Si f tend vers 0 en +∞, l'intégrale converge-t-elle ?

Non : (1)/(t) tend vers 0 et ∫_1^(+∞)(dt)/(t) = +∞. C'est la vitesse de décroissance qui compte : si f est positive et f(t) = O ((1)/(t^α) ) avec α > 1, l'intégrale converge. Inversement, une intégrale peut converger sans que f tende vers 0, avec des pics de plus en plus hauts et de plus en plus étroits.

Intégration sur un intervalle quelconque en MP, PSI, PC, PT, TSI et TPC : intégrales généralisées, intégrabilité et exercices corrigés

Q: Quelle différence entre une intégrale convergente et une fonction intégrable ?

∫_I f converge si les intégrales sur des segments ont une limite finie aux bornes ouvertes ; f est intégrable si ∫_I |f| converge. Intégrable implique convergente, avec |∫_I f | ≤ ∫_I |f|. La réciproque est fausse : ∫_1^(+∞)(sin t)/(t)dt converge, mais (sin t)/(t) n'est pas intégrable sur [1, +∞[. Pour une fonction de signe constant au voisinage de la borne, les deux notions coïncident.

Q: Quand les intégrales de Riemann convergent-elles ?

∫_1^(+∞)(dt)/(t^α) converge si et seulement si α > 1, et vaut alors (1)/(α - 1) ; ∫_0^1(dt)/(t^α) converge si et seulement si α < 1, et vaut (1)/(1 - α). Aucune valeur de α ne convient aux deux bornes : ∫_0^(+∞)(dt)/(t^α) diverge toujours. En un point fini a, le changement de variable u = t - a ramène (1)/((t - a)^α) au cas de 0.

Q: Comment utiliser un équivalent pour étudier une intégrale ?

Si f sim g au voisinage de la borne et si g est positive, les deux intégrales ont même nature. Sans hypothèse de signe, c'est faux : on se ramène alors à |f|, avec |f| sim |g|. Exemple : (√ t)/(1 + t^2) sim (1)/(t^(3/2)) en +∞, positive, et (3)/(2) > 1, donc ∫_0^(+∞)(√ t)/(1 + t^2)dt converge.

Q: Comment faire une intégration par parties sur un intervalle quelconque ?

On l'écrit sur un segment [a, x], puis on fait tendre x vers la borne ouverte en vérifiant que le crochet et l'une des intégrales ont une limite finie. Par exemple ∫_0^x t^n e^(-t)dt = -x^n e^(-x) + n∫_0^x t^(n-1)e^(-t)dt donne ∫_0^(+∞)t^n e^(-t)dt = n!. Écrire la formule directement sur l'intervalle ouvert en déclarant le crochet nul sans calcul est l'erreur la plus relevée par les jurys.

Q: Quelles sont les hypothèses du changement de variable ?

φ : ]α, β[ → ]a, b[ doit être une bijection de classe C^1, strictement monotone. Alors ∫_a^b f(t) dt et ∫_α^β f(φ (u))|φ'(u)| du ont même nature et même valeur. Par exemple u = (1)/(t) échange ]0, 1] et [1, +∞[ et montre que ∫_0^(+∞)(ln t)/(1 + t^2)dt = 0.

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque, fonctions intégrables, intégrales de référence, théorèmes de comparaison, intégration par parties et changement de variable sur un intervalle quelconque, intégration des relations de comparaison en MP et MPI.

18méthodes
43exercices corrigés
3problèmes
16pièges
31figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une intégrale généralisée $\int_a^b f$ est définie quand l'intervalle n'est pas un segment : elle converge si $x \mapsto \int_a^x f$ a une limite finie en la borne ouverte. On compare une fonction positive aux intégrales de référence ( $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ , $\int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}$ si et seulement si $\alpha < 1$ ), on distingue intégrabilité et convergence, puis on calcule par intégration par parties ou changement de variable, toujours sur un segment avant le passage à la limite. Ce chapitre suit le programme de PSI et de TSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI, TPC en France, avec l'intégration des relations de comparaison en MP et MPI. Fonction $\Gamma$ , intégrale de Gauss, $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ : ces intégrales reviennent souvent dans les DS et les problèmes du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

En première année, l'intégrale n'a été définie que sur un segment $[a, b]$ , pour une fonction continue (ou continue par morceaux). Ce chapitre l'étend aux intervalles qui ne sont pas des segments : $[a, +\infty[$ , $]0, 1]$ , $]0, +\infty[$ , $\mathbb{R}$ . On y calcule l'aire d'un domaine non borné, on définit la fonction $\Gamma$ d'Euler et l'intégrale de Gauss, et l'on prépare les lois de probabilité à densité, les intégrales à paramètre et la comparaison entre séries et intégrales. À la fin, tu dois savoir :

dire si une intégrale sur un intervalle quelconque converge, en n'étudiant que ses bornes ouvertes ;
comparer une fonction positive à une fonction de référence ( $t^{-\alpha}$ , $e^{-\lambda t}$ , $\ln t$ ) par une inégalité ou une relation $O$ , $o$ , $\sim$ ;
montrer qu'une fonction est intégrable, et ne pas confondre intégrabilité et convergence ;
calculer une intégrale par primitive, intégration par parties ou changement de variable, en justifiant chaque passage à la limite ;
utiliser la positivité : inégalité triangulaire, fonction continue positive d'intégrale nulle.

L'essentiel : Démonstrations à savoir refaire Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Propriété Démonstrations à savoir refaire

Les intégrales de référence $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ , $\int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}$ , $\int_0^{+\infty}e^{-\lambda t}dt$ , $\int_0^1\ln t\,dt$ , par une primitive.
L'indépendance du point de coupure (Chasles sur un segment).
Fonction positive : convergence si et seulement si $x \mapsto \int_a^x f$ est majorée (limite monotone).
Comparaison $0 \leq f \leq g$ .
Intégrable implique convergente, pour une fonction réelle ( $f = f^+ - f^-$ ).
Une fonction continue, positive, d'intégrale nulle est nulle.
$\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}dt = n!$ par intégration par parties sur un segment.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Comparer une fonction positive à une fonction de référence

Quand l’utiliser

La fonction est positive au voisinage de la borne et n'a pas de primitive simple : il faut une inégalité, un $O$ , un $o$ ou un équivalent.

Rappel de cours

Si $0 \leq f \leq g$ au voisinage de $b$ (ou $f = O(g)$ , $f = o(g)$ avec $f, g$ positives), la convergence de $\int g$ entraîne celle de $\int f$ , et la divergence de $\int f$ celle de $\int g$ . Si $f \sim g$ avec $g$ positive, les deux intégrales ont même nature.

Démarche

Vérifier la positivité de $f$ au voisinage de la borne (ou travailler avec $|f|$ , méthode 8).
Chercher un équivalent simple de $f$ en la borne (développement limité, termes dominants, croissances comparées).
Comparer cet équivalent à une intégrale de référence de la méthode 5.
Conclure dans le bon sens : majorer par une fonction d'intégrale convergente pour la convergence, minorer par une fonction positive d'intégrale divergente pour la divergence.

Rédaction type

Au voisinage de $[b]$ , $f(t) \geq 0$ et $f(t) \sim [g(t)]$ . Or $g$ est positive et $\int^{[b]} g$ [converge / diverge] ([référence]). Par comparaison de fonctions positives, $\int_a^b f$ [converge / diverge].

Exemple traité

$\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt t}{1 + t^2}\,dt$ . La fonction est continue et positive sur $[0, +\infty[$ : seule la borne $+\infty$ est ouverte. En $+\infty$ , $\frac{\sqrt t}{1 + t^2} \sim \frac{\sqrt t}{t^2} = \frac{1}{t^{3/2}}$ , positive, d'intégrale convergente sur $[1, +\infty[$ car $\frac{3}{2} > 1$ . Par comparaison, l'intégrale converge. (Elle vaut $\frac{\pi}{\sqrt 2}$ .)

Erreurs fréquentes

Utiliser un équivalent sans signe constant : $g(t) = \frac{\sin t}{\sqrt t} + \frac{\sin^2 t}{t}$ s'écrit $\frac{\sin t}{\sqrt t}\big(1 + \frac{\sin t}{\sqrt t}\big)$ , donc $g \sim \frac{\sin t}{\sqrt t}$ en $+\infty$ ; pourtant $\int^{+\infty}\frac{\sin t}{\sqrt t}$ converge (méthode 17) et $\int^{+\infty} g$ diverge (méthode 9).
Se tromper d'équivalent : $\frac{x^2}{1 + x^4} \sim \frac{1}{x^2}$ en $+\infty$ , pas $\frac{1}{x}$ , ce qui ferait conclure à tort à la divergence.
Majorer pour prouver une divergence, ou minorer pour une convergence.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 17 et 38.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Calculs par une primitive ★☆☆

Montrer la convergence et calculer :

I_1 = \int_2^{+\infty} \frac{dx}{x^2 - 1}, \qquad I_2 = \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(t + 1)}, \qquad I_3 = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 4t + 3}, \qquad I_4 = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}.

Indications

Méthode 3 : décomposer en éléments simples, intégrer sur $[a, X]$ , puis faire tendre $X$ vers $+\infty$ . Pour $I_4$ , mettre le trinôme sous forme canonique.

Correction détaillée

Les quatre fonctions sont continues sur leur intervalle (les dénominateurs ne s'y annulent pas) ; seule la borne $+\infty$ est à étudier.

$I_1$ . $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\Big)$ . Pour $X \geq 2$ :

\int_2^X \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\Big[\ln\frac{x - 1}{x + 1}\Big]_2^X = \frac{1}{2}\ln\frac{X - 1}{X + 1} + \frac{1}{2}\ln 3 \xrightarrow[X \to +\infty]{} \frac{\ln 3}{2}.

$I_2$ . $\frac{1}{t(t + 1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}$ , donc $\int_1^X \frac{dt}{t(t + 1)} = \ln\frac{X}{X + 1} + \ln 2 \to \ln 2$ .

$I_3$ . $t^2 + 4t + 3 = (t + 1)(t + 3)$ et

\frac{1}{(t + 1)(t + 3)} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t + 3}\Big).

Ainsi

\int_0^X \frac{dt}{t^2 + 4t + 3} = \frac{1}{2}\ln\frac{X + 1}{X + 3} + \frac{1}{2}\ln 3 \to \frac{\ln 3}{2}.

$I_4$ . $t^2 + t + 1 = \big(t + \frac{1}{2}\big)^2 + \frac{3}{4}$ ; une primitive est $t \mapsto \frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2t + 1}{\sqrt 3}$ . Quand $X \to +\infty$ ,

\int_0^X \frac{dt}{t^2 + t + 1} \to \frac{2}{\sqrt 3}\Big(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\Big) = \frac{2\pi}{3\sqrt 3}.

Contrôles : les quatre valeurs sont positives, comme les fonctions, et $I_4 \approx 1{,}209$ .

Méthodes à retenir

Quand une primitive explicite existe, elle donne d'un seul coup la convergence et la valeur : la limite de la primitive en la borne suffit. On écrit toujours l'intégrale partielle sur un segment avant de passer à la limite. Voir la méthode 3.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 16 pièges corrigés, la carte mentale, 43 exercices corrigés, 3 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

Ouvrir l'essai gratuit Une question ? WhatsApp

Plan du cours

1. Cadre et rappels
- 1.1 Ce que l'on sait sur un segment
- 1.2 Fonctions étudiées
2. Intégrale sur $[a, +\infty[$
- 2.1 Définition
- 2.2 Le reste d'une intégrale convergente
- 2.3 Deux idées fausses
3. Intégrale sur un intervalle quelconque
- 3.1 Une borne ouverte
- 3.2 Intégrales de référence en $0$
- 3.3 Se ramener en $0$ : la translation
- 3.4 Deux bornes ouvertes
- 3.5 Tableau des intégrales de référence
4. Propriétés des intégrales convergentes
5. Fonctions positives
- 5.1 Le théorème de base
- 5.2 Théorèmes de comparaison
6. Fonctions intégrables
- 6.1 Définition
- 6.2 Intégrable implique convergente
- 6.3 Critères d'intégrabilité
- 6.4 L'espace des fonctions intégrables
- 6.5 Convergente sans être intégrable
7. Calcul d'intégrales
- 7.1 Intégration par parties
- 7.2 Changement de variable
- 7.3 Deux intégrales classiques
8. Intégration des relations de comparaison

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Repérer les bornes impropres et justifier la continuité
Lever un faux problème en une borne finie
Étudier une convergence par une primitive
Comparer une fonction positive à une fonction de référence
Utiliser les intégrales de référence
Appliquer la règle $t^\alpha f(t) \to 0$ avec un exposant intermédiaire
Étudier une intégrale sur un intervalle ouvert
Prouver l'intégrabilité d'une fonction de signe quelconque
Prouver une divergence ou une non-intégrabilité
Déterminer pour quelles valeurs d'un paramètre une intégrale converge
Exploiter la positivité : inégalité triangulaire, intégrale nulle
Intégrer par parties sur un intervalle quelconque
Changer de variable sur un intervalle quelconque
Établir une relation de récurrence par intégration par parties
Calculer avec les techniques usuelles
Choisir un paramètre pour qu'une fonction soit intégrable
Ramener une intégrale oscillante à une intégrale absolument convergente
Obtenir un équivalent d'un reste ou d'une intégrale partielle

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

Bornes impropres et faux problèmes
Les intégrales de référence
Calculs par une primitive
Natures par comparaison
Équivalents en une borne finie
Une borne finie à translater
Intégrabilité de fonctions de signe quelconque
Une intégrabilité sur $\mathbb{R}$
Les intégrales $\int_0^{+\infty} x^ne^{-x}\,dx$
Un changement de variable $u = \sqrt t$
La symétrie $u = \frac{1}{t}$
Intégrations par parties
Exponentielle complexe et inégalité triangulaire
Un produit scalaire défini par une intégrale
Riemann et paramètre
Bornée en une borne finie, pas à l'infini

Entraînement (20)

Intégrales de Bertrand
Un domaine avec deux bornes
Choisir le paramètre
Éléments simples ou symétrie
Deux intégrales égales par $t = \frac{1}{x}$
L'intégrale $\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan\theta}\,d\theta$
Un changement de variable trigonométrique
Une intégration par parties piégée
L'intégrale $\int_0^{+\infty}\ln\big(1 + \frac{1}{t^2}\big)\,dt$
Deux calculs autour de l'arctangente
Les intégrales $\int_0^{+\infty} x^ne^{-x^2}\,dx$
Une gaussienne et ses moments
Intégrales de Wallis généralisées
Fonction décroissante intégrable
Une intégrale convergente sans limite nulle
$\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable
L'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln(1 - t^2)}{t^2}\,dt$
L'intégrale $\int_0^{+\infty}\Big(1 - \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}\Big)dt$
Équivalent du reste de Gauss
Une limite par intégration d'un équivalent

Approfondissement (7)

Si $f$ et $f'$ sont intégrables, $f$ tend vers $0$
L'intégrale $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin t)\,dt$
Une symétrie qui fait disparaître le paramètre
Une fonction intégrable qui ne tend pas vers $0$
Les intégrales $\int_0^1 (x\ln x)^n\,dx$
Le changement de variable $t = x - \frac{1}{x}$
Développement asymptotique d'une intégrale partielle

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

L'intégrale de Dirichlet $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt$
CNC 2015, filière PSI, Mathématiques I, problème 1, première partie
Constante d'Euler et formule de Gauss pour la fonction $\Gamma$
CNC 1999, filière TSI, Mathématiques I, troisième partie, questions 1 à 8
L'intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis
Centrale-Supélec 2024, filière PSI, Mathématiques 1, partie I, questions 1 à 8 (questions intermédiaires ajoutées en 6)

Questions fréquentes

Quelle différence entre une intégrale convergente et une fonction intégrable ?

$\int_I f$ converge si les intégrales sur des segments ont une limite finie aux bornes ouvertes ; $f$ est intégrable si $\int_I |f|$ converge. Intégrable implique convergente, avec $\left|\int_I f\right| \leq \int_I |f|$ . La réciproque est fausse : $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ converge, mais $\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable sur $[1, +\infty[$ . Pour une fonction de signe constant au voisinage de la borne, les deux notions coïncident.

Quand les intégrales de Riemann convergent-elles ?

$\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ , et vaut alors $\frac{1}{\alpha - 1}$ ; $\int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$ , et vaut $\frac{1}{1 - \alpha}$ . Aucune valeur de $\alpha$ ne convient aux deux bornes : $\int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ diverge toujours. En un point fini $a$ , le changement de variable $u = t - a$ ramène $\frac{1}{(t - a)^\alpha}$ au cas de $0$ .

f

tend vers

0

+\infty

, l'intégrale converge-t-elle ?

Non : $\frac{1}{t}$ tend vers $0$ et $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t} = +\infty$ . C'est la vitesse de décroissance qui compte : si $f$ est positive et $f(t) = O\left(\frac{1}{t^\alpha}\right)$ avec $\alpha > 1$ , l'intégrale converge. Inversement, une intégrale peut converger sans que $f$ tende vers $0$ , avec des pics de plus en plus hauts et de plus en plus étroits.

Comment utiliser un équivalent pour étudier une intégrale ?

Si $f \sim g$ au voisinage de la borne et si $g$ est positive, les deux intégrales ont même nature. Sans hypothèse de signe, c'est faux : on se ramène alors à $|f|$ , avec $|f| \sim |g|$ . Exemple : $\frac{\sqrt t}{1 + t^2} \sim \frac{1}{t^{3/2}}$ en $+\infty$ , positive, et $\frac{3}{2} > 1$ , donc $\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt t}{1 + t^2}dt$ converge.

Comment faire une intégration par parties sur un intervalle quelconque ?

On l'écrit sur un segment $[a, x]$ , puis on fait tendre $x$ vers la borne ouverte en vérifiant que le crochet et l'une des intégrales ont une limite finie. Par exemple $\int_0^x t^n e^{-t}dt = -x^n e^{-x} + n\int_0^x t^{n-1}e^{-t}dt$ donne $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}dt = n!$ . Écrire la formule directement sur l'intervalle ouvert en déclarant le crochet nul sans calcul est l'erreur la plus relevée par les jurys.

Quelles sont les hypothèses du changement de variable ?

$\varphi : ]\alpha, \beta[ \to ]a, b[$ doit être une bijection de classe $\mathcal{C}^1$ , strictement monotone. Alors $\int_a^b f(t)\,dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))|\varphi'(u)|\,du$ ont même nature et même valeur. Par exemple $u = \frac{1}{t}$ échange $]0, 1]$ et $[1, +\infty[$ et montre que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1 + t^2}dt = 0$ .

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.