Filtrage linéaire : cours, méthodes et exercices corrigés

Signaux périodiques et spectre, valeurs moyenne et efficace, fonction de transfert et diagrammes de Bode, filtres du premier et du second ordre, gabarit, comportements moyenneur, intégrateur et dérivateur, filtres en cascade, filtrage d'un signal non sinusoïdal, filtrage mécanique ; Python et mesures.

21méthodes
35exercices corrigés
5problèmes
21pièges
112figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un chargeur qui doit fournir une tension continue à partir du secteur, une ligne qui transporte la voix et des données sur les mêmes fils, un capteur dont le signal utile est noyé dans des parasites, un sismomètre qui doit suivre le mouvement du sol sans se laisser exciter par ses propres oscillations : dans tous ces dispositifs, on garde certaines fréquences et l'on en atténue d'autres. C'est le rôle d'un filtre. Ce chapitre montre qu'un signal périodique est une somme de sinusoïdes, puis utilise la représentation complexe du chapitre précédent pour prévoir ce que devient chacune d'elles à la traversée d'un filtre linéaire. À la fin, tu dois savoir :

lire la décomposition d'un signal périodique, tracer son spectre, calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace ;
établir la fonction de transfert d'un filtre, prévoir sa nature par les comportements à basse et haute fréquence, tracer le diagramme de Bode d'un filtre du premier ordre et lire celui d'un filtre du second ordre ;
déterminer une fréquence de coupure, une bande passante, un facteur de qualité ;
prévoir le signal de sortie d'un filtre attaqué par un signal périodique quelconque, et le vérifier par une simulation en Python ;
relever un diagramme de Bode et un spectre en travaux pratiques.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Signaux périodiques et spectre

Décomposition (toujours fournie) : $s(t) = S_0 + \sum_{n \geq 1} C_n\cos(n\omega t + \varphi_n)$ ; $S_0$ composante continue, rang $1$ fondamental, rang $n \geq 2$ harmoniques.
Spectre d'amplitude : raies $C_n$ aux fréquences $nf$ , et $S_0$ à fréquence nulle. La fréquence du signal est le plus grand diviseur commun des fréquences des raies.
Créneau $\pm E$ : harmoniques impairs, $C_n = \frac{4E}{n\pi}$ ; créneau $0$ , $E$ : $S_0 = \frac{E}{2}$ , impairs en $\frac{2E}{n\pi}$ ; triangle $\pm E$ : impairs en $\frac{8E}{\pi^2n^2}$ ; dent de scie $0$ , $E$ : $S_0 = \frac{E}{2}$ , tous les rangs en $\frac{E}{n\pi}$ .
Signal à sauts : harmoniques en $\frac{1}{n}$ ; signal continu à pente discontinue : en $\frac{1}{n^2}$ .

À retenir Valeur moyenne et valeur efficace

$\langle s\rangle = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T} s\,\mathrm{d}t = S_0$ ; $S_{\text{eff}} = \sqrt{\langle s^2\rangle}$ .
Sinusoïde : $\frac{S_m}{\sqrt 2}$ ; créneau $\pm E$ : $E$ ; rectangle $0$ , $E$ de rapport cyclique $\alpha$ : moyenne $\alpha E$ , valeur efficace $\sqrt{\alpha}E$ .

À retenir Fonction de transfert et diagramme de Bode

$\underline{H} = \frac{\underline{S}}{\underline{E}}$ (sortie ouverte) ; $G = \lvert\underline{H}\rvert = \frac{S_m}{E_m}$ ; $G_{\text{dB}} = 20\log G$ ; $\varphi = \arg\underline{H}$ , avance de la sortie.
$\times 10 \to +20$ dB ; $\times 2 \to +6$ dB ; $\frac{1}{\sqrt 2} \to -3$ dB ; $G = 10^{G_{\text{dB}}/20}$ .
Bode : $G_{\text{dB}}$ et $\varphi$ en fonction de $\log\omega$ . Si $\underline{H} \sim A(j\omega)^n$ , asymptote de pente $20n$ dB par décade et $\varphi \to \arg A + n\frac{\pi}{2}$ .
Prévoir avant de calculer : à basse fréquence, bobine = fil, condensateur = coupure ; à haute fréquence, l'inverse.
Coupure : $G(\omega_c) = \frac{G_{\max}}{\sqrt 2}$ , soit $3$ dB sous le maximum, lue sur la courbe ; bande passante : $G \geq \frac{G_{\max}}{\sqrt 2}$ .
Ordre = degré du dénominateur ; $j\omega \to \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ redonne l'équation différentielle.

À retenir Formes canoniques

Filtre	$\underline{H}$	Basse fréquence	Haute fréquence	Point caractéristique
passe-bas, ordre 1	$\frac{H_0}{1 + j\omega/\omega_c}$	$20\log H_0$ , $\varphi \to 0$	$-20$ dB/déc, $\varphi \to -\frac{\pi}{2}$	$\omega_c$ : $-3$ dB, $-\frac{\pi}{4}$
passe-haut, ordre 1	$\frac{H_0\,j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}$	$+20$ dB/déc, $\varphi \to \frac{\pi}{2}$	$20\log H_0$ , $\varphi \to 0$	$\omega_c$ : $-3$ dB, $+\frac{\pi}{4}$
passe-bande, ordre 2	$\frac{H_0}{1 + jQ(x - 1/x)}$	$+20$ dB/déc, $\varphi \to \frac{\pi}{2}$	$-20$ dB/déc, $\varphi \to -\frac{\pi}{2}$	$\omega_0$ : $H_0$ , en phase ; $\Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q}$

RC (sortie sur $C$ ) : passe-bas, $\omega_c = \frac{1}{RC}$ ; CR (sortie sur $R$ ) : passe-haut, $\omega_c = \frac{1}{RC}$ ; RL (sortie sur $L$ ) : passe-haut, $\omega_c = \frac{R}{L}$ ; RLC série, sortie sur $R$ : passe-bande, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , $Q = \frac{L\omega_0}{R}$ .
Passe-bande : $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ ; asymptotes qui se coupent en $\omega_0$ à $20\log H_0 - 20\log Q$ , sous le maximum si $Q > 1$ (au-dessus si $Q < 1$ ).

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal périodique

Quand l’utiliser

L'énoncé donne la forme d'un signal (créneau, triangle, rectangle, sinusoïde déformée) ou sa décomposition, et demande ce qu'afficherait un multimètre, une puissance moyenne, ou la composante continue.

Rappel de cours

$\langle s\rangle = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T} s\,\mathrm{d}t$ est la composante continue $S_0$ ; $S_{\text{eff}} = \sqrt{\langle s^2\rangle}$ . Pour une sinusoïde, $S_{\text{eff}} = \frac{S_m}{\sqrt 2}$ , et ce facteur ne vaut que pour elle.

Démarche

Choisir une période commode et découper le signal en morceaux simples (constants, affines, sinusoïdaux).
Valeur moyenne : aire algébrique sous la courbe sur une période, divisée par $T$ ; on la lit souvent sur la figure (aires de triangles et de rectangles).
Valeur efficace : moyenne de $s^2$ sur une période, puis racine carrée ; pour une portion affine qui va de $0$ à $a$ en une durée $\tau$ , la moyenne du carré vaut $\frac{a^2}{3}$ .
Contrôler : $\lvert\langle s\rangle\rvert \leq S_{\text{eff}} \leq \max\lvert s\rvert$ .

Rédaction type

« Sur une période, le signal vaut $\ldots$ pendant $\ldots$ et $\ldots$ pendant $\ldots$ . Sa valeur moyenne est l'aire sous la courbe divisée par $T$ : $\langle s\rangle = \ldots$ . Son carré vaut $\ldots$ , de moyenne $\ldots$ ; donc $S_{\text{eff}} = \sqrt{\langle s^2\rangle} = \ldots$ , qui est bien compris entre $\lvert\langle s\rangle\rvert$ et la valeur maximale. »

Exemple traité

Signal qui vaut $6$ V pendant le premier tiers de la période et $0$ ensuite : $\langle s\rangle = \frac{6}{3} = 2{,}0$ V ; $\langle s^2\rangle = \frac{36}{3} = 12\ \text{V}^2$ , donc $S_{\text{eff}} = \sqrt{12} \approx 3{,}5$ V. On a bien $2{,}0 \leq 3{,}5 \leq 6$ . Un multimètre en position DC afficherait $2{,}0$ V.

Erreurs fréquentes

Diviser l'amplitude par $\sqrt 2$ pour un signal qui n'est pas sinusoïdal.
Calculer la moyenne de $s$ , puis l'élever au carré, au lieu de la moyenne de $s^2$ .
Oublier qu'une valeur moyenne peut être négative, alors qu'une valeur efficace est positive.

Pour s’entraîner

Exercice 1.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Valeurs moyennes et efficaces de signaux non sinusoïdaux ★☆☆

On considère trois signaux périodiques de période $T$ , avec $E = 6{,}0\ \text{V}$ :

un signal triangulaire symétrique, qui varie linéairement de $-E$ à $E$ pendant la première moitié de la période, puis de $E$ à $-E$ ;
une dent de scie, qui croît linéairement de $0$ à $E$ pendant la période, puis retombe instantanément à $0$ ;
la tension redressée double alternance $s(t) = E\,\lvert\cos(\omega t)\rvert$ .

Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de chacun d'eux, littéralement puis numériquement.
Quelle est la fréquence de la tension redressée si $\omega = 2\pi \times 50\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ?
Pour lequel de ces signaux la valeur efficace vaut-elle l'amplitude divisée par $\sqrt 2$ ? Que faut-il en conclure ?

Indications

Méthode 1. Pour le triangle, en prenant l'origine des temps à un passage par zéro croissant, $s(t) = \frac{4E}{T}t$ sur $[0, \frac{T}{4}]$ et il suffit d'intégrer sur ce quart de période ; pour la dent de scie, $s(t) = \frac{E}{T}t$ sur $[0, T]$ ; pour la tension redressée, $\cos^2 = \frac{1 + \cos(2\,\cdot)}{2}$ .

Correction détaillée

1. Triangle. Sur une période, il passe autant de temps à chaque valeur $s$ qu'à la valeur $-s$ : la montée de $-E$ à $E$ et la descente de $E$ à $-E$ se compensent, et sa moyenne est nulle. Avec l'énoncé, $s = -E + \frac{4E}{T}t$ sur $[0, \frac{T}{2}]$ ; en prenant l'origine des temps à un passage par zéro croissant, $s = \frac{4E}{T}t$ sur $[0, \frac{T}{4}]$ , et le carré a la même moyenne sur chaque quart de période :

\langle s^2\rangle = \frac{4}{T}\int_0^{T/4}\frac{16E^2}{T^2}t^2\,\mathrm{d}t = \frac{64E^2}{T^3}\cdot\frac{T^3}{192} = \frac{E^2}{3},

donc $S_{\text{eff}} = \frac{E}{\sqrt 3} \approx 3{,}46\ \text{V}$ .

Dent de scie. $\langle s\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T\frac{E}{T}t\,\mathrm{d}t$ , soit $\frac{E}{2} = 3{,}0\ \text{V}$ et

\langle s^2\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T\frac{E^2}{T^2}t^2\,\mathrm{d}t = \frac{E^2}{3},

donc $S_{\text{eff}} = \frac{E}{\sqrt 3} \approx 3{,}46\ \text{V}$ . Les deux signaux ont la même valeur efficace : la valeur absolue du triangle parcourt uniformément l'intervalle $[0, E]$ , comme la dent de scie, et leurs carrés ont donc la même moyenne.

Tension redressée. Sa période est $\frac{T}{2}$ . Sur $[-\frac{T}{4}, \frac{T}{4}]$ , $s = E\cos(\omega t)$ :

\langle s\rangle = \frac{2}{T}\int_{-T/4}^{T/4}E\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{2E}{\pi} \approx 3{,}82\ \text{V}.

Le carré $E^2\cos^2(\omega t)$ est le même que celui de la sinusoïde non redressée : $\langle s^2\rangle = \frac{E^2}{2}$ , donc $S_{\text{eff}} = \frac{E}{\sqrt 2} \approx 4{,}24\ \text{V}$ .

2. Le redressement replie l'alternance négative : la période est divisée par deux et la fréquence vaut $100\ \text{Hz}$ .

3. Seule la tension redressée, parce que son carré est celui d'une sinusoïde. Le facteur $\sqrt 2$ n'a rien de général : pour un signal non sinusoïdal, on revient toujours à la définition $S_{\text{eff}} = \sqrt{\langle s^2\rangle}$ .

Méthodes à retenir

La valeur efficace se calcule par la moyenne du carré, sur une période ; deux signaux qui prennent les mêmes valeurs pendant les mêmes durées ont la même valeur efficace, quelle que soit la forme. La valeur moyenne d'un signal est la composante continue de son spectre (méthode 1).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 21 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 35 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

Ouvrir l'essai gratuit Une question ? WhatsApp

Plan du cours

1. Signaux périodiques et spectre
- 1.1 Signal périodique, fondamental, harmoniques
- 1.2 Spectre d'amplitude
- 1.3 Valeur moyenne et valeur efficace
- 1.4 Valeur efficace et harmoniques
2. Fonction de transfert et diagramme de Bode
- 2.1 Système linéaire et filtre
- 2.2 Fonction de transfert harmonique, gain et déphasage
- 2.3 Diagramme de Bode
- 2.4 Coupure à $-3$ dB et bande passante
- 2.5 Forme canonique, ordre, équation différentielle
3. Filtres du premier ordre
- 3.1 Passe-bas
- 3.2 Passe-haut
- 3.3 Comportements moyenneur, intégrateur, dérivateur
4. Filtres du second ordre
- 4.1 Passe-bande
- 4.2 Passe-bas du second ordre
- 4.3 Passe-haut du second ordre et coupe-bande
5. Action d'un filtre sur un signal périodique
- 5.1 Principe
- 5.2 Exemples
- 5.3 Simulation en Python
- 5.4 Choisir un filtre selon un cahier des charges
- 5.5 Linéarité et nouvelles fréquences
6. Mesures et capacités expérimentales
- 6.1 Relever un diagramme de Bode
- 6.2 Analyse spectrale à l'oscilloscope numérique ou à la carte d'acquisition
- 6.3 Couplages AC et DC, nature d'une mesure
7. Filtres en cascade
8. Filtrage par un dispositif mécanique

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal périodique
Lire une décomposition fournie et tracer le spectre
Établir la fonction de transfert d'un filtre
Prévoir la nature d'un filtre par les comportements à basse et haute fréquence
Mettre la fonction de transfert sous forme canonique
Calculer un gain en décibels et un déphasage
Tracer le diagramme de Bode asymptotique d'un filtre du premier ordre
Déterminer les fréquences de coupure et la bande passante
Exploiter un passe-bande du second ordre
Lire un diagramme de Bode réel
Déterminer la sortie pour une entrée sinusoïdale
Déterminer la sortie pour un signal périodique quelconque
Simuler en Python l'action d'un filtre
Relever un diagramme de Bode et un spectre
Exploiter un passe-bas du second ordre
Mettre des filtres en cascade
Utiliser un filtre comme moyenneur, intégrateur ou dérivateur
Reconnaître une non-linéarité par l'apparition de nouvelles fréquences
Étudier un filtre mécanique
Choisir un filtre à partir d'un cahier des charges
Traduire un cahier des charges en gabarit

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Valeurs moyennes et efficaces de signaux non sinusoïdaux
Retrouver le fondamental et tracer un spectre
Passe-bas du premier ordre à partir de sa fonction de transfert
Bode de deux filtres du premier ordre associés
Retrouver une capacité par un tableau de mesures
Filtrer un signal par un passe-bas et par un passe-haut
Un créneau à travers des filtres
Le couplage AC de l'oscilloscope, un passe-haut caché
Reconnaître la nature et l'ordre d'un filtre sur son diagramme de Bode
Passe-bas du second ordre : Bode et résonance
Intégrer ou dériver avec un filtre
Linéaire ou pas : lire le spectre de sortie
Part du fondamental dans un signal triangulaire
Sismomètre ou accéléromètre : lire des courbes de réponse

Entraînement (16)

Filtre RL passe-haut et quatre signaux d'entrée
Passe-bande et signal triangulaire
Bande passante d'un passe-bande à quatre dipôles
Constituer un filtre à partir de mesures
Effet d'un filtre sur un signal carré, en Python
Filtrer le signal du capteur d'un gyropode
Régler une acquisition pour le spectre d'un signal
Isolation thermique d'une maison, un filtre passe-bas
Identifier un passe-bande par des oscillogrammes
Influence de l'oscilloscope sur un filtre
Deux cellules RC branchées l'une après l'autre
Réaliser un filtre moyenneur
Filtrer une tension redressée
Radar de vélo : multiplieur et passe-bas
Sismographe : un passe-haut du second ordre
Séparer deux signaux par un filtre du premier ordre

Approfondissement (5)

Amplificateur sélectif et taux d'harmonique
Détecteur pyroélectrique : trois filtres en cascade
Corriger une résonance par un coupe-bande
Véhicule sur une piste en tôle ondulée
Filtre de Butterworth et cahier des charges

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Onduleur : du créneau à la tension de la classe
CNC 2024, filière TSI, Physique 2, questions 3.2.1 à 3.2.5
Filtres RC et filtre de Wien
CNC 2012, filière MP, Physique I, premier problème, questions 1.1.6.1, 1.1.6.2 et 1.2.1 à 1.2.3
Le compteur de vélo
CNC 2021, filières TSI et PSI, Physique 1, partie 1, questions 1.1 à 2.6
Mesurer une bobine par détection synchrone
CNC 2022, filière PSI, Physique 2, partie 4, questions 4.1 à 4.11
Choisir un sismographe
Banque PT 2023, Physique A, partie IV, questions 37 à 44

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.