Compléments sur les variables aléatoires réelles en prépa ECS et ECG : espérance totale, indépendance, covariance, exercices corrigés

Q: Comment lire une probabilité sur une fonction de répartition ?

On écrit l'événement avec ≤ ou > : P(a a) = 1 - F_X(a). La probabilité d'une valeur a est la hauteur du saut de F_X en a : P(X = a) = F_X(a) - lim_(x → a^-)F_X(x), nulle si F_X est continue en a. Une variable qui n'est pas discrète peut avoir des sauts : min (T, 3), pour une durée T, vaut 3 avec la probabilité P(T ≥ 3).

Q: Comment appliquer la formule de l'espérance totale ?

On choisit un système complet (A_n) d'événements de probabilités non nulles, on calcule chaque espérance conditionnelle E(X | A_n), puis la moyenne pondérée E(X) = Σ E(X | A_n)P(A_n). Pour un système infini, il faut justifier la convergence de la série Σ E(|X| | A_n)P(A_n). Par exemple, avec trois vergers fournissant 50 %, 30 % et 20 % des caisses et des moyennes de 2, 3 et 5 fruits déclassés, E(X) = 2,9, et non la moyenne simple 3,33.

Q: Comment obtenir la loi du maximum ou du minimum de variables indépendantes ?

Le maximum est inférieur ou égal à x si et seulement si toutes les variables le sont, donc F_(max) = Π F_(X_i). Le minimum dépasse x si et seulement si toutes le dépassent, donc P(min > x) = Π P(X_i > x). Pour deux variables géométriques indépendantes de paramètres p_1 et p_2, P(min > k) = (q_1q_2)^k : le minimum suit la loi géométrique de paramètre 1 - q_1q_2, et non q_1q_2.

Q: À quoi sert le lemme des coalitions ?

Si X_1, …, X_n sont mutuellement indépendantes, toute fonction de X_1, …, X_k est indépendante de toute fonction de X_(k+1), …, X_n. On le cite dès qu'on a besoin de l'indépendance de variables construites, par exemple dans une récurrence : S_n = X_1 + … + X_n ne dépend que de X_1, …, X_n, donc S_n et X_(n+1) sont indépendantes. Les deux groupes doivent être disjoints : le lemme ne dit rien de X_1 + X_2 et X_2 + X_3.

Q: Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires ?

Pour deux variables, V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y) ; pour n variables, on ajoute aux variances le double de toutes les covariances Cov(X_i, X_j), i < j. Si les variables sont mutuellement indépendantes, il ne reste que la somme des variances. Dans un tirage sans remise, les covariances sont négatives : on les calcule par les indicatrices, avec E(1_A1_B) = P(A ∩ B).

Variables aléatoires réelles quelconques et fonction de répartition, fonctions de variables aléatoires, maximum et minimum, espérance conditionnelle et formule de l'espérance totale, n-uplets de variables, indépendance mutuelle et lemme des coalitions, espérance d'un produit, covariance, coefficient de corrélation, variance d'une somme, simulation en Python.

17méthodes
42exercices corrigés
7problèmes
18pièges
30figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une durée, comme un temps de connexion, n'est pas une variable discrète : sa loi se décrit par sa fonction de répartition $F_X(x) = P(X \leqslant x)$ , dont chaque saut donne la probabilité d'une valeur. On en tire des variables discrètes, comme $1 + \lfloor T\rfloor$ , qui suit une loi géométrique quand $P(T > t) = e^{-\lambda t}$ , et l'on obtient la loi du maximum et du minimum de variables indépendantes par $[\max \leqslant x] = \bigcap[X_i \leqslant x]$ et $[\min > x] = \bigcap[X_i > x]$ . La formule de l'espérance totale, $E(X) = \sum E(X \mid A_n)P(A_n)$ , calcule une espérance en découpant l'expérience, avec sa condition d'existence. Le lemme des coalitions justifie l'indépendance de variables construites ; la covariance, $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ , donne la variance d'une somme et le coefficient de corrélation, compris entre $-1$ et $1$ . Ce chapitre suit la première période du programme marocain de deuxième année ECS et le troisième semestre de l'ECG maths approfondies ; il couvre aussi les vecteurs aléatoires, les indicatrices, l'espérance d'un produit et la simulation en Python. Ces questions reviennent au CNAEM, à l'ISCAE, à la BCE et à ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

En première année, une variable aléatoire prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Une durée, comme le temps de connexion d'un client ou le temps de traitement d'une caisse sur une ligne de calibrage, peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle : aucune valeur n'a alors une probabilité non nulle, et l'on décrit sa loi par sa fonction de répartition. Ce chapitre étudie ces variables aléatoires réelles quelconques et celles qu'on en tire (partie entière, maximum, minimum), l'espérance sachant un événement et la formule de l'espérance totale, puis les familles de variables : indépendance mutuelle, lemme des coalitions, covariance, coefficient de corrélation, variance d'une somme. À la fin, tu dois savoir :

exploiter une fonction de répartition : probabilités d'intervalles, sauts, nature de la variable ;
déterminer la loi d'une variable définie à partir d'une autre (partie entière, minimum avec une constante, transformation affine) ;
trouver la loi du maximum et du minimum de variables indépendantes ;
calculer une espérance conditionnelle et appliquer la formule de l'espérance totale avec sa condition d'existence ;
justifier une indépendance par le lemme des coalitions, ou prouver que deux variables ne sont pas indépendantes ;
calculer une covariance, la variance d'une somme, un coefficient de corrélation, et les interpréter ;
simuler ces variables en Python et comparer la simulation à la théorie.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Fonction de répartition

$F_X(x) = P(X \leqslant x)$ : croissante, continue à droite, limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$ .
$P(a < X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a)$ ; $P(X > a) = 1 - F_X(a)$ .
$P(X = a)$ = hauteur du saut de $F_X$ en $a$ ; $P(X < a) = \lim_{x \to a^-}F_X(x)$ .
$F_X$ continue en $a$ : $P(X = a) = 0$ , inégalités larges et strictes équivalentes.
La fonction de répartition caractérise la loi (admis).

À retenir Fonctions d'une variable

Traduire $[Y \leqslant y]$ ou $[Y = k]$ en un événement sur $X$ , puis lire $F_X$ .
$[1 + \lfloor T\rfloor = k] = [k - 1 \leqslant T < k]$ .
Si $P(T > t) = e^{-\lambda t}$ pour $t \geqslant 0$ : $1 + \lfloor T\rfloor \hookrightarrow \mathcal{G}(1 - e^{-\lambda})$ .
$\min(T, c)$ : $F$ de $T$ avant $c$ , puis $1$ ; saut $P(T \geqslant c)$ en $c$ .

À retenir Maximum et minimum

$[\max \leqslant x] = \bigcap[X_i \leqslant x]$ ; $[\min > x] = \bigcap[X_i > x]$ .
Indépendantes : $F_{\max} = \prod F_{X_i}$ ; $P(\min > x) = \prod P(X_i > x)$ .
Même loi : $F^n$ et $1 - (1 - F)^n$ .
Entiers : $P(M = k) = F_M(k) - F_M(k - 1)$ .
Deux variables : $\max + \min = X_1 + X_2$ .

À retenir Espérance conditionnelle et espérance totale (

X

discrète)

$E(X \mid A)$ : espérance de $X$ pour $P_A$ , $P(A) \neq 0$ ; $E(X \mid A) = \frac{E(X\mathbf{1}_A)}{P(A)}$ .
$(A_n)$ système complet, $P(A_n) \neq 0$ : $X$ admet une espérance si et seulement si chaque $E(X \mid A_n)$ existe et $\sum E(\lvert X\rvert \mid A_n)P(A_n)$ converge ; alors $E(X) = \sum E(X \mid A_n)P(A_n)$ .
Système fini : il suffit que chaque $E(X \mid A_k)$ existe.
Moyenne pondérée des espérances conditionnelles.
Somme aléatoire, $N$ indépendante des $X_i$ : $E(X_1 + \dots + X_N) = E(N)E(X_1)$ .
$E(X \mid Y)$ comme variable aléatoire : hors programme.

À retenir Indépendance

Mutuelle : $F_{(X_1, \dots, X_n)} = \prod F_{X_i}$ ; caractérisée par les intervalles (admis) ; discrètes : par les $[X_i = x_i]$ (admis).
Les lois marginales ne déterminent pas la loi du vecteur.
Lemme des coalitions (admis) : une fonction de $X_1, \dots, X_k$ est indépendante d'une fonction de $X_{k+1}, \dots, X_n$ ; groupes disjoints.
Phrase type : « ne dépend que de … ; d'après le lemme des coalitions, … sont indépendantes ».
Nier l'indépendance : un couple de valeurs de probabilité conjointe nulle et de marginales non nulles, ou une covariance non nulle.

À retenir Espérances

Linéarité, croissance, domination : étendues aux variables quelconques (admis).
$X$ , $Y$ indépendantes ayant une espérance : $E(XY) = E(X)E(Y)$ (admis) ; de même pour $n$ variables.
$E(\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B) = P(A \cap B)$ .
Comptage $X = \sum\mathbf{1}_{A_i}$ : $E(X^2) = \sum P(A_i) + 2\sum_{i < j}P(A_i \cap A_j)$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Appliquer la formule de l'espérance totale

Quand l’utiliser

L'expérience se découpe en cas (origine d'une pièce, résultat d'une première épreuve) dans lesquels l'espérance de $X$ est connue ou facile à calculer.

Rappel de cours

$(A_n)$ système complet, $P(A_n) \neq 0$ : $X$ admet une espérance si et seulement si chaque $E(X \mid A_n)$ existe et $\sum E(\lvert X\rvert \mid A_n)P(A_n)$ converge ; alors $E(X) = \sum E(X \mid A_n)P(A_n)$ . Pour un système fini, la convergence est automatique.

Démarche

Nommer le système complet et vérifier que les probabilités sont non nulles.
Calculer chaque $E(X \mid A_n)$ .
Justifier l'existence : système fini, ou convergence de la série des $E(\lvert X\rvert \mid A_n)P(A_n)$ (pour $X$ positive, c'est la série elle-même), ou existence connue.
Calculer la somme pondérée ; pour un temps d'attente, conditionner par la première épreuve et résoudre l'équation en $E(X)$ .

Rédaction type

« $(A_1, \dots, A_m)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, et chaque $E(X \mid A_k)$ existe. D'après la formule de l'espérance totale, $X$ admet une espérance et $E(X) = \sum_{k=1}^{m}E(X \mid A_k)P(A_k) = \dots$ . »

Exemple traité

On lance un dé équilibré. Sur un $6$ , on attend le premier pile d'une pièce équilibrée ; sinon, le premier succès d'épreuves de probabilité $\frac{1}{3}$ . $X$ est le rang de ce premier succès. Avec le système $([D = 6], [D \neq 6])$ : $E(X \mid D = 6) = 2$ et $E(X \mid D \neq 6) = 3$ (lois géométriques), donc $E(X) = \frac{1}{6} \times 2 + \frac{5}{6} \times 3 = \frac{17}{6}$ .

Erreurs fréquentes

Faire la moyenne non pondérée des espérances conditionnelles.
Utiliser un système qui n'est pas complet, ou contient un événement de probabilité nulle.
Résoudre $E(X) = a + bE(X)$ sans savoir que $E(X)$ existe.

Pour s’entraîner

Exercices 9, 10, 21 et 34 ; problèmes 6 et 7.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Trois ateliers ★☆☆

Une coopérative reçoit des pièces de trois ateliers : la moitié vient de l'atelier $1$ , un tiers de l'atelier $2$ , le reste de l'atelier $3$ . Le nombre $X$ de défauts d'une pièce suit, sachant qu'elle vient de l'atelier $i$ , la loi de Poisson de paramètre $1$ , $2$ ou $4$ selon que $i = 1$ , $2$ ou $3$ . On note $A_i$ l'événement « la pièce vient de l'atelier $i$ ».

Donner $E(X \mid A_i)$ pour $i = 1, 2, 3$ .
Justifier que $X$ admet une espérance et la calculer. Comparer à la moyenne des trois espérances conditionnelles.

Indications

Système complet fini $(A_1, A_2, A_3)$ : la condition d'existence se réduit à l'existence de chaque $E(X \mid A_i)$ .

Correction détaillée

1. Sous $P_{A_i}$ , $X$ suit une loi de Poisson, dont l'espérance est son paramètre : $E(X \mid A_1) = 1$ , $E(X \mid A_2) = 2$ , $E(X \mid A_3) = 4$ .

2. $(A_1, A_2, A_3)$ est un système complet fini d'événements, de probabilités $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ non nulles, et chaque $E(X \mid A_i)$ existe. La série de la formule de l'espérance totale n'a qu'un nombre fini de termes : $X$ admet une espérance et

E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \approx 1{,}83 .

La moyenne non pondérée $\frac{1 + 2 + 4}{3} = \frac{7}{3}$ est fausse : elle donne trop de poids à l'atelier $3$ , qui ne fournit qu'une pièce sur six.

Méthodes à retenir

Dans la formule de l'espérance totale, chaque espérance conditionnelle est pondérée par la probabilité de son événement. Voir la méthode 7.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 17 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 42 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

0. Rappels de première année
- 0.1 Probabilités sur un univers quelconque
- 0.2 Variable discrète
- 0.3 Espérance, variance, moments
- 0.4 Lois usuelles
- 0.5 Couples de variables discrètes
1. Variables aléatoires réelles quelconques
- 1.1 Une durée n'est pas une variable discrète
- 1.2 Fonction de répartition
- 1.3 Loi d'une variable aléatoire
- 1.4 Ni discrète, ni continue
- 1.5 Fonctions d'une variable aléatoire
- 1.6 Opérations sur une famille finie de variables
2. Espérance conditionnelle et formule de l'espérance totale
- 2.1 Espérance sachant un événement
- 2.2 La formule de l'espérance totale
- 2.3 Conditionner par une variable discrète
- 2.4 Conditionner par la première épreuve
3. Vecteurs aléatoires et indépendance
- 3.1 Loi d'un vecteur aléatoire
- 3.2 Indépendance mutuelle
- 3.3 Le lemme des coalitions
- 3.4 Maximum et minimum de variables indépendantes
- 3.5 Une variable discrète indépendante d'une variable quelconque
4. Espérance : propriétés généralisées
- 4.1 Linéarité, croissance, domination
- 4.2 Espérance d'un produit de variables indépendantes
- 4.3 Indicatrices
5. Covariance
- 5.1 Définition
- 5.2 Formule de Huygens
- 5.3 Propriétés
- 5.4 Indépendance et covariance
- 5.5 Covariance de deux indicatrices
- 5.6 Covariance de variables quelconques
6. Variance d'une somme
- 6.1 Deux variables
- 6.2 Somme de $n$ variables
- 6.3 Un comptage sans remise
7. Coefficient de corrélation linéaire
- 7.1 Définition
- 7.2 Encadrement
- 7.3 Cas $\rho = \pm 1$ et interprétation
- 7.4 Corrélation de variables quelconques
8. Simuler en Python
- 8.1 Une variable définie à partir d'une autre
- 8.2 Fonction de répartition empirique
- 8.3 Estimer une espérance conditionnelle
- 8.4 Estimer une covariance

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Exploiter une fonction de répartition
Déterminer la loi d'une variable discrète définie à partir d'une autre
Déterminer la fonction de répartition d'une variable non discrète définie à partir d'une autre
Loi du maximum et du minimum de variables indépendantes
Utiliser des indicatrices
Calculer une espérance conditionnelle
Appliquer la formule de l'espérance totale
Conditionner par une variable discrète, somme d'un nombre aléatoire de termes
Utiliser l'indépendance de variables quelconques
Justifier une indépendance par le lemme des coalitions
Montrer que deux variables ne sont pas indépendantes
Calculer une covariance directement
Calculer une covariance indirectement
Calculer la variance d'une somme
Calculer et interpréter un coefficient de corrélation
Justifier l'existence d'une espérance, espérance d'un produit de variables indépendantes
Simuler une variable définie à partir d'autres et estimer une loi, une espérance conditionnelle ou une covariance

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

Lire une fonction de répartition
Fonction de répartition ou non
Partie entière d'une durée
Partie entière et loi géométrique
Une durée plafonnée
Le plus grand de deux dés
Le premier arrêt de deux machines
Indicatrices et covariance
Espérance d'un dé sachant la parité
Trois ateliers
Une loi définie par ses queues
Une durée et une variable géométrique indépendantes
Coalitions ou non
Covariance nulle sans indépendance
Variance d'une combinaison
Calculer avec la covariance

Entraînement (19)

Quotient d'une durée par un rang
Les marginales ne suffisent pas
Égalité de deux rangs
Clients et achats
Le premier succès par la première épreuve
Mélange de deux lois
Deux jetons sans remise
Corrélation d'une somme et d'un produit
Somme et plus grand chiffre
Variance d'une loi hypergéométrique par les indicatrices
Un nombre aléatoire d'épreuves
Maximum et minimum de deux lois géométriques
Espérance et variance d'un produit
Une variable et le maximum
Succès et échecs
Simuler une loi géométrique par une durée
Estimer une covariance par simulation
Espérance sachant une attente déjà longue
Covariance de variables quelconques

Approfondissement (7)

Variance d'une somme aléatoire
Écart de deux rangs
L'espérance par les queues
Comptages de trois catégories
Composants en série et en parallèle
Coalitions dans une récurrence
Existence d'une espérance par domination

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le maximum de quatre lancers de dé
CNAEM 2016, filière ECS, Mathématiques, exercice 1 (programmes Scilab des questions 4 et 5 réécrits en Python ; question 6 ajoutée)
Les deux guichets de la gare
CNAEM 2014, filière ECS, Mathématiques, exercice 1 (questions 4 à 7 ajoutées)
Deux fournisseurs d'accès à internet
CNAEM 2021, filière ECS, Mathématiques et informatique, exercice, questions 1.1 à 3.2 (loi de T donnée par sa fonction de répartition ; question 4, sur une somme de variables à densité et un estimateur, omise)
Une suite de Fibonacci de variables de Poisson
CNAEM 2021, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème 1, deuxième partie, questions 2.1 à 2.8 (résultats de la première partie rappelés ; suite (y_p) de la question 2.7.1 lue (γ_p))
Fonction génératrice des moments d'une somme
CNAEM 2025, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème 2, questions 2.1.1 à 2.4.2 (première partie omise ; inégalité de Markov rappelée ; question 2.4.3 ajoutée)
Retour d'un mobile et espérance totale
BCE 2026, EDHEC, voie générale, Mathématiques approfondies, exercice 3, questions 1, 2, 3, 4.a, 4.b, 5 et 6 (question 4.c, sur la convergence en loi, omise)
Séries de piles consécutifs
BCE 2018, EDHEC, voie scientifique, Mathématiques, sujet annulé, problème, questions 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 et 10 (programmes Scilab des questions 1 et 2 réécrits en Python ; question 4, loi de S_k, et question 6, sur l'estimation, omises)

Questions fréquentes

Comment lire une probabilité sur une fonction de répartition ?

On écrit l'événement avec $\leqslant$ ou $>$ : $P(a < X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a)$ et $P(X > a) = 1 - F_X(a)$ . La probabilité d'une valeur $a$ est la hauteur du saut de $F_X$ en $a$ : $P(X = a) = F_X(a) - \lim_{x \to a^-}F_X(x)$ , nulle si $F_X$ est continue en $a$ . Une variable qui n'est pas discrète peut avoir des sauts : $\min(T, 3)$ , pour une durée $T$ , vaut $3$ avec la probabilité $P(T \geqslant 3)$ .

Comment appliquer la formule de l'espérance totale ?

On choisit un système complet $(A_n)$ d'événements de probabilités non nulles, on calcule chaque espérance conditionnelle $E(X \mid A_n)$ , puis la moyenne pondérée $E(X) = \sum E(X \mid A_n)P(A_n)$ . Pour un système infini, il faut justifier la convergence de la série $\sum E(\lvert X\rvert \mid A_n)P(A_n)$ . Par exemple, avec trois vergers fournissant $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ des caisses et des moyennes de $2$ , $3$ et $5$ fruits déclassés, $E(X) = 2{,}9$ , et non la moyenne simple $3{,}33$ .

Comment obtenir la loi du maximum ou du minimum de variables indépendantes ?

Le maximum est inférieur ou égal à $x$ si et seulement si toutes les variables le sont, donc $F_{\max} = \prod F_{X_i}$ . Le minimum dépasse $x$ si et seulement si toutes le dépassent, donc $P(\min > x) = \prod P(X_i > x)$ . Pour deux variables géométriques indépendantes de paramètres $p_1$ et $p_2$ , $P(\min > k) = (q_1q_2)^k$ : le minimum suit la loi géométrique de paramètre $1 - q_1q_2$ , et non $q_1q_2$ .

À quoi sert le lemme des coalitions ?

Si $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes, toute fonction de $X_1, \dots, X_k$ est indépendante de toute fonction de $X_{k+1}, \dots, X_n$ . On le cite dès qu'on a besoin de l'indépendance de variables construites, par exemple dans une récurrence : $S_n = X_1 + \dots + X_n$ ne dépend que de $X_1, \dots, X_n$ , donc $S_n$ et $X_{n+1}$ sont indépendantes. Les deux groupes doivent être disjoints : le lemme ne dit rien de $X_1 + X_2$ et $X_2 + X_3$ .

Une covariance nulle implique-t-elle l'indépendance ?

Non. Deux variables indépendantes ont une covariance nulle, mais la réciproque est fausse : avec $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^2$ , $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ , alors que $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0 \neq \frac{2}{9}$ . En revanche, une covariance non nulle prouve que les variables ne sont pas indépendantes. Au Maroc, la covariance est au programme pour des variables discrètes ; en ECG, pour toutes les variables admettant une variance.

Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires ?

Pour deux variables, $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)$ ; pour $n$ variables, on ajoute aux variances le double de toutes les covariances $\mathrm{Cov}(X_i, X_j)$ , $i < j$ . Si les variables sont mutuellement indépendantes, il ne reste que la somme des variances. Dans un tirage sans remise, les covariances sont négatives : on les calcule par les indicatrices, avec $E(\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B) = P(A \cap B)$ .

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.