Comment justifier qu'une fonction est de classe C^1 ou C^2 ?

Par opérations : les fonctions polynomiales sont de classe C^2 sur ℝ^n, et la somme, le produit, le quotient à dénominateur non nul et la composée φ ∘ f conservent la classe. Par exemple, (x, y) ↦ xe^(-(x^2 + y^2)) est de classe C^2 par composition de exp avec une fonction polynomiale, puis par produit. Dire que les dérivées partielles existent ne suffit pas : il faut aussi leur continuité, que donnent les opérations.

Fonctions de n variables en prépa ECS et ECG : continuité, dérivées partielles, gradient, points critiques, exercices corrigés

Q: Comment calculer une dérivée partielle ?

On dérive par rapport à une seule variable en traitant toutes les autres comme des constantes. Pour f(x, y) = x^2y^3 + xe^y, on obtient ∂_1 f(x, y) = 2xy^3 + e^y en figeant y, et ∂_2 f(x, y) = 3x^2y^2 + xe^y en figeant x. Les sujets marocains écrivent souvent (∂ f)/(∂ x) : c'est la même chose que ∂_1 f, la notation du programme.

Q: Que représente le gradient d'une fonction ?

Le gradient ∇ f(x) rassemble les dérivées partielles. Pour une direction unitaire h, la pente de f dans la direction h vaut ⟨∇ f(x), h⟩ ; par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle est maximale quand h a le sens du gradient, et vaut alors ‖∇ f(x)‖. Le gradient indique donc la direction de plus forte croissance ; il est orthogonal aux lignes de niveau, et d'autant plus long qu'elles sont serrées.

Q: Comment trouver les points critiques d'une fonction de deux variables ?

On résout le système ∂_1 f(x, y) = 0 et ∂_2 f(x, y) = 0 par équivalences, après avoir factorisé les dérivées. Pour f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy, le système équivaut à y = x^2 et x = y^2, donc x(x^3 - 1) = 0 : les points critiques sont (0, 0) et (1, 1). On ne divise jamais par une quantité qui peut être nulle, et l'on garde les deux signes d'une racine carrée.

Q: Un point critique est-il toujours un extremum ?

Non. La condition nécessaire dit seulement que si f, de classe C^1 sur ℝ^n, a un extremum local en a, alors ∇ f(a) = 0. Pour f(x, y) = x^2 - y^2, l'origine est un point critique, mais f(t, 0) = t^2 > 0 et f(0, t) = -t^2 < 0 pour t ≠ 0 : ce n'est ni un maximum ni un minimum, c'est un point selle. Deux restrictions à des droites de signes opposés suffisent à le montrer.

Q: Comment montrer qu'une fonction admet un minimum global ?

On montre une inégalité f(x) ≥ f(a) valable pour tout x, souvent en écrivant f(x) - f(a) comme une somme de carrés, et l'on vérifie que la borne est atteinte. Par exemple, x^2 - 2x + y^2 + 4y + 7 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 2 ≥ 2, avec égalité seulement en (1, -2) : le minimum global vaut 2. Écrire seulement f ≥ 0 ne suffit pas, car une fonction minorée n'atteint pas toujours sa borne.

Fonctions définies sur ℝⁿ, graphe et lignes de niveau, continuité, dérivées partielles d'ordre 1 et 2, gradient, fonctions de classe C¹ et C², développement limité d'ordre 1, dérivée de t ↦ f(x + th), extremums et condition nécessaire du premier ordre, applications économiques, tracés en Python.

15méthodes
40exercices corrigés
8problèmes
15pièges
35figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

On représente une fonction de deux variables par son graphe, la surface $z = f(x, y)$ , et par ses lignes de niveau $f(x, y) = k$ , comme les courbes d'une carte topographique. La dérivée partielle $\partial_i f$ se calcule en dérivant par rapport à $x_i$ , les autres variables figées ; elles forment le gradient $\nabla f(a) = (\partial_1 f(a), \dots, \partial_n f(a))$ , qui donne la direction de plus forte croissance et qui est orthogonal aux lignes de niveau. Le développement limité d'ordre 1, $f(x + h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h\rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)$ , approche l'effet d'une petite variation. Enfin, un extremum local d'une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ne peut se trouver qu'en un point critique, où le gradient s'annule, mais la réciproque est fausse. Ce chapitre suit la première période du programme marocain de deuxième année ECS et le troisième semestre de l'ECG maths approfondies ; il couvre aussi les classes $C^1$ et $C^2$ , le point selle, les applications économiques et les tracés en Python. Ces questions reviennent au CNAEM, à l'ISCAE, à la BCE et à ECRICOME.

Ce que tu sauras faire

Une recette dépend du prix et de la quantité, une production du capital et du travail, une moyenne de toutes les observations : en économie comme en statistique, une grandeur dépend presque toujours de plusieurs variables. Ce chapitre étend aux fonctions définies sur $\mathbb{R}^n$ les outils connus pour une variable : graphe, continuité, dérivée, développement limité d'ordre 1, recherche d'extremum. On représente une fonction de deux variables par une surface et par ses lignes de niveau, on la dérive par rapport à une variable en figeant les autres, on rassemble ces dérivées dans le gradient, qui donne la direction de plus forte croissance, et l'on montre qu'un extremum ne peut se trouver qu'en un point où le gradient s'annule. À la fin, tu dois savoir :

représenter une fonction de deux variables par son graphe et ses lignes de niveau, et lire une carte de lignes de niveau ;
justifier la continuité et la classe $C^1$ ou $C^2$ d'une fonction par opérations ;
calculer des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 et un gradient, y compris pour une fonction de $n$ variables ;
écrire un développement limité d'ordre 1 et s'en servir pour approcher l'effet d'une petite variation ;
dériver $t \mapsto f(x + th)$ et interpréter le gradient ;
trouver les points critiques, montrer qu'un point critique n'est pas un extremum, et montrer un extremum global par une inégalité ;
tracer en Python une surface, des lignes de niveau et un champ de gradients.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Fonctions de

n

variables

$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ; exemples : coordonnées, affines $\langle a, x\rangle + b$ , polynomiales, $\| x\|^2$ , $X^{\top}AX$ , composées $\varphi \circ u$ .
Graphe : $x_{n+1} = f(x_1, \dots, x_n)$ ; pour deux variables, la surface $z = f(x, y)$ ; une fonction affine a pour graphe un plan.
Ligne de niveau $k$ : $\mathcal{L}_k = \{(x, y) : f(x, y) = k\}$ , projection de la coupe du graphe par le plan $z = k$ .
Usuelles : $x + 2y$ (droites parallèles), $x^2 + y^2$ (cercles, point, vide), $xy$ (hyperboles et axes).

À retenir Continuité

$f$ continue en $x_0$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\alpha > 0$ tel que $\| x - x_0\| \leqslant \alpha$ entraîne $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert \leqslant \varepsilon$ .
Polynomiales continues ; somme, produit, quotient (dénominateur non nul), composée $\varphi \circ f$ : admis.
Point pathologique et recollement de formules : hors programme.

À retenir Dérivées partielles et gradient

$\partial_i f(a) = \lim_{t \to 0}\frac{f(a + te_i) - f(a)}{t}$ : on dérive par rapport à $x_i$ , les autres variables figées.
$\nabla f(a) = (\partial_1 f(a), \dots, \partial_n f(a)) \in \mathbb{R}^n$ .
$\nabla\langle a, x\rangle = a$ ; $\nabla\| x\|^2 = 2x$ ; $\nabla\| x - b\|^2 = 2(x - b)$ ; $\nabla(X^{\top}AX) = 2AX$ ( $A$ symétrique) ; $\nabla\varphi(\| x\|^2) = 2\varphi'(\| x\|^2)\,x$ .
Notation des sujets : $\frac{\partial f}{\partial x} = \partial_1 f$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = \partial_2 f$ .

À retenir Classes

C^1

C^2

, ordre 2

$C^1$ : dérivées partielles d'ordre 1 existantes et continues. $C^2$ : $C^1$ et les $\partial_i f$ de classe $C^1$ .
$\partial^2_{i,j} f = \partial_i(\partial_j f)$ : d'abord $x_j$ , puis $x_i$ .
Polynomiales de classe $C^2$ ; opérations et $\varphi \circ f$ : admis. Rédaction : « par opérations ».
Une fonction de classe $C^1$ est continue ; l'existence des dérivées partielles ne donne pas la classe $C^1$ .

À retenir Développement limité d'ordre 1 et dérivée le long d'une droite

$f$ de classe $C^1$ : $f(x + h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h\rangle + \| h\|\,\varepsilon(h)$ , $\varepsilon$ continue en $0$ , $\varepsilon(0) = 0$ (admis, unique).
Petite variation : $f(x + h) - f(x) \approx \sum_i \partial_i f(x)\,h_i$ .
Plan tangent en $(a, b)$ : $z = f(a, b) + \partial_1 f(a, b)(x - a) + \partial_2 f(a, b)(y - b)$ .
$g(t) = f(x + th)$ : $g'(t) = \langle \nabla f(x + th), h\rangle$ , $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ .
Le gradient donne la direction de plus forte croissance (pente $\|\nabla f(x)\|$ ) et il est orthogonal aux lignes de niveau.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Trouver tous les points critiques

Quand l’utiliser

« Déterminer les points critiques de $f$ », « montrer que $f$ admet un unique point critique », ou toute recherche d'extremum.

Rappel de cours

$a$ est un point critique si $\nabla f(a) = 0$ , c'est-à-dire $\partial_1 f(a) = \dots = \partial_n f(a) = 0$ .

Démarche

Calculer les dérivées partielles et les factoriser.
Écrire le système $\partial_i f(x) = 0$ pour tout $i$ et le résoudre par équivalences : un produit est nul si l'un des facteurs l'est (traiter chaque cas), combiner les équations (somme, différence), substituer.
Exploiter les symétries : si $f(y, x) = f(x, y)$ , soustraire les équations ; à $n$ variables, chercher des solutions de la forme $(a, \dots, a)$ , puis prouver qu'il n'y en a pas d'autres.
Ne rien diviser par une quantité qui peut être nulle ; garder les deux signes d'une racine carrée.
Vérifier chaque point trouvé dans le système de départ.

Rédaction type

« $(x, y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si $\partial_1 f(x, y) = 0$ et $\partial_2 f(x, y) = 0$ , soit $\dots \iff \dots \iff (x, y) \in \{\dots\}$ . Les points critiques de $f$ sont donc $\dots$ »

Exemple traité

$f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ : $\partial_1 f = 3x^2 - 3y$ , $\partial_2 f = 3y^2 - 3x$ . Le système équivaut à $y = x^2$ et $x = y^2$ , donc $x = x^4$ , soit $x(x^3 - 1) = 0$ : $x = 0$ ou $x = 1$ . D'où les deux points critiques $(0, 0)$ et $(1, 1)$ , que l'on vérifie dans le système.

Erreurs fréquentes

Diviser par $x$ ou par $x + y$ sans traiter le cas où il est nul : on perd des solutions.
Garder seulement $y = \frac{1}{\sqrt2}$ quand $y^2 = \frac12$ .
Donner les points critiques sans calcul, ou affirmer l'unicité sans l'avoir montrée.

Pour s’entraîner

Exercices 11, 12, 13, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 32, 34, 35 et 40.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Deux points critiques ★☆☆

Soit $f(x, y) = 2xy - \frac{x^2}{2} - \frac{y^3}{3}$ .

Déterminer les points critiques de $f$ .
En étudiant $t \mapsto f(0, t)$ , montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0, 0)$ .

Indications

La première équation donne $x$ en fonction de $y$ .

Correction détaillée

1. $f$ est polynomiale. $\partial_1 f(x, y) = 2y - x$ et $\partial_2 f(x, y) = 2x - y^2$ . Le système équivaut à $x = 2y$ et $4y - y^2 = 0$ , soit $y(4 - y) = 0$ : $(x, y) = (0, 0)$ ou $(x, y) = (8, 4)$ . Les deux points annulent bien le gradient.

2. $f(0, t) = -\frac{t^3}{3}$ est strictement négatif pour $t > 0$ et strictement positif pour $t < 0$ , alors que $f(0, 0) = 0$ . Aussi près que l'on veut de $(0, 0)$ , $f$ prend des valeurs plus grandes et plus petites que $f(0, 0)$ : pas d'extremum local en $(0, 0)$ , bien que ce soit un point critique.

Méthodes à retenir

On résout le système par équivalences, en écrivant tous les cas d'un produit nul ; une restriction qui change de signe suffit à écarter un extremum. Voir les méthodes 9 et 11.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 15 pièges corrigés, la carte mentale, 40 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

0. Rappels : fonctions d'une variable
1. Fonctions définies sur $\mathbb{R}^n$
- 1.1 Définition et exemples
- 1.2 Graphe
- 1.3 Lignes de niveau
2. Continuité
- 2.1 Continuité en un point
- 2.2 Opérations
3. Dérivées partielles d'ordre 1 et gradient
- 3.1 Fonctions partielles
- 3.2 Dérivées partielles
- 3.3 Gradient
- 3.4 Gradients de référence
4. Classe $C^1$ , dérivées partielles d'ordre 2, classe $C^2$
- 4.1 Fonctions de classe $C^1$
- 4.2 Dérivées partielles d'ordre 2
- 4.3 Fonctions de classe $C^2$
5. Développement limité d'ordre 1
- 5.1 Énoncé
- 5.2 Approximation affine et plan tangent
- 5.3 Conséquence : une fonction de classe $C^1$ est continue
6. Dérivée le long d'une droite et sens du gradient
- 6.1 La fonction $g : t \mapsto f(x + th)$
- 6.2 Dérivée directionnelle
- 6.3 Interprétation géométrique du gradient
7. Extremums et condition nécessaire du premier ordre
- 7.1 Définitions
- 7.2 Condition nécessaire
- 7.3 La réciproque est fausse : le point selle
- 7.4 Montrer un extremum global
8. Applications économiques
9. Python : tracer une fonction de deux variables

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Déterminer et tracer une ligne de niveau
Justifier qu'une fonction est continue sur $\mathbb{R}^n$
Calculer des dérivées partielles d'ordre 1
Calculer un gradient
Calculer les dérivées partielles d'ordre 2
Justifier qu'une fonction est de classe $C^1$ ou $C^2$
Écrire et utiliser le développement limité d'ordre 1
Dériver $g(t) = f(x + th)$ et trouver la direction de plus forte croissance
Trouver tous les points critiques
Réduire la recherche d'un extremum aux points critiques
Montrer qu'un point critique n'est pas un extremum
Montrer un extremum global par une inégalité
Montrer qu'une fonction n'est pas majorée ou pas minorée
Traiter une question économique
Tracer en Python une surface, des lignes de niveau et un champ de gradients

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

Lignes de niveau de trois fonctions usuelles
Une ligne de niveau qui se factorise
Continuité par opérations
Dérivées partielles d'ordre 1 et 2
Gradient d'une fonction de trois variables
Gradients de référence
Dérivées d'ordre 2 et dérivées croisées
Rédiger la classe d'une fonction
Une valeur approchée par le développement limité
Dérivée dans une direction
Un minimum par une forme canonique
Deux points critiques
Points critiques d'un polynôme de degré 3
Le point selle
Fonctions non majorées ou non minorées
Compléter un programme : surface et lignes de niveau

Entraînement (18)

Une forme quadratique sans extremum
Gradient d'une forme quadratique
Une fonction de la norme
La norme et son carré
Les équations normales comme condition de point critique
Un QCM sans bonne réponse parmi A à D
Un minimum global trouvé par une étude en $x$
Une intégrale à deux paramètres
Trois points critiques et un point selle
Un seul point critique, un minimum local qui n'est pas global
Un maximum atteint sur toute une courbe
Une recette qui dépend de deux prix
Effets marginaux et direction de plus forte hausse
Gradient orthogonal à une ligne de niveau
Plan tangent à un graphe
Lire des points critiques sur une figure Python
Lignes de niveau vides, réduites à un point, ou cercles
Deux minima globaux et un point selle

Approfondissement (6)

Moindres carrés pénalisés
Dériver une fonction symétrique le long de segments
Une fonction additive continue en 0
Fonctions homogènes et relation d'Euler
Gradient nul partout
Où placer un entrepôt

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Un minimum par changement de variables
CNAEM 2024, filière ECS, Mathématiques, exercice, second exemple, questions 2.1.1, 2.1.2 et 2.3
Trois points critiques, un minimum atteint deux fois
CNAEM 2023, filière ECS, Mathématiques et informatique, exercice 2, questions 1, 3 et 4
Un minimum local qui est global
CNAEM 2021, filière ECS, Mathématiques et informatique, problème 2, 2e partie, questions 2.1 à 2.4
Une intégrale à deux paramètres et ses trois points critiques
CNAEM 2012, filière ECS, Mathématiques, problème 2, 1re partie, question 4
La variance empirique comme fonction de n variables
BCE 2024, EDHEC, maths approfondies, exercice 1, questions 2, 3, 5 et 6
Quatre points critiques et un champ de gradients
ECRICOME 2021, voie S, Mathématiques, exercice 2, questions 1, 2 et 7
Approcher un polynôme par une intégrale à trois paramètres
BCE 2020, emlyon, Mathématiques voie S, problème 2, questions 11a, 11b, 11e et 11f
La descente de gradient
ECRICOME 2023, maths approfondies, exercice 2, questions 1 à 10

Questions fréquentes

Comment calculer une dérivée partielle ?

On dérive par rapport à une seule variable en traitant toutes les autres comme des constantes. Pour $f(x, y) = x^2y^3 + xe^y$ , on obtient $\partial_1 f(x, y) = 2xy^3 + e^y$ en figeant $y$ , et $\partial_2 f(x, y) = 3x^2y^2 + xe^y$ en figeant $x$ . Les sujets marocains écrivent souvent $\frac{\partial f}{\partial x}$ : c'est la même chose que $\partial_1 f$ , la notation du programme.

Comment justifier qu'une fonction est de classe

C^1

C^2

Par opérations : les fonctions polynomiales sont de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^n$ , et la somme, le produit, le quotient à dénominateur non nul et la composée $\varphi \circ f$ conservent la classe. Par exemple, $(x, y) \mapsto xe^{-(x^2 + y^2)}$ est de classe $C^2$ par composition de $\exp$ avec une fonction polynomiale, puis par produit. Dire que les dérivées partielles existent ne suffit pas : il faut aussi leur continuité, que donnent les opérations.

Que représente le gradient d'une fonction ?

Le gradient $\nabla f(x)$ rassemble les dérivées partielles. Pour une direction unitaire $h$ , la pente de $f$ dans la direction $h$ vaut $\langle \nabla f(x), h\rangle$ ; par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle est maximale quand $h$ a le sens du gradient, et vaut alors $\|\nabla f(x)\|$ . Le gradient indique donc la direction de plus forte croissance ; il est orthogonal aux lignes de niveau, et d'autant plus long qu'elles sont serrées.

Comment trouver les points critiques d'une fonction de deux variables ?

On résout le système $\partial_1 f(x, y) = 0$ et $\partial_2 f(x, y) = 0$ par équivalences, après avoir factorisé les dérivées. Pour $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ , le système équivaut à $y = x^2$ et $x = y^2$ , donc $x(x^3 - 1) = 0$ : les points critiques sont $(0, 0)$ et $(1, 1)$ . On ne divise jamais par une quantité qui peut être nulle, et l'on garde les deux signes d'une racine carrée.

Un point critique est-il toujours un extremum ?

Non. La condition nécessaire dit seulement que si $f$ , de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^n$ , a un extremum local en $a$ , alors $\nabla f(a) = 0$ . Pour $f(x, y) = x^2 - y^2$ , l'origine est un point critique, mais $f(t, 0) = t^2 > 0$ et $f(0, t) = -t^2 < 0$ pour $t \neq 0$ : ce n'est ni un maximum ni un minimum, c'est un point selle. Deux restrictions à des droites de signes opposés suffisent à le montrer.

Comment montrer qu'une fonction admet un minimum global ?

On montre une inégalité $f(x) \geqslant f(a)$ valable pour tout $x$ , souvent en écrivant $f(x) - f(a)$ comme une somme de carrés, et l'on vérifie que la borne est atteinte. Par exemple, $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 7 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 2 \geqslant 2$ , avec égalité seulement en $(1, -2)$ : le minimum global vaut $2$ . Écrire seulement $f \geqslant 0$ ne suffit pas, car une fonction minorée n'atteint pas toujours sa borne.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.