Géométrie des masses : centre d'inertie, matrice d'inertie et théorème de Huygens, cours et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce que la matrice d'inertie d'un solide ?

C'est la matrice de l'opérateur d'inertie en un point O, dans une base liée au solide : A, B, C sur la diagonale, -F, -E, -D hors diagonale. Les moments valent par exemple A = ∫ (y^2 + z^2) dm, moment par rapport à l'axe (O, vec x), et les produits D = ∫ yz dm, E = ∫ xz dm, F = ∫ xy dm. Elle s'écrit toujours avec son point et sa base, et s'exprime en kg.m^2.

Q: Que dit le théorème de Huygens ?

Pour un moment : I_Δ = I_(Δ_G) + m d^2, où Δ_G est l'axe parallèle à Δ passant par le centre d'inertie G et d la distance entre les deux axes. Pour la matrice entière, avec overrightarrowAG = (a, b, c) dans la même base : A_A = A_G + m(b^2 + c^2) et D_A = D_G + m b c, et de même pour les autres termes. Le théorème relie toujours G et un autre point, jamais deux points quelconques : de A à B, on passe par G.

Q: Quelle est la matrice d'inertie d'un cylindre creux ?

En son centre d'inertie, avec un axe de révolution vec z, de rayons R_e et R_i et de hauteur h : C = m (R_e^2 + R_i^2)/(2) et A = B = m ((R_e^2 + R_i^2)/(4) + (h^2)/(12) ), produits nuls. Le signe est bien plus : on retrouve le tube mince mR^2 quand R_i tend vers R_e. Le cylindre plein (R_i = 0), le disque (h = 0) et la tige s'en déduisent comme cas limites.

Q: Comment calculer le moment d'inertie autour d'un axe incliné ?

Sans changer de base : si l'axe passe par le point O où la matrice est connue et a pour direction unitaire vec u = (α, β, γ), alors I = vec u · barbar I(O,S)(vec u) = Aα^2 + Bβ^2 + Cγ^2 - 2Dβγ - 2Eαγ - 2Fαβ. Pour une plaque carrée de côté a autour de sa diagonale, on trouve ainsi (ma^2)/(12), comme autour d'une médiane.

MP
PSI
PT
TSI 2
Offert à l'essai

Masse et centre d'inertie d'un solide et d'un ensemble de solides, opérateur et matrice d'inertie, moments et produits d'inertie, forme de la matrice selon les symétries, théorème de Huygens, changement de base, solides usuels et inertie équivalente d'un système réel.

14méthodes
33exercices corrigés
8problèmes
15pièges
91figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La matrice d'inertie décrit la répartition des masses d'un solide autour d'un point : ses moments $A$ , $B$ , $C$ disent la difficulté à le faire tourner autour de chaque axe, ses produits $D$ , $E$ , $F$ son défaut de symétrie. Avec le centre d'inertie et le théorème de Huygens, qui transporte une matrice du centre d'inertie vers un autre point, elle sert ensuite à toute la cinétique et à la dynamique. Ce chapitre ouvre la mécanique de deuxième année en sciences industrielles, en MP et PSI au Maroc et en MP, PSI, PT et TSI en France ; les sujets du CNC, du CCINP, de Mines-Ponts et de la Banque PT demandent presque toujours de justifier la forme d'une matrice et d'appliquer Huygens. On y suit la démarche complète : symétries, solides usuels par une formule mère, Huygens composante par composante, solides composés et évidés, puis des exercices corrigés tirés des concours.

Ce que tu sauras faire

Un rotor d'éolienne, un volant de moteur, un bras de robot : pour savoir quel couple il faut pour les lancer, quels efforts subissent leurs paliers et pourquoi ils vibrent, la masse ne suffit pas. Il faut savoir où elle est. Ce chapitre décrit cette répartition par trois objets : la masse, le centre d'inertie et la matrice d'inertie. Il ouvre la mécanique de deuxième année : la cinétique, la dynamique et l'énergétique s'en servent à chaque ligne. Les sujets de concours le demandent dans presque toutes les épreuves, souvent dès l'exercice préliminaire. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

trouver le centre d'inertie d'un solide ou d'un ensemble de solides, avec les symétries puis par décomposition ;
écrire la matrice d'inertie d'un solide en un point et dans une base, avec ses moments et ses produits d'inertie ;
justifier la forme de cette matrice par les symétries de la pièce, en les nommant ;
utiliser le tableau des solides usuels et transporter une matrice avec le théorème de Huygens ;
calculer le moment d'inertie autour d'un axe quelconque ;
assembler un solide composé ou évidé, lire une sortie de logiciel, mesurer une inertie et comparer au modèle.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Masse et centre d'inertie

$m = \int_S \mathrm{d}m$ ; masse additive ; un évidement compte comme une masse négative.
$\int_S \overrightarrow{GP}\,\mathrm{d}m = \vec 0$ , soit $m\,\overrightarrow{OG} = \int_S \overrightarrow{OP}\,\mathrm{d}m$ .
Ensemble de solides : $\big(\sum m_i\big)\,\overrightarrow{OG} = \sum m_i\,\overrightarrow{OG_i}$ , en divisant par la masse totale.
$G$ est dans tout plan, sur tout axe, en tout centre de symétrie matérielle.
Demi-disque : $\frac{4R}{3\pi}$ du diamètre ; demi-cercle : $\frac{2R}{\pi}$ ; demi-boule : $\frac{3R}{8}$ ; cône plein : $\frac{3h}{4}$ du sommet.

À retenir Matrice d'inertie

\bar{\bar I}(O,S) = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix}_{(\vec x,\vec y,\vec z)}

$A = \int (y^2 + z^2)\,\mathrm{d}m$ (on enlève la coordonnée de la ligne) ; $D = \int yz\,\mathrm{d}m$ , $E = \int xz\,\mathrm{d}m$ , $F = \int xy\,\mathrm{d}m$ (ligne × colonne).
Toujours écrite avec son point et sa base, liée au solide ; unité $\text{kg.m}^2$ .
$\vec z$ direction principale si $D = E = 0$ .

Moment autour d'un axe $(O, \vec u)$ , $\vec u = (\alpha, \beta, \gamma)$ unitaire :

I = \vec u \cdot \bar{\bar I}(O,S)(\vec u) = A\alpha^2 + B\beta^2 + C\gamma^2 - 2D\beta\gamma - 2E\alpha\gamma - 2F\alpha\beta .

À retenir Formes selon les symétries

Symétrie (au point $O$ choisi sur elle)	Effet sur la matrice
plan de normale $\vec z$	$D = E = 0$
plan de normale $\vec x$	$E = F = 0$
plan de normale $\vec y$	$D = F = 0$
deux plans orthogonaux	diagonale, en un point de leur intersection
axe de symétrie d'ordre 2 selon $\vec z$	$D = E = 0$ seulement
révolution, ou ordre $n \geq 3$ , autour de $\vec z$	diagonale, $A = B$ , dans toute base contenant $\vec z$
plaque dans $(O, \vec x, \vec y)$	$D = E = 0$ et $C = A + B$
sphère	$A = B = C$ , dans toute base

Justifier : « le plan … est plan de symétrie matérielle, de normale … : les produits qui contiennent … sont nuls ».

À retenir Solides usuels (en G, axe de révolution

\vec z

)

Cylindre creux : $A = m\left(\frac{R_e^2 + R_i^2}{4} + \frac{h^2}{12}\right)$ , $C = m\,\frac{R_e^2 + R_i^2}{2}$ ; en déduire cylindre plein ( $R_i = 0$ ), tube ( $R_i = R_e$ ), disque ( $h = 0$ ), tige ( $R_e = R_i = 0$ ).
Pavé $a$ , $b$ , $c$ : $\frac{m}{12}\,\mathrm{diag}(b^2 + c^2,\ a^2 + c^2,\ a^2 + b^2)$ .
Tige : $\frac{mL^2}{12}$ au centre, $\frac{mL^2}{3}$ en bout. Sphère pleine $\frac25 mR^2$ , creuse $\frac23 mR^2$ .
Axe de révolution selon $\vec x$ ou $\vec y$ : permuter les termes.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Transporter une matrice entière (Huygens généralisé)

Quand l’utiliser

Quand on veut la matrice en un point $A$ autre que $G$ , en particulier pour additionner les matrices de plusieurs solides en un même point.

Rappel de cours

Avec $\overrightarrow{AG} = (a, b, c)$ dans la base de $\bar{\bar I}(G,S)$ :

\bar{\bar I}(A,S) = \bar{\bar I}(G,S) + m\begin{bmatrix} b^2 + c^2 & -ab & -ac \\ -ab & a^2 + c^2 & -bc \\ -ac & -bc & a^2 + b^2 \end{bmatrix} .

Démarche

Écrire $\bar{\bar I}(G,S)$ dans une base ; garder cette base.
Écrire $\overrightarrow{AG}$ (de $A$ vers $G$ ) dans la même base : $(a, b, c)$ avec leurs signes.
Diagonale : ajouter $m(b^2 + c^2)$ , $m(a^2 + c^2)$ , $m(a^2 + b^2)$ .
Hors diagonale : ajouter $-mab$ , $-mac$ , $-mbc$ aux termes de la matrice ; autrement dit, les intégrales $F$ , $E$ , $D$ augmentent de $mab$ , $mac$ , $mbc$ .
Contrôler : matrice symétrique, chaque moment inférieur à la somme des deux autres.

Rédaction type

« Théorème de Huygens, avec $\overrightarrow{AG} = a\,\vec x + b\,\vec y + c\,\vec z$ : $A_A = A_G + m(b^2 + c^2)$ , …, $D_A = D_G + mbc$ , $E_A = E_G + mac$ , $F_A = F_G + mab$ , d'où la matrice en $A$ dans $(\vec x,\vec y,\vec z)$ . »

Exemple traité

Le plateau porte-pièces d'un bras de robot de manutention est une plaque mince de 2 kg, de côtés 0,4 m selon $\vec x$ et 0,3 m selon $\vec y$ ; sa matrice en $G$ est $\mathrm{diag}(0{,}015\ ;\ 0{,}0267\ ;\ 0{,}0417)\ \text{kg.m}^2$ . Il est fixé au-dessus du point $A$ du poignet, centre de la dernière liaison pivot, avec $\overrightarrow{AG} = 0{,}2\,\vec x + 0{,}15\,\vec y + 0{,}1\,\vec z$ (m). Valeurs choisies pour l'exemple.

La plaque et le vecteur \overrightarrow{AG}, à écrire dans la base de la matrice avant d'appliquer Huygens. — La plaque et le vecteur $\overrightarrow{AG}$ , à écrire dans la base de la matrice avant d'appliquer Huygens.

A_A = 0{,}015 + 2(0{,}15^2 + 0{,}1^2) = 0{,}080,\quad B_A = 0{,}0267 + 2(0{,}2^2 + 0{,}1^2) = 0{,}127,\quad C_A = 0{,}0417 + 2(0{,}2^2 + 0{,}15^2) = 0{,}167,

D_A = 2 \times 0{,}15 \times 0{,}1 = 0{,}030,\quad E_A = 2 \times 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}040,\quad F_A = 2 \times 0{,}2 \times 0{,}15 = 0{,}060 .

\bar{\bar I}(A,S) = \begin{bmatrix} 0{,}080 & -0{,}060 & -0{,}040 \\ -0{,}060 & 0{,}127 & -0{,}030 \\ -0{,}040 & -0{,}030 & 0{,}167 \end{bmatrix}_{(\vec x,\vec y,\vec z)}\ \text{kg.m}^2 .

La matrice en $G$ était diagonale ; en $A$ , elle ne l'est plus : déplacer le point fait apparaître des produits d'inertie.

Erreurs fréquentes

Mettre la distance selon $\vec x$ dans $A_A$ au lieu de $B_A$ et $C_A$ .
Oublier le signe moins devant $mab$ dans la matrice, ou le doubler.
Exprimer $\overrightarrow{AG}$ dans une autre base que celle de la matrice.
Écrire tous les termes quand le sujet n'en demande qu'un (rapport du CCINP 2026, filière MP).

Pour s’entraîner

Exercices 5, 24, 27, 28 et 29.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le pot de peinture d'un mélangeur ★☆☆

Un mélangeur gyroscopique fait tourner un pot de peinture (2), de masse $M$ , serré entre deux plateaux. Le pot est excentré : son centre d'inertie $G_2$ vérifie $\overrightarrow{OG_2} = a\,\vec x_2$ . On le considère comme un cylindre d'axe de révolution $(G_2,\vec y_2)$ , de matrice en $G_2$ :

\bar{\bar I}_{G_2}(2) = \begin{bmatrix} A_2 & 0 & 0 \\ 0 & B_2 & 0 \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix}_{(\vec x_2,\vec y_2,\vec z_2)}

Le pot, d'axe de révolution parallèle à \vec y_2, a son centre d'inertie G_2 à la distance a du point O, sur l'axe \vec x_2. — Le pot, d'axe de révolution parallèle à $\vec y_2$ , a son centre d'inertie $G_2$ à la distance $a$ du point $O$ , sur l'axe $\vec x_2$ .

Expliquer pourquoi $A_2$ apparaît deux fois dans la matrice.
Déterminer la matrice d'inertie du pot en $O$ dans la base $(\vec x_2,\vec y_2,\vec z_2)$ .

Indications

Méthodes 4 et 5. Écrire $\overrightarrow{OG_2} = (a, 0, 0)$ dans la base de la matrice, puis la matrice du point $G_2$ affecté de la masse $M$ .

Correction détaillée

1. L'axe de révolution est $\vec y_2$ : les moments autour des deux axes perpendiculaires, $\vec x_2$ et $\vec z_2$ , sont égaux ; c'est $A_2$ . Le moment autour de l'axe de révolution, $B_2$ , est différent.

2. Huygens généralisé avec $\overrightarrow{OG_2} = (a,0,0)$ : la matrice du point $G_2$ de masse $M$ est $M\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{bmatrix}$ , tous les produits $ab$ , $ac$ , $bc$ étant nuls puisque deux coordonnées sur trois sont nulles. D'où :

\bar{\bar I}_{O}(2) = \begin{bmatrix} A_2 & 0 & 0 \\ 0 & B_2 + Ma^2 & 0 \\ 0 & 0 & A_2 + Ma^2 \end{bmatrix}_{(\vec x_2,\vec y_2,\vec z_2)}

Le décalage selon $\vec x_2$ ne change pas le moment autour de $\vec x_2$ : la distance de $G_2$ à l'axe $(O,\vec x_2)$ est nulle. Il augmente les moments autour de $\vec y_2$ et de $\vec z_2$ , pour lesquels la distance vaut $a$ . La matrice en $O$ reste diagonale, mais elle n'est plus de révolution : $B_2 + Ma^2 \ne A_2$ en général.

Méthodes à retenir

Une distance selon $\vec x$ agit sur les moments selon $\vec y$ et $\vec z$ , jamais sur celui selon $\vec x$ (méthode 5). Un seul décalage, selon un vecteur de la base, ne crée aucun produit.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 14 méthodes, 15 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 8 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la répartition des masses compte
2. Solide indéformable et repère lié
3. Volume et masse
4. Centre d'inertie
- 4.1 Définition
- 4.2 Symétries matérielles et centre d'inertie
- 4.3 Ensemble de solides et solides évidés
- 4.4 Positions usuelles
5. Moment d'inertie par rapport à un axe
6. Opérateur et matrice d'inertie en un point
- 6.1 Définition
- 6.2 Lire la matrice
- 6.3 Ce que disent les produits d'inertie
7. Moment d'inertie autour d'un axe quelconque
8. Directions principales
9. Influence de la symétrie matérielle sur la forme de la matrice
- 9.1 Un plan de symétrie
- 9.2 Deux plans de symétrie orthogonaux
- 9.3 Axe de symétrie, révolution, symétrie d'ordre n
- 9.4 Cas particuliers : plaque, tige, sphère
10. Solides usuels : une formule mère et ses cas limites
11. Théorème de Huygens
- 11.1 Pour un moment d'inertie
- 11.2 Pour la matrice entière
12. Solides composés, évidés, masses ponctuelles
13. Outil : changer de base
- 13.1 La règle d'abord
- 13.2 La formule
14. Lire une sortie de modeleur volumique
15. Mesurer un moment d'inertie
16. Ce qui vient ensuite
17. Sur le sujet : exercice préliminaire et document réponse

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Trouver un centre d'inertie
Justifier la forme d'une matrice par les symétries
Écrire la matrice d'un solide usuel, et permuter les axes
Transporter un moment d'inertie (Huygens pour un axe)
Transporter une matrice entière (Huygens généralisé)
Passer d'un point A à un point B quand aucun n'est G
Calculer le moment autour d'un axe incliné
Assembler un solide composé ou évidé
Ajouter des masses ponctuelles
Exploiter une sortie de modeleur volumique
Changer de base pour une rotation simple, ou s'en dispenser
Contrôler un résultat d'inertie
Traiter l'exercice préliminaire du CNC et répondre sur le document réponse
Mesurer un moment d'inertie et comparer au modèle

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

La matrice d'un disque en pivot
La tige d'un bras de soudage
Les formes des matrices d'un positionneur de soudage
Un plan de symétrie d'un robot de chantier
Le pot de peinture d'un mélangeur
Le parc échelle d'un camion de pompiers
Le centre d'inertie d'un arceau en demi-cercle
Une formule mère, six solides
La tige et le poignet d'un manipulateur
La forme de la matrice de cinq pièces dessinées
Les formes des matrices d'une moto et de son pilote
Le support inclinable d'un plateau et de son moteur
La tête d'amarrage d'une éprouvette de traction

Entraînement (15)

Le vilebrequin d'une scie d'élagage
Le demi-cylindre creux et l'arceau en quatre plaques
La nacelle en tôle
La bobine vide d'une enrouleuse dans deux bases
La réplique d'un atterrisseur martien
Le robot porte-sonde de téléchographie
Les formes justifiées d'un inverseur de poussée
Un disque percé : centre d'inertie et moment
La porte d'un barrage antitempête
Le rouleau d'un porte-affiches
Le bras d'un axe asservi : qui porte l'inertie ?
Le vantail d'un portail : encadrer, modéliser, mesurer
Une trappe qui tourne autour de sa diagonale
Un pavé autour de sa grande diagonale
Un étage d'optique décalé : un seul moment à transporter

Approfondissement (5)

Le triaxe d'un joint tripode
Le vilebrequin et son contrepoids
Le rotor d'une éolienne de 2 MW
Une règle au pendule pesant : vérifier Huygens
Du tube mince au cylindre creux, et le piège R² − r²

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

La jante d'une roue de robot mobile
CNC 2011, filière MP, Sciences industrielles, partie II « Étude inertielle approchée d'une jante et équilibrage dynamique », sous-partie II-1 « Détermination approchée de la matrice d'inertie d'une jante », questions 3 à 6
Le bras d'un robot de traite
CNC 2014, filière MP, Sciences industrielles, partie 6, sous-partie 6.4 « Dimensionnement des actionneurs », question 9 a à e
Le solide porte-outil d'un centre d'usinage
CNC 2022, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D « Étude du centre UGV », sous-partie D.1 « Étude cinétique et dynamique », questions 24, 25 et 27
Le bras d'orientation d'une bobineuse
CNC 2015, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D, sous-partie D-1 « Modélisation cinétique du bras d'orientation », questions D.1.1 à D.1.4
Le robot de marquage au sol
CCINP 2026, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie II « Étude du basculement du robot dans un virage », sous-partie II.1 « Modélisation des caractéristiques inertielles du robot », questions 10 à 14
Le pied d'une prothèse transtibiale
Mines-Ponts 2013, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, sous-partie 6.2 « Modélisation du comportement inertiel du pied artificiel », question 10
Le bras d'une cellule d'emboxage
Banque PT 2020, filière PT, Sciences industrielles A, partie C, sous-partie C.2 « Étude du système articulé », questions 16 et 17
Les masselottes d'un vibrofonceur
CCINP 2017, filière TSI, Modélisation, partie I, questions 9 et 10

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la matrice d'inertie d'un solide ?

C'est la matrice de l'opérateur d'inertie en un point $O$ , dans une base liée au solide : $A$ , $B$ , $C$ sur la diagonale, $-F$ , $-E$ , $-D$ hors diagonale. Les moments valent par exemple $A = \int (y^2 + z^2)\,\mathrm{d}m$ , moment par rapport à l'axe $(O, \vec x)$ , et les produits $D = \int yz\,\mathrm{d}m$ , $E = \int xz\,\mathrm{d}m$ , $F = \int xy\,\mathrm{d}m$ . Elle s'écrit toujours avec son point et sa base, et s'exprime en $\text{kg.m}^2$ .

Comment justifier la forme d'une matrice d'inertie par les symétries ?

On place le point sur l'élément de symétrie et on aligne la base. Un plan de symétrie matérielle de normale $\vec z$ annule les deux produits qui contiennent $z$ : $D = E = 0$ . Deux plans orthogonaux rendent la matrice diagonale en un point de leur intersection. Une révolution, ou une symétrie d'ordre 3 ou plus autour de $\vec z$ , donne une matrice diagonale avec $A = B$ . Il faut nommer chaque symétrie et les termes qu'elle annule : écrire seulement « par symétrie » ne suffit pas.

Que dit le théorème de Huygens ?

Pour un moment : $I_\Delta = I_{\Delta_G} + m\,d^2$ , où $\Delta_G$ est l'axe parallèle à $\Delta$ passant par le centre d'inertie $G$ et $d$ la distance entre les deux axes. Pour la matrice entière, avec $\overrightarrow{AG} = (a, b, c)$ dans la même base : $A_A = A_G + m(b^2 + c^2)$ et $D_A = D_G + m\,b\,c$ , et de même pour les autres termes. Le théorème relie toujours $G$ et un autre point, jamais deux points quelconques : de $A$ à $B$ , on passe par $G$ .

Quelle est la matrice d'inertie d'un cylindre creux ?

En son centre d'inertie, avec un axe de révolution $\vec z$ , de rayons $R_e$ et $R_i$ et de hauteur $h$ : $C = m\,\frac{R_e^2 + R_i^2}{2}$ et $A = B = m\left(\frac{R_e^2 + R_i^2}{4} + \frac{h^2}{12}\right)$ , produits nuls. Le signe est bien plus : on retrouve le tube mince $mR^2$ quand $R_i$ tend vers $R_e$ . Le cylindre plein ( $R_i = 0$ ), le disque ( $h = 0$ ) et la tige s'en déduisent comme cas limites.

Comment trouver le centre d'inertie d'une pièce composée ou percée ?

On cherche d'abord les symétries : le centre d'inertie est dans tout plan et sur tout axe de symétrie matérielle. On décompose ensuite la pièce en solides simples et on écrit le barycentre $\big(\sum m_i\big)\,\overrightarrow{OG} = \sum m_i\,\overrightarrow{OG_i}$ , en divisant bien par la masse totale. Un trou compte comme une masse négative : le centre d'inertie s'écarte du côté opposé au trou.

Comment calculer le moment d'inertie autour d'un axe incliné ?

Sans changer de base : si l'axe passe par le point $O$ où la matrice est connue et a pour direction unitaire $\vec u = (\alpha, \beta, \gamma)$ , alors $I = \vec u \cdot \bar{\bar I}(O,S)(\vec u) = A\alpha^2 + B\beta^2 + C\gamma^2 - 2D\beta\gamma - 2E\alpha\gamma - 2F\alpha\beta$ . Pour une plaque carrée de côté $a$ autour de sa diagonale, on trouve ainsi $\frac{ma^2}{12}$ , comme autour d'une médiane.

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