Couples de variables aléatoires finies en prépa ECT et ECG : loi conjointe, covariance, corrélation, exercices corrigés

Q: Comment trouver les lois marginales à partir de la loi d'un couple ?

Les événements [Y = y_j] forment un système complet ; par la formule des probabilités totales, P(X = x_i) = Σ_j P([X = x_i] ∩ [Y = y_j]). Dans le tableau du couple, la loi de X s'obtient en sommant chaque ligne et celle de Y en sommant chaque colonne. On vérifie ensuite que chaque loi marginale a une somme égale à 1. Les marginales ne suffisent pas, en général, à retrouver la loi du couple.

Q: Comment montrer que deux variables aléatoires sont indépendantes ?

Pour des variables finies, X et Y sont indépendantes si et seulement si P([X = x] ∩ [Y = y]) = P(X = x)P(Y = y) pour toutes les cases du tableau. Il faut donc vérifier toutes les cases, ou reconnaître une factorisation p_(i,j) = a_ib_j, ou citer une hypothèse de l'énoncé comme des tirages avec remise. Pour montrer qu'elles ne sont pas indépendantes, une seule case suffit : une case nulle dont les deux marges sont non nulles, par exemple.

Q: Comment calculer une covariance ?

On utilise la formule de Kœnig-Huygens : Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y), avec E(XY) = Σ x_iy_j P([X = x_i] ∩ [Y = y_j]) calculée sur les cases non nulles du tableau. Par exemple, si E(X) = E(Y) = (4)/(5) et E(XY) = (2)/(5), alors Cov(X, Y) = (2)/(5) - (16)/(25) = -(6)/(25) : une covariance négative indique que les deux variables varient plutôt en sens contraire. On peut aussi développer par bilinéarité, ou écrire Cov(X, Y) = (1)/(2) (V(X + Y) - V(X) - V(Y) ) quand la loi de X + Y est connue.

Q: Que vaut la variance d'une somme de deux variables aléatoires ?

Pour toutes variables, V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y), et plus généralement V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab Cov(X, Y). Si X et Y sont indépendantes, la covariance est nulle et V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; dans ce cas, on a aussi V(X - Y) = V(X) + V(Y), jamais V(X) - V(Y).

Q: Comment interpréter le coefficient de corrélation linéaire ?

Le coefficient ρ (X, Y) = (Cov(X, Y))/(σ (X)σ (Y)) a le signe de la covariance, n'a pas d'unité et vérifie |ρ| ≤ 1. Il vaut 1 ou -1 si et seulement si Y = aX + b avec la probabilité 1, la pente a ayant le signe de ρ. Un coefficient proche de 0 signale l'absence de liaison affine, mais une autre dépendance reste possible, comme Y = X^2 ; et une forte corrélation ne prouve pas une causalité.

Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables finies, lois conditionnelles, indépendance, espérance d'une somme et d'un produit, covariance et coefficient de corrélation, variance d'une somme, simulation en Python.

15méthodes
41exercices corrigés
6problèmes
16pièges
28figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La loi d'un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires finies est la donnée des probabilités $P([X = x] \cap [Y = y])$ , rangées dans un tableau dont la somme vaut $1$ ; les lois marginales s'obtiennent en sommant les lignes et les colonnes. $X$ et $Y$ sont indépendantes si chaque case est le produit de ses deux marges. La covariance se calcule par la formule de Kœnig-Huygens, $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ ; elle donne la variance d'une somme, $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ , et le coefficient de corrélation $\rho = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ , toujours compris entre $-1$ et $1$ . Deux variables indépendantes ont une covariance nulle, mais la réciproque est fausse. Ce chapitre suit le programme de deuxième année ECT, au Maroc comme en France, et sert aussi en ECG ; il couvre les lois conditionnelles, la loi de $X + Y$ lue sur le tableau, le cas $\rho = \pm 1$ et la simulation d'un couple en Python. Ces questions reviennent dans les exercices de probabilités du CNAEM, de l'ISCAE, de la BCE et d'ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Une expérience aléatoire produit souvent deux grandeurs à la fois : le nombre de caisses de deux vergers dans un prélèvement, la machine qui a fabriqué une pièce et son défaut, les revenus de deux productions d'une même année. Étudier chaque variable seule ne dit pas si elles sont liées. Ce chapitre étudie le couple : sa loi, l'indépendance des deux variables, et deux nombres qui mesurent leur liaison, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire. À la fin, tu dois savoir :

dresser le tableau de la loi d'un couple, en déduire les lois marginales et les lois conditionnelles ;
montrer que deux variables sont indépendantes, ou qu'elles ne le sont pas ;
calculer $E(X + Y)$ , $E(XY)$ , une covariance et la variance d'une somme ;
lire sur le tableau la loi de $X + Y$ ou de $XY$ quand l'énoncé la demande ;
calculer le coefficient de corrélation linéaire et l'interpréter, en particulier quand il vaut $1$ ou $-1$ ;
simuler un couple en Python et estimer sa covariance.

Les sommes finies sont reprises dans le chapitre « Sommes finies et séries numériques ».

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Loi d'un couple

Loi conjointe : $X(\Omega)$ , $Y(\Omega)$ et les $p_{i,j} = P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ , dans un tableau (lignes : $X$ ; colonnes : $Y$ ).
Contrôle : $p_{i,j} \geq 0$ et $\sum_{i,j}p_{i,j} = 1$ .
Obtention : dénombrement, arbre et probabilités composées $p_{i,j} = P(X = x_i)P_{[X = x_i]}(Y = y_j)$ , formule.
Marginales : $P(X = x_i) = \sum_j p_{i,j}$ (somme de la ligne), $P(Y = y_j) = \sum_i p_{i,j}$ (somme de la colonne), par les probabilités totales.
Conditionnelle : $P_{[Y = y_j]}(X = x_i) = \frac{p_{i,j}}{P(Y = y_j)}$ , la colonne divisée par sa somme.
Les marginales ne déterminent pas la loi conjointe.

À retenir Indépendance

Définition : $[X \in I]$ et $[Y \in J]$ indépendants pour tous intervalles $I$ , $J$ .
En univers fini : $p_{i,j} = P(X = x_i)P(Y = y_j)$ pour toutes les cases ; ou factorisation $p_{i,j} = a_ib_j$ .
Pour la nier : une case suffit ; une case nulle à marges non nulles suffit.
Une variable constante est indépendante de toute variable.
Jamais d'indépendance « de bon sens » : hypothèse de l'énoncé ou calcul.

À retenir Espérances

$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$ , sans hypothèse d'indépendance.
$E(XY) = \sum_{i,j}x_iy_j\,p_{i,j}$ (admis) ; on écrit $E(XY)$ , jamais $E(X, Y)$ .
$X$ , $Y$ indépendantes $\Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$ ; réciproque fausse.
Loi de $X + Y$ ou de $XY$ : support par les cases non nulles, puis $P(S = s)$ = somme des cases où $x_i + y_j = s$ .

À retenir Covariance

$\mathrm{Cov}(X, Y) = E\big((X - E(X))(Y - E(Y))\big) = E(XY) - E(X)E(Y)$ (Kœnig-Huygens).
Symétrique, linéaire à gauche et à droite ; $\mathrm{Cov}(X, a) = 0$ ; $\mathrm{Cov}(X, X) = V(X)$ ; $\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ .
Signe : positive, les variables varient dans le même sens ; négative, en sens contraire.
Indépendantes $\Rightarrow \mathrm{Cov} = 0$ ; réciproque fausse : $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ , $Y = X^2$ .

À retenir Variance d'une somme

$V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ ; $V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ .
$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ .
Si $\mathrm{Cov} = 0$ (en particulier si indépendantes) : $V(X \pm Y) = V(X) + V(Y)$ .
Si la loi de $X + Y$ est connue : $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{2}\big(V(X + Y) - V(X) - V(Y)\big)$ .

À retenir Coefficient de corrélation linéaire

$\rho(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ si $\sigma(X)\sigma(Y) \neq 0$ ; sans unité, du signe de la covariance.
$\lvert\rho\rvert \leq 1$ (trinôme $V(tX + Y) \geq 0$ ).
$\rho = \pm 1$ si et seulement si $Y = aX + b$ avec la probabilité $1$ , $a$ du signe de $\rho$ , $a = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{V(X)}$ , $b = E(Y) - aE(X)$ .
$\rho$ proche de $0$ : pas de liaison affine, mais une autre liaison reste possible ; corrélation n'est pas causalité.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer une covariance

Quand l’utiliser

On demande $\mathrm{Cov}(X, Y)$ , ou la covariance de combinaisons linéaires de variables.

Rappel de cours

Kœnig-Huygens : $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ . La covariance est symétrique et linéaire à gauche et à droite ; $\mathrm{Cov}(X, a) = 0$ ; $\mathrm{Cov}(X, X) = V(X)$ . Si la loi de $X + Y$ est connue : $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{2}\big(V(X + Y) - V(X) - V(Y)\big)$ .

Démarche

Choisir la voie : Kœnig-Huygens si l'on a le tableau ; bilinéarité pour une combinaison de variables de covariances connues ; variance de la somme si $X + Y$ suit une loi connue.
Calculer $E(X)$ , $E(Y)$ , $E(XY)$ , ou développer.
Interpréter le signe.

Rédaction type

« D'après la formule de Kœnig-Huygens, $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \dots$ La covariance est négative : $X$ et $Y$ ont tendance à varier en sens contraire. »

Exemple traité

Avec $p_{i,j} = \frac{i + j}{12}$ :

\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{5}{2} - \frac{19}{12} \times \frac{19}{12} = \frac{360 - 361}{144} = -\frac{1}{144},

négative et très faible : les deux variables sont à peine liées linéairement. Par bilinéarité, si $V(X) = 1$ et $\mathrm{Cov}(X, Y) = 2$ , alors $\mathrm{Cov}(2X - 1, 3Y + X) = 6\,\mathrm{Cov}(X, Y) + 2V(X) = 14$ .

Erreurs fréquentes

Prendre la mauvaise espérance dans la formule (par exemple celle d'une autre variable du problème).
Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ dans la voie par $V(X + Y)$ .

Pour s’entraîner

Exercices 10, 16, 23, 24, 30 et 31 ; problèmes 2, 3 et 5.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Covariance nulle, variables liées ★☆☆

Soit $X$ une variable suivant la loi uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ . On pose $Y = X^2$ .

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X, Y)$ . Le sujet proposait : A) $-0{,}5$ ; B) $0$ ; C) $0{,}5$ ; D) $\frac{35}{73}$ ; E) autre réponse.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Que montre cet exemple ?

Indications

$XY = X^3 = X$ puisque $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ , $1$ .

Correction détaillée

1. $E(X) = \frac{-1 + 0 + 1}{3} = 0$ . Comme $X^3 = X$ sur $\{-1, 0, 1\}$ , $E(XY) = E(X^3) = E(X) = 0$ , donc $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0 - 0 \times E(Y) = 0$ . Les variances sont non nulles ( $V(X) = \frac{2}{3}$ , $V(Y) = \frac{2}{9}$ ), donc $\rho(X, Y) = 0$ : réponse B.

2. $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0$ car $X = 0$ impose $Y = 0$ , alors que $P(X = 0)P(Y = 1) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \neq 0$ . Les variables ne sont pas indépendantes. Pourtant leur covariance est nulle : la réciproque de « indépendantes implique covariance nulle » est fausse. Ici $Y$ est même une fonction de $X$ ; elle n'est pas affine, et $\rho$ ne détecte que la part affine de la liaison.

Méthodes à retenir

Covariance nulle ne veut pas dire indépendance. Pour nier l'indépendance, une case nulle dont les deux marges sont non nulles suffit. Voir la méthode 6.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 16 pièges corrigés, la carte mentale, 41 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

0. Rappels de première année
- 0.1 Probabilités sur un univers fini
- 0.2 Variable aléatoire finie
- 0.3 Espérance et variance
- 0.4 Lois usuelles finies
1. Loi d'un couple
- 1.1 Couple de variables aléatoires
- 1.2 Loi conjointe
- 1.3 Lois marginales
- 1.4 Lois conditionnelles
2. Indépendance de deux variables aléatoires
- 2.1 Définition
- 2.2 En pratique
- 2.3 L'indépendance se démontre
3. Espérance d'une somme, d'un produit
- 3.1 Linéarité
- 3.2 Espérance d'un produit
- 3.3 Cas de deux variables indépendantes
- 3.4 Lire sur le tableau la loi de $X + Y$ ou de $XY$
- 3.5 Fonctions d'un couple (ECG)
4. Covariance
- 4.1 Définition
- 4.2 Formule de Kœnig-Huygens
- 4.3 Propriétés
- 4.4 Indépendance et covariance
5. Variance d'une somme
- 5.1 La formule
- 5.2 Variables de covariance nulle, variables indépendantes
- 5.3 Covariance à partir de la variance d'une somme
- 5.4 Une application : diversifier deux productions
6. Coefficient de corrélation linéaire
- 6.1 Définition
- 6.2 Encadrement
- 6.3 Interprétation du cas $\rho = \pm 1$
7. Simuler un couple en Python
- 7.1 Simuler l'expérience
- 7.2 Simuler à partir du tableau
- 7.3 Estimer la covariance et le coefficient de corrélation

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Déterminer la loi conjointe d'un couple
Compléter un tableau ou trouver une constante
Déterminer les lois marginales
Déterminer une loi conditionnelle
Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes
Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes
Calculer l'espérance d'une somme ou d'une combinaison linéaire
Calculer $E(XY)$
Calculer une covariance
Calculer $V(X + Y)$ , $V(X - Y)$ ou $V(aX + bY)$
Calculer et interpréter le coefficient de corrélation
Simuler un couple en Python et estimer la covariance
Lire sur le tableau la loi de $X + Y$ ou de $XY$
Calculer l'espérance d'une fonction du couple par le transfert
Loi du maximum, du minimum, somme de binomiales

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Exploiter un tableau numérique
Montant des achats et mode de paiement
Compléter un tableau
Une constante et une factorisation
Un couple de Bernoulli à paramètre
Covariance nulle, variables liées
Un tableau à covariance nulle
Minimum et maximum de deux dés à quatre faces
Variances de sommes
Calculs de covariance par bilinéarité
Marginales uniformes, couple dépendant
Deux variables indépendantes
D'une loi conditionnelle à la loi conjointe
Minimum et maximum de deux dés
Lire et compléter un programme Python

Entraînement (20)

Plus petit et plus grand numéro sans remise
Une urne choisie au hasard, puis une boule
Deux tirages sans remise et indicatrices
Deux jetons tirés sans remise
Deux variables de Bernoulli
Un tableau à paramètres
La loi du couple (somme, produit) lue sur les issues
Covariance par la variance d'une somme
Une réponse « Autre »
Encadrement du coefficient de corrélation
Un dé, puis une pièce lancée une ou deux fois
Deux clients d'une agence
Trois jetons et le nombre de couleurs
L'urne de Pólya en deux tirages
Les changements de couleur
Trois boules tirées simultanément
Estimer une covariance par simulation
Loi de la somme et du produit sur un tableau
Maximum et minimum de deux dés indépendants
Stabilité de la loi binomiale

Approfondissement (6)

Les rangs des deux boules blanches
Produits de lancers voisins
La seconde urne, avec Python
Somme et différence
Covariance de deux indicatrices
Deux productions de la coopérative

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Un dé, puis une pièce truquée
CNAEM 2019, filière ECT, Mathématiques, exercice 3
La puce
BCE 2016, ESCP, voie technologique, Mathématiques, exercice 4
Trois tirages et des répétitions de couleur
CNAEM 2022, filière ECT, Mathématiques, exercice 2
Des jetons à deux numéros
BCE 2026, BSB, voie technologique, Mathématiques T, exercice 3, partie I
Trois sortes de foulards
ECRICOME 2026, voie technologique, exercice 3, partie 1
Somme et produit de deux variables indépendantes
BCE 2023, ESCP, voie technologique, Mathématiques T, exercice 3

Questions fréquentes

Comment trouver les lois marginales à partir de la loi d'un couple ?

Les événements $[Y = y_j]$ forment un système complet ; par la formule des probabilités totales, $P(X = x_i) = \sum_j P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ . Dans le tableau du couple, la loi de $X$ s'obtient en sommant chaque ligne et celle de $Y$ en sommant chaque colonne. On vérifie ensuite que chaque loi marginale a une somme égale à $1$ . Les marginales ne suffisent pas, en général, à retrouver la loi du couple.

Comment montrer que deux variables aléatoires sont indépendantes ?

Pour des variables finies, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si $P([X = x] \cap [Y = y]) = P(X = x)P(Y = y)$ pour toutes les cases du tableau. Il faut donc vérifier toutes les cases, ou reconnaître une factorisation $p_{i,j} = a_ib_j$ , ou citer une hypothèse de l'énoncé comme des tirages avec remise. Pour montrer qu'elles ne sont pas indépendantes, une seule case suffit : une case nulle dont les deux marges sont non nulles, par exemple.

Comment calculer une covariance ?

On utilise la formule de Kœnig-Huygens : $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ , avec $E(XY) = \sum x_iy_j\,P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ calculée sur les cases non nulles du tableau. Par exemple, si $E(X) = E(Y) = \frac{4}{5}$ et $E(XY) = \frac{2}{5}$ , alors $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{2}{5} - \frac{16}{25} = -\frac{6}{25}$ : une covariance négative indique que les deux variables varient plutôt en sens contraire. On peut aussi développer par bilinéarité, ou écrire $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{2}\big(V(X + Y) - V(X) - V(Y)\big)$ quand la loi de $X + Y$ est connue.

Une covariance nulle implique-t-elle l'indépendance ?

Non. Deux variables indépendantes ont une covariance nulle, mais la réciproque est fausse. Avec $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^2$ , on a $E(XY) = E(X^3) = 0 = E(X)E(Y)$ , donc $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ ; pourtant $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0$ alors que $P(X = 0)P(Y = 1) = \frac{2}{9}$ . Une covariance nulle dit seulement qu'il n'y a pas de liaison linéaire.

Que vaut la variance d'une somme de deux variables aléatoires ?

Pour toutes variables, $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ , et plus généralement $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ . Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, la covariance est nulle et $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ; dans ce cas, on a aussi $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ , jamais $V(X) - V(Y)$ .

Comment interpréter le coefficient de corrélation linéaire ?

Le coefficient $\rho(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ a le signe de la covariance, n'a pas d'unité et vérifie $|\rho| \leq 1$ . Il vaut $1$ ou $-1$ si et seulement si $Y = aX + b$ avec la probabilité $1$ , la pente $a$ ayant le signe de $\rho$ . Un coefficient proche de $0$ signale l'absence de liaison affine, mais une autre dépendance reste possible, comme $Y = X^2$ ; et une forte corrélation ne prouve pas une causalité.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.