrale
Équivalents de restes
Un équivalent alterné trompeur
Les séries $\sum\ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$
La série $\sum\cos\left(\pi\sqrt{n^2 + n + 1}\right)$
Rangs pairs et rangs impairs
Une suite récurrente et deux séries
La croissance de $n!$
D'Alembert avec un paramètre
Une série d'intégrales divergente
Un terme général composé
Une série complexe
Terme général d'une série convergente à termes décroissants
Une série alternée d'intégrales
Le cas limite de d'Alembert
Une série de la banque d'oral
La suite $u_{n+1} = \sin u_n$
Séries géométriques de matrices
Absolue convergence d'une série de matrices
Sommation par parties
Série de Neumann dans une algèbre normée
Une somme double
L'hypothèse d'absolue convergence

Approfondissement (7)

La somme de $\sum(-1)^n\frac{\ln n}{n}$
La somme de $\sum(-1)^n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$
Une règle hors programme, démontrée
Reste de la série harmonique alternée
Comparaison série-intégrale sans monotonie
Au-delà des séries de Bertrand
Sommation des relations : cas $O$ et cas divergent

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Développement asymptotique de la série harmonique
CNC 2021, filière MP, Mathématiques I, problème, partie 1 (questions 2.c et 3 réécrites)
Calcul de $\sum\frac{1}{n^2}$ et comparaison série-intégrale
CNC 2017, filière TSI, Mathématiques I, problème 1, parties I et IV (question IV.0 ajoutée, résultats de la partie II admis)
Deux approximations de $\pi$
CCINP 2015, filière TSI, Mathématiques, problème I, parties A à C et questions I.D.3 et I.D.4
Transformation d'Abel et séries qui convergent sans converger absolument
CNC 2016, filière PSI, Mathématiques I, problème 1, parties I à III, questions I.1 à III.7 (hypothèse de II.2.e corrigée)
Une formule de Stirling plus précise
Centrale-Supélec 2023, filière PSI, Mathématiques 2, partie II, questions 8, 9 et 16 à 22 (formule de Stirling admise)
Exponentielle d'une matrice d'ordre $2$
CNC 2004, filière PSI, Mathématiques II, parties I et II, questions I.1 à II.4

Questions fréquentes

Si le terme général tend vers 0, la série converge-t-elle ?

Non. La condition $u_n \to 0$ est nécessaire, pas suffisante : $\frac{1}{n} \to 0$ et la série harmonique $\sum\frac{1}{n}$ diverge, car $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ pour tout $n$ . En revanche, si $u_n$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement : c'est le premier test à faire. Pour conclure à la convergence, il faut un vrai critère : comparaison, règle de d'Alembert, critère spécial des séries alternées ou convergence absolue.

Quand utiliser la règle de d'Alembert ?

Quand le terme général contient des factorielles, des puissances $n$ -ièmes ou des produits, comme $\frac{n!}{n^n}$ ou $\frac{2^n}{n!}$ , dont le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ se simplifie. Si la limite du rapport est $\ell < 1$ , la série converge ; si $\ell > 1$ , elle diverge grossièrement ; si $\ell = 1$ , la règle ne dit rien. Pour une fraction rationnelle en $n$ , le rapport tend toujours vers $1$ : on compare plutôt à une série de Riemann. Attention : c'est la limite du rapport qui compte, pas le rapport lui-même.

Comment comparer une série à une intégrale ?

Si $f$ est continue, positive et décroissante, alors $\int_k^{k+1} f \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f$ . En sommant, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int f$ ont même nature, et l'on encadre les sommes partielles, par exemple $\ln(n + 1) \leq H_n \leq 1 + \ln n$ , ou les restes, par exemple $\frac{1}{n + 1} \leq \sum_{k > n}\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{n}$ . La décroissance est indispensable. Dans plusieurs programmes français, c'est une technique : on rédige l'encadrement sur la copie.

Une série alternée converge-t-elle toujours ?

Non. Le critère spécial demande une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers $0$ . Sans la décroissance, une série alternée dont le terme tend vers $0$ peut diverger : $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$ diverge, car son terme vaut $\frac{(-1)^n}{\sqrt n} - \frac{1}{n} + O(n^{-3/2})$ . La décroissance se démontre ; elle ne se déduit pas d'un équivalent.

Quelle différence entre convergence et convergence absolue ?

Une série converge absolument si $\sum |u_n|$ converge. La convergence absolue implique la convergence, avec $\left|\sum u_n\right| \leq \sum |u_n|$ . La réciproque est fausse : $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge, par le critère spécial, mais $\sum\frac{1}{n}$ diverge. Devant une série de signe quelconque ou complexe, le premier réflexe est de majorer $|u_n|$ par le terme d'une série positive convergente.

Peut-on utiliser des équivalents pour étudier une série ?

Oui, à condition que les termes soient de signe constant à partir d'un certain rang : si $u_n \sim v_n$ avec $v_n \geq 0$ , les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature. Sans cette hypothèse, c'est faux : $\frac{(-1)^n}{\sqrt n} + \frac{1}{n}$ est équivalent à $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ , la seconde série converge et la première diverge. Pour un terme de signe variable, on passe à la valeur absolue ou l'on pousse le développement asymptotique.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.