Statistiques bivariées en prépa ECT et ECG : covariance, corrélation, droite de régression, exercices corrigés

Q: Comment calculer la droite de régression de y en x ?

On calcule bar x, bar y, la variance s_x^2 = overlinex^2 - bar x^2 et la covariance s_(xy) = overlinexy - bar x bar y, en divisant par n. La pente est a = (s_(xy))/(s_x^2) et l'ordonnée à l'origine b = bar y - abar x : la droite passe par le point moyen G. On garde les fractions jusqu'au bout, et l'on vérifie que abar x + b = bar y.

Q: Quelle différence entre la droite de y en x et celle de x en y ?

La droite de y en x minimise les écarts verticaux et sert à prévoir y ; sa pente est (s_(xy))/(s_x^2). La droite de x en y minimise les écarts horizontaux et s'écrit x = a'y + b' avec a' = (s_(xy))/(s_y^2). Les deux passent par G, le produit de leurs pentes vaut aa' = r^2, et elles ne sont confondues que si |r| = 1. On n'obtient jamais l'une en isolant x dans l'autre.

Q: Comment interpréter un coefficient de corrélation ?

Un r proche de 1 ou de -1 indique que les points sont proches d'une droite, croissante ou décroissante. Un r proche de 0 indique l'absence de liaison affine, pas l'absence de lien : une liaison en parabole peut donner r = 0. Un seul point extrême peut changer r du tout au tout, et une forte corrélation ne prouve jamais une cause : deux grandeurs peuvent suivre une troisième.

Q: Comment faire une prévision avec une série chronologique ?

On remplace les années par leur rang : x = 1 pour la première année observée. Si la série couvre quatre années, l'année suivante a le rang 5, et la prévision est hat y = 5a + b. C'est une extrapolation : elle suppose que la tendance observée se poursuit, hypothèse qu'il faut écrire sur la copie.

Q: Comment se ramener à un ajustement affine ?

Quand le nuage est courbe, on change de variable. Pour une croissance exponentielle y = ke^(cx), on ajuste la droite de ln y en x, puis on revient à y avec k = e^b. Pour y = kx^c, on travaille sur ln x et ln y ; pour y = (1)/(α x + β), sur (1)/(y). L'oubli du retour à la variable d'origine est une erreur fréquente.

Q: Pourquoi np.cov ne donne-t-il pas la covariance du cours ?

Le cours divise par n, alors que `np.cov(x, y)` divise par n - 1 par défaut ; `np.cov(x, y, bias=True)[0, 1]` donne la covariance du cours, comme `np.mean(x * y) - np.mean(x) * np.mean(y)`. La méthode `.std()` de pandas divise aussi par n - 1 (`ddof=0` pour n). `np.polyfit(x, y, 1)` renvoie la pente puis l'ordonnée à l'origine, et `np.corrcoef(x, y)[0, 1]` donne r, qui ne dépend pas du diviseur.

Séries statistiques à deux variables, nuage de points, point moyen, covariance et coefficient de corrélation empiriques, droites de régression par les moindres carrés, ajustements par changement de variable, prévisions, tableau de contingence, calculs en Python.

15méthodes
37exercices corrigés
6problèmes
15pièges
36figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une série statistique double $(x_i, y_i)$ réunit deux caractères mesurés sur les mêmes individus, comme l'eau reçue et la récolte d'un verger. On la représente par un nuage de points et son point moyen $G(\bar x, \bar y)$ . La covariance $s_{xy} = \overline{xy} - \bar x\,\bar y$ dit si les deux caractères varient dans le même sens, et le coefficient de corrélation $r = \frac{s_{xy}}{s_xs_y}$ , compris entre $-1$ et $1$ , mesure la force de la liaison affine. La droite des moindres carrés de $y$ en $x$ , $y = ax + b$ avec $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ et $b = \bar y - a\bar x$ , passe par $G$ et sert à faire des prévisions, prudentes hors des données observées. Ce chapitre suit le programme de deuxième année ECT, au Maroc comme en France, et la statistique bivariée de l'ECG maths appliquées ; il couvre aussi la droite de $x$ en $y$ , les changements de variable pour se ramener à une droite, la distinction entre corrélation et causalité, les calculs en Python et, pour le Maroc, le tableau de contingence. Ces questions reviennent au CNAEM, à l'ISCAE, à la BCE et à ECRICOME, en maths comme dans les épreuves de gestion.

Ce que tu sauras faire

On mesure souvent deux grandeurs sur les mêmes individus : l'eau d'irrigation reçue et la récolte d'un verger, le chiffre d'affaires d'une entreprise et l'année, la croissance d'un pays et son chômage. Une question revient : les deux grandeurs varient-elles ensemble, et peut-on prévoir l'une à partir de l'autre ? Ce chapitre mesure la liaison de deux séries par la covariance et le coefficient de corrélation, puis ajuste une droite par la méthode des moindres carrés pour faire des prévisions. À la fin, tu dois savoir :

représenter une série statistique double par un nuage de points et placer son point moyen ;
calculer une covariance et un coefficient de corrélation empiriques, et les interpréter ;
écrire les droites de régression et faire une prévision, en restant prudent hors des données observées ;
te ramener à un ajustement affine par un changement de variable ;
distinguer corrélation et causalité ;
faire ces calculs en Python.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Rappels à une variable

$\bar x = \frac{1}{n}\sum x_i$ ; $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar x)^2 = \overline{x^2} - \bar x^2$ (diviseur $n$ , convention du programme) ; $s_x = \sqrt{s_x^2}$ .
Si $x' = \alpha x + \beta$ : $\overline{x'} = \alpha\bar x + \beta$ , $s_{x'}^2 = \alpha^2s_x^2$ .

À retenir Décrire une série double

Série $(x_i, y_i)_{1 \leq i \leq n}$ : deux caractères quantitatifs sur les mêmes individus ; $x$ variable explicative, $y$ variable à expliquer (choix dicté par le phénomène).
Nuage de points $M_i(x_i, y_i)$ ; point moyen $G(\bar x, \bar y)$ , en général pas un point du nuage.
Regarder l'allure avant de calculer : droite, courbe connue, autre courbe, aucune forme.

À retenir Covariance empirique

$s_{xy} = \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$ ; Kœnig-Huygens : $s_{xy} = \overline{xy} - \bar x\,\bar y$ .
Symétrique, linéaire ; $s_{xx} = s_x^2$ ; $x' = \alpha x + \beta$ , $y' = \gamma y + \delta$ : $s_{x'y'} = \alpha\gamma\,s_{xy}$ .
Signe : même sens ( $> 0$ ), sens contraire ( $< 0$ ). Elle dépend des unités.
$s_{xy} = 0$ : pas de tendance affine, mais une autre liaison reste possible ( $y = x^2$ sur une série symétrique).

À retenir Coefficient de corrélation linéaire

$r = \frac{s_{xy}}{s_xs_y}$ , sans unité, du signe de $s_{xy}$ , inchangé par un changement d'unité (au signe près).
$-1 \leq r \leq 1$ ; $\lvert r\rvert = 1$ si et seulement si les points sont alignés.
$\lvert r\rvert$ proche de $1$ : liaison affine forte. $r$ proche de $0$ : pas de liaison affine.
Limites : valeur extrême, population mélangée ; corrélation n'est pas causalité (cause commune).

À retenir Droites de régression

Droite de $y$ en $x$ (minimise $\sum(y_i - ax_i - b)^2$ , écarts verticaux) : $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ , $b = \bar y - a\bar x$ ; forme point-pente $y - \bar y = \frac{s_{xy}}{s_x^2}(x - \bar x)$ .
Droite de $x$ en $y$ : $x = a'y + b'$ , $a' = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ , $b' = \bar x - a'\bar y$ .
Les deux passent par $G$ ; $aa' = r^2$ ; confondues si et seulement si $\lvert r\rvert = 1$ .
$S_{\min} = n\,s_y^2(1 - r^2)$ ; la droite ne passe pas forcément par l'origine.
Démonstration (modèle) : trinôme en $b$ à $a$ fixé, puis trinôme en $a$ .

À retenir Prévoir

Prévision $\hat y = ax_0 + b$ avec la droite de $y$ en $x$ .
Interpolation (dans la plage observée) ; extrapolation : hypothèse que la liaison continue, à écrire.
Série chronologique : rang de l'année ( $x = 1$ pour la première) ; année suivante au rang $n + 1$ .
Pertinence : allure, $\lvert r\rvert$ , valeurs extrêmes, nombre de points, sens du phénomène.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Écrire la droite de régression de

y

x

et celle de

x

y

Quand l’utiliser

On demande « la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés », « la droite de régression de $y$ en $x$ » (ou « de $y$ sur $x$ »), ou celle de $x$ en $y$ .

Rappel de cours

Droite de $y$ en $x$ : $y = ax + b$ , $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ , $b = \bar y - a\bar x$ . Droite de $x$ en $y$ : $x = a'y + b'$ , $a' = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ , $b' = \bar x - a'\bar y$ . Les deux passent par $G$ ; $aa' = r^2$ .

Démarche

Repérer quelle variable est expliquée : c'est elle qui est en fonction de l'autre.
Calculer la pente en fraction, puis l'ordonnée à l'origine par $G$ .
Arrondir seulement à la fin, avec le nombre de chiffres demandé.
Contrôler : la droite passe par $G$ ; la pente a le signe de $r$ ; $aa' = r^2$ si l'on a les deux.

Rédaction type

« La droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \dots$ et $b = \bar y - a\bar x = \dots$ : $y = \dots x + \dots$ . Elle passe par le point moyen $G$ . »

Exemple traité

$x = 2, 4, 6$ et $y = 1, 5, 6$ . $\bar x = \bar y = 4$ , $s_x^2 = \frac{8}{3}$ , $s_y^2 = \frac{62}{3} - 16 = \frac{14}{3}$ , $s_{xy} = \frac{58}{3} - 16 = \frac{10}{3}$ . Droite de $y$ en $x$ : $a = \frac{10/3}{8/3} = 1{,}25$ , $b = 4 - 5 = -1$ , soit $y = 1{,}25x - 1$ . Droite de $x$ en $y$ : $a' = \frac{10/3}{14/3} = \frac{5}{7}$ , $b' = 4 - \frac{20}{7} = \frac{8}{7}$ , soit $x = \frac{5}{7}y + \frac{8}{7}$ . Contrôle : $aa' = \frac{25}{28} = r^2$ , et $r \approx 0{,}945$ .

Erreurs fréquentes

Diviser par $s_y^2$ pour la droite de $y$ en $x$ .
Obtenir la droite de $x$ en $y$ en isolant $x$ dans $y = ax + b$ .
Calculer $b$ avec un $a$ arrondi : la droite ne passe plus exactement par $G$ .

Pour s’entraîner

Exercices 6, 7, 8 et 24 ; problèmes 1, 3 et 5.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Une droite en forme point-pente ★☆☆

On considère la série statistique suivante.

$x_i$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y_i$	1	5	4	7	10	8	9	13	14	13	18

Calculer les moyennes, les écarts types, la covariance et le coefficient de corrélation de la série.
Écrire la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y - \bar y = a(x - \bar x)$ , puis sous la forme $y = ax + b$ .
Estimer $y$ pour $x = 7$ .

Indications

$\sum x_i = 0$ , $\sum x_i^2 = 110$ , $\sum y_i = 102$ , $\sum y_i^2 = 1\,194$ , $\sum x_iy_i = 158$ . 2. Ici $\bar x = 0$ .

Correction détaillée

1. $\bar x = 0$ et $\bar y = \frac{102}{11} \approx 9{,}27$ . Comme $\bar x = 0$ , $s_x^2 = \frac{110}{11} = 10$ et $s_{xy} = \frac{158}{11} - 0 = \frac{158}{11} \approx 14{,}36$ . Puis

s_y^2 = \frac{1\,194}{11} - \Big(\frac{102}{11}\Big)^2 = \frac{13\,134 - 10\,404}{121} = \frac{2\,730}{121} ,

donc $s_x = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ et $s_y = \frac{\sqrt{2\,730}}{11} \approx 4{,}75$ . Enfin

r = \frac{158/11}{\sqrt{10}\times\sqrt{2\,730}/11} = \frac{158}{\sqrt{27\,300}} \approx 0{,}956 :

liaison affine croissante forte.

2. $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{158}{110} = \frac{79}{55} \approx 1{,}436$ . La droite passe par $G(0\,; \frac{102}{11})$ :

y - \frac{102}{11} = \frac{79}{55}\,x , \qquad \text{soit } y \approx 1{,}436\,x + 9{,}273 .

3. Pour $x = 7$ :

y = \frac{79 \times 7}{55} + \frac{102}{11} = \frac{553 + 510}{55} = \frac{1\,063}{55} \approx 19{,}33 .

Avec les coefficients arrondis à deux décimales, $1{,}44 \times 7 + 9{,}27 = 19{,}35$ : l'écart vient seulement de l'arrondi. La valeur $x = 7$ est hors de la plage observée ( $-5$ à $5$ ), mais de peu : l'estimation reste raisonnable si la tendance se poursuit.

Méthodes à retenir

La forme point-pente $y - \bar y = \frac{s_{xy}}{s_x^2}(x - \bar x)$ s'écrit directement et montre que la droite passe par $G$ ; on garde les fractions jusqu'au bout pour éviter les écarts d'arrondi. Voir les méthodes 5 et 7.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 15 pièges corrigés, la carte mentale, 37 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

0. Rappels : statistique à une variable
- 0.1 Vocabulaire
- 0.2 Moyenne, variance, écart type
1. Série statistique double, nuage de points
- 1.1 Variable explicative, variable à expliquer
- 1.2 Nuage de points, point moyen
- 1.3 Allures d'un nuage
2. Covariance empirique
- 2.1 Définition
- 2.2 Formule de Kœnig-Huygens
- 2.3 Propriétés
- 2.4 Lien avec la covariance de deux variables aléatoires
- 2.5 Covariance nulle ne veut pas dire « pas de lien »
3. Coefficient de corrélation linéaire
- 3.1 Définition
- 3.2 Encadrement
- 3.3 Interpréter un coefficient de corrélation
- 3.4 Démonstration de l'encadrement (ECG)
4. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
- 4.1 Le critère des moindres carrés
- 4.2 La droite de régression de $y$ en $x$
- 4.3 La qualité de l'ajustement
- 4.4 La droite de régression de $x$ en $y$
5. Prévoir avec une droite de régression
- 5.1 Interpolation et extrapolation
- 5.2 Séries chronologiques
- 5.3 Juger la pertinence d'un ajustement affine
6. Se ramener à un ajustement affine
- 6.1 Principe
- 6.2 Un exemple
7. Statistiques bivariées en Python
- 7.1 Les formules du cours
- 7.2 Les commandes toutes faites
- 7.3 Nuage et droite
- 7.4 Changement de variable
- 7.5 Données d'un fichier
8. Deux caractères qualitatifs : tableau de contingence
- 8.1 Tableau de contingence, fréquences marginales
- 8.2 Fréquences conditionnelles
- 8.3 Comparer des profils

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Calculer moyenne, variance et écart type d'une série ; changer d'unité
Représenter une série double, placer le point moyen, reconnaître une allure
Calculer une covariance empirique
Calculer et interpréter le coefficient de corrélation
Écrire la droite de régression de $y$ en $x$ et celle de $x$ en $y$
Démontrer que la droite des moindres carrés est celle du cours
Faire une prévision
Se ramener à un ajustement affine par changement de variable
Comparer deux ajustements ou deux variables explicatives
Juger la pertinence : valeur extrême, groupes, corrélation et causalité
Reconnaître la droite des moindres carrés sur un graphique
Calculer en Python : covariance au bon diviseur, coefficient, droite, nuage
Lire, compléter ou corriger un programme
Lire un tableau de contingence
Démontrer l'encadrement du coefficient de corrélation et interpréter le cas d'égalité

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Moyenne et variance, puis changement d'unité
Heures de révision et score
Une covariance à la main
Connexions et commandes
Prix et quantités vendues
Une droite en forme point-pente
Les deux droites d'une petite série
Prévoir avec le rang de l'année
Un ajustement exponentiel guidé
Une réaction chimique et le changement $1/y$
Compléter un programme
Le bon diviseur
Changer d'unité ne change pas $r$
Vrai ou faux sur un nuage
Un sondage en tableau

Entraînement (17)

Ventes ou expérience : qui explique le mieux les primes ?
Une valeur extrême : le chômage des femmes et des hommes par région
Corrélées sans être liées
Croissance et chômage : la loi d'Okun
La population urbaine du Maroc
Un ajustement puissance
Revenu et espérance de vie
La droite des moindres carrés par le trinôme
L'erreur minimale
Les pentes des deux droites
Une série de 0 et de 1
Lire un fichier de données
Un changement de variable en Python
Barres d'admissibilité
Une série avec effectifs
Salaires et années d'études
Démontrer l'encadrement du coefficient de corrélation

Approfondissement (5)

Quatre séries, mêmes indicateurs
Deux groupes mélangés
Les arbustes
Covariance nulle, liaison parfaite
La meilleure droite passant par l'origine

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Prévoir le chiffre d'affaires d'un producteur d'eau minérale
CNAEM 2017, filière ECT, Gestion, management et informatique, dossier 3, question 1
Ventes de ciment et investissement du bâtiment
CNAEM 2013, filière ECT, Gestion, management et informatique, dossier 3, question 1
Une affirmation à vérifier : le chiffre d'affaires de 2026
ECRICOME 2026, prépas ECG et ECT, Management et sciences de gestion, série technologique, document 2 et affirmation 3 « Dans le cas de l'entreprise Geben »
La corrélation par Python et la bonne droite
ECRICOME 2026, maths appliquées, exercice 1, question 8
Estimer une fonction de production de Cobb-Douglas
HEC 2016, maths E (ECE), problème, partie III, question 13
Les villes et la loi de Zipf
BCE 2023, sujet zéro HEC-ESSEC, maths appliquées, énoncé 2, question 1

Questions fréquentes

Comment calculer la droite de régression de y en x ?

On calcule $\bar x$ , $\bar y$ , la variance $s_x^2 = \overline{x^2} - \bar x^2$ et la covariance $s_{xy} = \overline{xy} - \bar x\,\bar y$ , en divisant par $n$ . La pente est $a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ et l'ordonnée à l'origine $b = \bar y - a\bar x$ : la droite passe par le point moyen $G$ . On garde les fractions jusqu'au bout, et l'on vérifie que $a\bar x + b = \bar y$ .

Quelle différence entre la droite de y en x et celle de x en y ?

La droite de $y$ en $x$ minimise les écarts verticaux et sert à prévoir $y$ ; sa pente est $\frac{s_{xy}}{s_x^2}$ . La droite de $x$ en $y$ minimise les écarts horizontaux et s'écrit $x = a'y + b'$ avec $a' = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ . Les deux passent par $G$ , le produit de leurs pentes vaut $aa' = r^2$ , et elles ne sont confondues que si $|r| = 1$ . On n'obtient jamais l'une en isolant $x$ dans l'autre.

Comment interpréter un coefficient de corrélation ?

Un $r$ proche de $1$ ou de $-1$ indique que les points sont proches d'une droite, croissante ou décroissante. Un $r$ proche de $0$ indique l'absence de liaison affine, pas l'absence de lien : une liaison en parabole peut donner $r = 0$ . Un seul point extrême peut changer $r$ du tout au tout, et une forte corrélation ne prouve jamais une cause : deux grandeurs peuvent suivre une troisième.

Comment faire une prévision avec une série chronologique ?

On remplace les années par leur rang : $x = 1$ pour la première année observée. Si la série couvre quatre années, l'année suivante a le rang $5$ , et la prévision est $\hat y = 5a + b$ . C'est une extrapolation : elle suppose que la tendance observée se poursuit, hypothèse qu'il faut écrire sur la copie.

Comment se ramener à un ajustement affine ?

Quand le nuage est courbe, on change de variable. Pour une croissance exponentielle $y = ke^{cx}$ , on ajuste la droite de $\ln y$ en $x$ , puis on revient à $y$ avec $k = e^{b}$ . Pour $y = kx^c$ , on travaille sur $\ln x$ et $\ln y$ ; pour $y = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ , sur $\frac{1}{y}$ . L'oubli du retour à la variable d'origine est une erreur fréquente.

Pourquoi np.cov ne donne-t-il pas la covariance du cours ?

Le cours divise par $n$ , alors que np.cov(x, y) divise par $n - 1$ par défaut ; np.cov(x, y, bias=True)[0, 1] donne la covariance du cours, comme np.mean(x * y) - np.mean(x) * np.mean(y). La méthode .std() de pandas divise aussi par $n - 1$ (ddof=0 pour $n$ ). np.polyfit(x, y, 1) renvoie la pente puis l'ordonnée à l'origine, et np.corrcoef(x, y)[0, 1] donne $r$ , qui ne dépend pas du diviseur.

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