Variables aléatoires discrètes infinies en prépa ECT : loi géométrique, loi de Poisson, exercices corrigés

Q: Comment montrer qu'une variable aléatoire admet une espérance ?

On calcule la somme partielle S_n = Σ_(k ≤ n)kP(X = k) et l'on montre qu'elle a une limite finie : la série converge, X admet une espérance et E(X) est cette limite. On n'écrit jamais E(X) = Σ_(k=0)^(+∞)kP(X = k) avant d'avoir prouvé la convergence. Par exemple, la loi P(X = k) = (1)/(k(k + 1)) n'a pas d'espérance : kP(X = k) = (1)/(k + 1), et la série harmonique diverge.

Q: Quelles sont l'espérance et la variance d'une loi de Poisson ?

Si X hookrightarrow P(λ), E(X) = V(X) = λ : ce sont des résultats admis du programme. On peut les retrouver par la série exponentielle, sans série dérivée : (k)/(k!) = (1)/((k - 1)!) donne E(X) = λ, et (k(k - 1))/(k!) = (1)/((k - 2)!) donne E(X(X - 1)) = λ^2, d'où E(X^2) = λ^2 + λ et V(X) = λ.

Q: Que vaut P(X > n) pour une loi géométrique ?

Si X hookrightarrow G(p), P(X > n) = (1 - p)^n : l'événement [X > n] signifie que les n premières épreuves sont des échecs. On en déduit la fonction de répartition F_X(n) = 1 - (1 - p)^n, et inversement la loi par P(X = k) = P(X > k - 1) - P(X > k). Attention : P(X ≥ n) = (1 - p)^(n-1), pas (1 - p)^n.

Q: Comment simuler une loi géométrique en Python ?

Deux méthodes du programme : une boucle `while` qui répète des épreuves de Bernoulli (`rd.random() < p` est vrai avec la probabilité p) et compte les épreuves jusqu'au premier succès, avec un compteur qui part de 1 ; ou le générateur `rd.geometric(p, N)`, qui renvoie N valeurs supérieures ou égales à 1. On compare ensuite la moyenne `np.mean` à (1)/(p) et les fréquences aux probabilités. Pour la loi de Poisson, on utilise `rd.poisson(lam, N)`.

ECT 2

Probabilités sur un univers quelconque, variables aléatoires à valeurs dans N, loi et fonction de répartition, espérance et variance définies par des séries, lois géométrique et de Poisson, simulation en Python.

15méthodes
40exercices corrigés
7problèmes
16pièges
29figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une variable aléatoire discrète infinie prend une infinité de valeurs, par exemple le rang du premier succès ou un nombre d'arrivées pendant une heure. Sa loi est la donnée des $P(X = k)$ , positifs, dont la série converge et a pour somme $1$ . $X$ admet une espérance si la série $\sum kP(X = k)$ converge (absolument) : on le prouve toujours avant d'écrire $E(X)$ , car certaines variables n'en ont pas. Les deux lois du programme sont la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ , rang du premier succès dans des épreuves indépendantes, avec $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$ , $E(X) = \frac{1}{p}$ et $V(X) = \frac{1 - p}{p^2}$ , et la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ , nombre d'arrivées, avec $P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ et $E(X) = V(X) = \lambda$ . Ce chapitre suit le programme de deuxième année ECT, au Maroc comme en France ; il couvre aussi la fonction de répartition, le théorème de transfert, la variance par $E(X(X - 1))$ , le passage de $P(X > k)$ à la loi, la simulation en Python et, pour le Maroc, la tribu, la limite monotone et les événements presque sûrs. Ces questions reviennent dans les exercices de probabilités du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Une variable aléatoire peut prendre une infinité de valeurs : le rang de la première caisse mal calibrée sur un convoyeur, le nombre de camionnettes qui arrivent en une heure au portail d'une station. Aucune borne ne peut être fixée d'avance. Ce chapitre étend la loi, l'espérance et la variance à ces variables, grâce aux séries du chapitre « Sommes finies et séries numériques », et étudie les deux lois infinies du programme, la loi géométrique et la loi de Poisson. À la fin, tu dois savoir :

montrer qu'une suite de nombres définit une loi de probabilité, et trouver une constante ;
déterminer la loi d'une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$ , sa fonction de répartition, et passer de $P(X > k)$ à la loi ;
montrer qu'une variable admet une espérance, ou qu'elle n'en admet pas, et la calculer ; calculer une variance ;
reconnaître et justifier une loi géométrique ou une loi de Poisson, et utiliser leurs espérances et variances ;
simuler ces lois en Python et comparer la simulation à la théorie.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Loi d'une variable infinie

Support d'abord : $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}^*$ , $[\![2, +\infty[\![$ ; jamais $[\![1, n]\!]$ quand aucune valeur n'est exclue.
Loi : les $P(X = k)$ sont positifs et la série $\sum P(X = k)$ converge et a pour somme $1$ .
$P(X \in A) = \sum_{k \in A}P(X = k)$ ; « $X$ pair » est la réunion des $[X = 2j]$ .
Une probabilité d'une réunion d'événements deux à deux incompatibles est une somme de série.

À retenir Fonction de répartition

$F_X(x) = P(X \leq x)$ : croissante, continue à droite, de limites $0$ et $1$ ; le saut en $a$ vaut $P(X = a)$ .
Elle caractérise la loi (admis).
Valeurs entières : $P(X = k) = F_X(k) - F_X(k - 1) = P(X > k - 1) - P(X > k)$ .

À retenir Espérance

$X$ admet une espérance si la série $\sum x_kP(X = x_k)$ est absolument convergente ; alors $E(X) = \sum x_kP(X = x_k)$ .
Somme partielle d'abord, limite ensuite ; jamais $E(X) = \sum$ avant la convergence.
Une variable infinie peut ne pas avoir d'espérance : $P(X = k) = \frac{1}{k(k + 1)}$ .
Admis : positivité, linéarité (sans indépendance), croissance ; $E(aX + b) = aE(X) + b$ .
Transfert (admis) : $E(f(X)) = \sum f(x_k)P(X = x_k)$ , sous réserve d'absolue convergence.

À retenir Variance

$X$ admet une variance si et seulement si $\sum x_k^2P(X = x_k)$ converge.
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ; $V(aX + b) = a^2V(X)$ ; $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
Avec des factorielles : $E(X^2) = E(X(X - 1)) + E(X)$ .
Une espérance n'entraîne pas une variance.

Loi	Situation	Support	$P(X = k)$	Probabilité utile	$E(X)$	$V(X)$
$\mathcal{G}(p)$	rang du premier succès	$\mathbb{N}^*$	$p(1 - p)^{k-1}$	$P(X > n) = (1 - p)^n$	$\frac{1}{p}$ (admis)	$\frac{1 - p}{p^2}$ (admis)
$\mathcal{P}(\lambda)$	nombre d'arrivées pendant une durée	$\mathbb{N}$	$e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	$P(X \geq 1) = 1 - e^{-\lambda}$	$\lambda$ (admis)	$\lambda$ (admis)

À retenir Reconnaître une loi

Géométrique : « épreuves indépendantes à deux issues, succès de probabilité $p$ , $X$ rang du premier succès, donc $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ ».
Nombre d'échecs avant le premier succès : $X - 1$ , support $\mathbb{N}$ , pas géométrique.
Poisson : nombre d'arrivées, en général donnée par l'énoncé ; somme $1$ par la série exponentielle.
Absence de mémoire : $P_{[X > n]}(X > n + k) = P(X > k)$ pour $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ .
Jamais la série dérivée $\sum kq^{k-1}$ : une somme finie donnée par l'énoncé la remplace.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Reconnaître et justifier une loi géométrique

Quand l’utiliser

Une expérience est répétée jusqu'à un premier succès, ou l'énoncé demande « reconnaître la loi de $X$ ».

Rappel de cours

Dans une suite d'épreuves indépendantes à deux issues, de même probabilité de succès $p$ , le rang du premier succès suit la loi $\mathcal{G}(p)$ : $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ , $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$ , $E(X) = \frac{1}{p}$ , $V(X) = \frac{1 - p}{p^2}$ (admis).

Démarche

Décrire l'épreuve répétée et dire qu'elle est répétée de façon indépendante, dans les mêmes conditions.
Nommer le succès et calculer sa probabilité $p$ ; elle peut être composée : deux résultats différents en deux lancers ( $2p(1 - p)$ ), au moins un défaut sur deux contrôles indépendants ( $1 - (1 - p_1)(1 - p_2)$ ).
Vérifier que $X$ est le rang du premier succès ; si $X$ compte les échecs avant lui, c'est $X + 1$ qui est géométrique.
Conclure par la phrase type, avec le paramètre, puis citer $E$ et $V$ .

Rédaction type

« On répète l'épreuve … de façon indépendante ; chaque épreuve a deux issues, le succès « … », de probabilité $p = \dots$ , et l'échec. $X$ est le rang du premier succès, donc $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ : $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ , $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$ , $E(X) = \frac{1}{p}$ et $V(X) = \frac{1 - p}{p^2}$ . »

Exemple traité

Une manche consiste à lancer deux fois une pièce équilibrée ; le succès est « face aux deux lancers », de probabilité $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . On répète les manches de façon indépendante et $X$ est le rang de la première manche réussie : $X \hookrightarrow \mathcal{G}\big(\frac{1}{4}\big)$ , $E(X) = 4$ , $V(X) = \frac{3/4}{1/16} = 12$ . En moyenne, il faut quatre manches.

Erreurs fréquentes

Affirmer la loi sans justification : « une affirmation gratuite n'est pas suffisante » (rapport BSB 2023, voie technologique).
Choisir une loi uniforme ou de Poisson pour un temps d'attente (rapports ECRICOME 2026 et ESCP 2018, voie technologique).
Prendre $1 - p$ pour paramètre au lieu de $p$ , ou oublier le décalage du nombre d'échecs.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 26, 32 et 36 ; problèmes 1, 2, 5 et 6.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le premier 6 ★☆☆

On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces ; les lancers sont indépendants. On note $X$ le rang du premier lancer qui donne $6$ .

Préciser $X(\Omega)$ et déterminer $P(X = k)$ pour tout $k \in X(\Omega)$ . Reconnaître la loi de $X$ .
Vérifier que $\sum_{k \geq 1}P(X = k) = 1$ .
Donner $E(X)$ et $V(X)$ .
Calculer $P(X > 10)$ et $P(X \leq 3)$ .

Indications

Pour $k \geq 1$ , notons $S_i$ l'événement « le lancer $i$ donne $6$ » : $[X = k] = \overline{S_1} \cap \cdots \cap \overline{S_{k-1}} \cap S_k$ . 4. $[X > 10]$ : aucun $6$ lors des dix premiers lancers.

Correction détaillée

1. Le premier $6$ peut arriver à n'importe quel rang, et à aucun rang fixé d'avance : $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ . Pour $k \geq 1$ , $[X = k] = \overline{S_1} \cap \cdots \cap \overline{S_{k-1}} \cap S_k$ ; les lancers étant indépendants,

P(X = k) = \Big(\frac{5}{6}\Big)^{k-1}\frac{1}{6} .

On répète une même épreuve de Bernoulli (succès : obtenir $6$ , de probabilité $\frac{1}{6}$ ), de façon indépendante, et $X$ est le rang du premier succès : $X \hookrightarrow \mathcal{G}\big(\frac{1}{6}\big)$ .

2. Série géométrique de raison $\frac{5}{6}$ , avec $\big\lvert\frac{5}{6}\big\rvert < 1$ :

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{6}\Big(\frac{5}{6}\Big)^{k-1} = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1 - 5/6} = 1 .

3. Par les résultats admis sur la loi géométrique, $E(X) = \frac{1}{1/6} = 6$ et $V(X) = \frac{1 - 1/6}{(1/6)^2} = 30$ . En moyenne, il faut six lancers pour voir le premier $6$ , mais l'écart type, $\sqrt{30} \approx 5{,}5$ , est presque aussi grand : l'attente varie beaucoup d'une série de lancers à l'autre.

4. $[X > 10] = \overline{S_1} \cap \cdots \cap \overline{S_{10}}$ , donc $P(X > 10) = \big(\frac{5}{6}\big)^{10} \approx 0{,}162$ . Par complémentaire,

P(X \leq 3) = 1 - P(X > 3) = 1 - \Big(\frac{5}{6}\Big)^3 = \frac{91}{216} \approx 0{,}421 .

Méthodes à retenir

« Rang du premier succès dans des épreuves indépendantes de même probabilité de succès » : c'est la loi géométrique, et $P(X > n) = q^n$ se lit « $n$ échecs de suite », sans série. Voir les méthodes 2, 5 et 9.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 16 pièges corrigés, la carte mentale, 40 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

0. Rappels de première année
- 0.1 Probabilités
- 0.2 Variable finie
- 0.3 Ce qui manque
1. Probabilités sur un univers quelconque
- 1.1 Répéter une épreuve sans fixer le nombre de répétitions
- 1.2 Une probabilité devient une somme de série
- 1.3 Compléments du programme marocain
2. Variables aléatoires discrètes infinies
- 2.1 Variable aléatoire, système complet associé
- 2.2 Loi d'une variable discrète infinie
- 2.3 Fonction de répartition
- 2.4 Loi d'une fonction de $X$
- 2.5 Compléments du programme marocain
3. Espérance et variance
- 3.1 Espérance
- 3.2 Propriétés
- 3.3 Théorème de transfert
- 3.4 Variance
- 3.5 Stratégie de calcul
- 3.6 Compléments du programme marocain
4. Lois usuelles infinies
- 4.1 Loi géométrique
- 4.2 Loi de Poisson
- 4.3 Tableau des lois usuelles
- 4.4 Reconnaître une loi
5. Simuler en Python
- 5.1 La loi géométrique, de deux façons
- 5.2 La loi de Poisson
- 5.3 Comparer la simulation à la théorie
- 5.4 Un rang d'arrêt

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Montrer qu'une suite définit une loi, trouver une constante
Déterminer le support et la loi d'une variable infinie
Calculer la probabilité d'un événement lié à $X$
Passer de la loi à $F_X$ ou à $P(X > k)$ , et inversement
Reconnaître et justifier une loi géométrique
Reconnaître et utiliser une loi de Poisson
Montrer qu'une variable admet une espérance (ou non) et la calculer
Calculer une variance
Utiliser les espérances et variances des lois usuelles
Conditionner par un système complet fini
Retrouver $\sum kq^{k-1}$ par une somme finie
Simuler une loi géométrique ou de Poisson et comparer à la théorie
Montrer qu'un ensemble est dénombrable ; utiliser la $\sigma$ -additivité
Limite monotone, presque sûr, probabilités totales dénombrables
Variable centrée réduite, moments d'ordre $r$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

Trois constantes de normalisation
Une constante avec $k^2 + 1$
Une loi définie par $2 + a^n$
Le premier 6
Géométrique, Poisson ou ni l'une ni l'autre
Le nombre d'échecs avant le premier succès
Une loi géométrique décalée
Clients à un guichet
Fonction de répartition d'une loi géométrique
De $P(X > n)$ à la loi
Coûts et durées
Moments d'une loi géométrique
Au moins un panier
Une valeur paire
Compléter un programme de simulation
Des ensembles dénombrables

Entraînement (18)

Une espérance par une somme finie
Une variable sans espérance
Le mode d'une loi de Poisson
Espérance et variance d'une loi de Poisson, à la main
Une loi définie par une relation
L'absence de mémoire
Deux contrôles et le premier lot refusé
La cage à grimper
La fonction $t \mapsto E(e^{tX})$
Combien de guichets ?
Deux machines et le premier défaut
Choisir $\lambda$
Simuler une loi de Poisson et comparer
Deux méthodes de simulation de la loi géométrique
Deux machines, des pannes de Poisson
Une loi de Poisson sans zéro
Presque sûrement, le premier défaut arrive
Pannes réparées sur place

Approfondissement (6)

L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique
L'espérance par les probabilités de queue
Combien de pièces de rechange ?
Une espérance sans variance
Collectionner les trois vergers
Moments d'une loi de Poisson et variable centrée réduite

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le premier crayon défectueux
CNAEM 2019, filière ECT, Mathématiques, exercice 4
Deux résultats différents
BCE 2023, BSB, voie technologique, Mathématiques, exercice 2, première partie
Ampoules produites et ampoules défectueuses
CNAEM 2018, filière ECT, Mathématiques, exercice 4
Deux pièces, l'espérance du rang du premier face
CNAEM 2020, filière ECT, Mathématiques, exercice 3, questions 6 et 7
Des foulards jusqu'aux deux sortes
ECRICOME 2026, voie technologique, exercice 3, partie 2
Le minimum de deux lois géométriques
CNAEM 2023, filière ECT, Mathématiques, exercice, section 1.2, questions 1.2.1 à 1.2.4
Un mobile qui revient à l'origine
BCE 2020, ESCP, voie technologique, Mathématiques, exercice 4, questions 1 à 3 et 6

Questions fréquentes

Comment reconnaître une loi géométrique ?

On répète une même épreuve à deux issues, de façon indépendante, avec la même probabilité de succès $p$ , et $X$ est le rang du premier succès : alors $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ , $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ et $P(X = k) = p(1 - p)^{k-1}$ . La justification est indispensable sur une copie : épreuve, indépendance, succès et sa probabilité, rang du premier succès. Le nombre d'échecs avant le premier succès, qui peut valoir $0$ , n'est pas géométrique : c'est ce nombre augmenté de $1$ qui l'est.

Comment montrer qu'une variable aléatoire admet une espérance ?

On calcule la somme partielle $S_n = \sum_{k \leq n}kP(X = k)$ et l'on montre qu'elle a une limite finie : la série converge, $X$ admet une espérance et $E(X)$ est cette limite. On n'écrit jamais $E(X) = \sum_{k=0}^{+\infty}kP(X = k)$ avant d'avoir prouvé la convergence. Par exemple, la loi $P(X = k) = \frac{1}{k(k + 1)}$ n'a pas d'espérance : $kP(X = k) = \frac{1}{k + 1}$ , et la série harmonique diverge.

Quelles sont l'espérance et la variance d'une loi de Poisson ?

Si $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ , $E(X) = V(X) = \lambda$ : ce sont des résultats admis du programme. On peut les retrouver par la série exponentielle, sans série dérivée : $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k - 1)!}$ donne $E(X) = \lambda$ , et $\frac{k(k - 1)}{k!} = \frac{1}{(k - 2)!}$ donne $E(X(X - 1)) = \lambda^2$ , d'où $E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$ et $V(X) = \lambda$ .

Que vaut P(X > n) pour une loi géométrique ?

Si $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ , $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement $[X > n]$ signifie que les $n$ premières épreuves sont des échecs. On en déduit la fonction de répartition $F_X(n) = 1 - (1 - p)^n$ , et inversement la loi par $P(X = k) = P(X > k - 1) - P(X > k)$ . Attention : $P(X \geq n) = (1 - p)^{n-1}$ , pas $(1 - p)^n$ .

Peut-on utiliser la somme de la série géométrique dérivée en ECT ?

Non. Les séries dérivées de la série géométrique ne sont pas au programme d'ECT, au Maroc comme en France, et les jurys attendent qu'on passe par la question précédente de l'énoncé. Celui-ci fait en général établir une égalité finie, $(1 - q)^2\sum_{k=1}^{n}kq^{k-1} = 1 - (n + 1)q^n + nq^{n+1}$ , puis passer à la limite pour $|q| < 1$ . Sans question de ce type, on cite le résultat admis $E(X) = \frac{1}{p}$ pour une loi géométrique.

Comment simuler une loi géométrique en Python ?

Deux méthodes du programme : une boucle while qui répète des épreuves de Bernoulli (rd.random() < p est vrai avec la probabilité $p$ ) et compte les épreuves jusqu'au premier succès, avec un compteur qui part de $1$ ; ou le générateur rd.geometric(p, N), qui renvoie $N$ valeurs supérieures ou égales à $1$ . On compare ensuite la moyenne np.mean à $\frac{1}{p}$ et les fréquences aux probabilités. Pour la loi de Poisson, on utilise rd.poisson(lam, N).

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.