Ensembles dénombrables et familles sommables en MP, MPI, PSI et PC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce qu'un ensemble dénombrable ?

Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec ℕ : on peut l'énumérer x_0, x_1, x_2, … sans oubli ni répétition. Il est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable. ℤ et ℕ^2 sont dénombrables, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable, un produit fini et une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables le sont aussi. En PC et PSI, ces résultats sont admis et servent seulement à reconnaître l'ensemble des indices d'une somme.

Q: Quelle différence entre une série convergente et une famille sommable ?

Une suite (u_n) est sommable si et seulement si la série Σ u_n converge absolument. Une série peut converger sans que la suite soit sommable : Σ ((-1)^n)/(n + 1) converge, mais Σ (1)/(n + 1) diverge. La somme d'une famille sommable ne dépend ni de l'ordre ni des regroupements ; celle d'une série qui converge sans converger absolument peut changer quand on réordonne ses termes.

Q: Comment montrer qu'une famille de réels positifs est sommable ?

On calcule sa somme dans [0, +∞], dans l'ordre le plus commode, par paquets (lignes, colonnes, diagonales p + q = n) : pour une famille positive, ce calcul est toujours permis. Si le résultat est fini, la famille est sommable et ce résultat est sa somme. Sinon, on la compare à une famille sommable connue, ou on la minore par une famille de somme infinie.

Q: Qu'est-ce que la sommation par paquets ?

Si (I_j) est une partition de l'ensemble des indices, la somme de la famille est la somme des sommes de chaque paquet. Pour une famille positive, c'est vrai sans hypothèse, dans [0, +∞]. Pour une famille de signe quelconque, il faut que la famille soit sommable ; des sommes de paquets nulles ne le prouvent pas : ((-1)^i), avec les paquets {2n, 2n + 1}, n'est pas sommable.

Ensembles dénombrables, familles sommables de réels positifs puis de complexes, sommation par paquets, séries doubles et produit de Cauchy, selon les filières.

19méthodes
32exercices corrigés
6problèmes
18pièges
36figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une famille sommable se somme sans ordre : pour des réels positifs, sa somme est la borne supérieure des sommes finies, et la finitude du résultat prouve la sommabilité ; pour des complexes, on vérifie d'abord que la famille des modules est sommable. On apprend à reconnaître un ensemble d'indices au plus dénombrable ( $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{N}^2$ , une partie de $\mathbb{N}^2$ ), à calculer une somme double par lignes, par colonnes ou par diagonales grâce à la sommation par paquets et au théorème de Fubini, à éviter les interversions interdites comme celle de $\frac{1}{p^2 - q^2}$ , et à calculer des probabilités de couples. Selon la filière : dénombrabilité démontrée et produit de Cauchy en MP et MPI, exponentielle d'une somme en MP du Maroc, résultats admis et utilisés en probabilités en PC et PSI. Ce chapitre suit le programme de MP et PSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI en France, pour le CNC et les concours français.

Ce que tu sauras faire

Une série additionne ses termes dans l'ordre des indices. Dès qu'on veut additionner une infinité de nombres rangés sans ordre naturel (les termes d'un tableau infini, les probabilités des valeurs d'un couple de variables aléatoires), il faut une autre notion : la famille sommable, dont la somme ne dépend ni de l'ordre ni de la façon de regrouper les termes. Ce chapitre commence par dire quels ensembles d'indices on peut énumérer comme les entiers, puis apprend à sommer « en vrac ». À la fin, tu dois savoir :

reconnaître, avec les résultats du cours, qu'un ensemble d'indices est au plus dénombrable ;
calculer la somme d'une famille de réels positifs en la découpant en paquets commodes ;
montrer qu'une famille de nombres complexes est sommable, par les modules ;
intervertir deux sommes en vérifiant les hypothèses, et reconnaître une interversion interdite ;
calculer une somme double sur $\mathbb{N}^2$ par lignes, par colonnes, par diagonales ;
calculer une probabilité liée à un couple de variables aléatoires par une somme double.

L'essentiel : Les partitions de $\mathbb{N}^2$ Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Partition	Paquet $n$	Nombre de couples	Utile quand le terme dépend de
colonnes	$\{n\} \times \mathbb{N}$	infini	$p$ et $q$ séparément
lignes	$\mathbb{N} \times \{n\}$	infini	$p$ et $q$ séparément
diagonales	$p + q = n$	$n + 1$	$p + q$
équerres	$\max(p, q) = n$	$2n + 1$	$\max(p, q)$
triangles	$p \leq q$ , $p > q$	infini	un ordre entre $p$ et $q$

Sur $\mathbb{N}^{*2}$ , la diagonale $p + q = n$ compte $n - 1$ couples et l'équerre $\max(p, q) = n$ en compte $2n - 1$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer la somme d'une famille de réels positifs par une partition commode

Quand l’utiliser

« Montrer que la famille est sommable et calculer sa somme » pour des termes positifs ; somme double $\sum_{(p,q)}$ de termes positifs.

Rappel de cours

Pour une famille positive et toute partition $(I_j)$ , $\sum_{i \in I}u_i = \sum_j\sum_{i \in I_j}u_i$ dans $[0, +\infty]$ , sans hypothèse. La famille est sommable si et seulement si le résultat est fini.

Démarche

Écrire « la famille est à termes positifs : on calcule dans $[0, +\infty]$ ».
Choisir une partition dont les paquets se somment bien (méthode 4) et décrire chaque paquet.
Calculer chaque somme de paquet, puis la somme des paquets.
Conclure : le résultat est fini, donc la famille est sommable, et sa somme vaut ce résultat.

Rédaction type

La famille $(u_{p,q})$ est à termes positifs. Par sommation par paquets sur la partition $[\ldots]$ , dans $[0, +\infty]$ : $\sum_{(p,q)}u_{p,q} = \sum_{[j]}\Big(\sum_{[\ldots]}u_{p,q}\Big) = [\ldots]$ . Ce résultat est fini : la famille est sommable et sa somme vaut $[\ldots]$ .

Exemple traité

Calculons $S = \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2,\ p \leq q}\frac{1}{2^{p+q}}$ . Termes positifs : calcul dans $[0, +\infty]$ , par paquets sur les colonnes « $p$ fixé ». Pour $p$ fixé,

\sum_{q \geq p}\frac{1}{2^{p+q}} = \frac{1}{2^p}\cdot\frac{1}{2^p}\cdot\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{4^p} .

Donc $S = \sum_{p=0}^{+\infty}\frac{2}{4^p} = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ . Le résultat est fini : la famille est sommable. Contrôle par l'autre ordre : pour $q$ fixé, $\sum_{p=0}^q\frac{1}{2^{p+q}} = \frac{2}{2^q} - \frac{1}{4^q}$ , dont la somme sur $q$ vaut $4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ .

Erreurs fréquentes

Justifier la convergence de chaque série intermédiaire : pour une famille positive, c'est inutile, le calcul dans $[0, +\infty]$ s'en charge.
Oublier de conclure à la sommabilité à partir de la finitude du résultat.
Mal décrire un paquet (borne $q \geq p$ ou $q > p$ ).

Pour s’entraîner

Exercices 2, 8, 18 et 19.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Deux familles indexées par

\mathbb{N}^{*2}

★☆☆

On admet que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ et on note $A = \mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*$ .

Montrer que la famille $\left(\frac{1}{p^2q^2}\right)_{(p,q)\in A}$ est sommable et calculer sa somme.
Montrer que la famille $\left(\frac{1}{p^2 + q^2}\right)_{(p,q)\in A}$ n'est pas sommable.
Soit $\lambda > 0$ . Montrer que la famille $\left(\frac{1}{(p^2 + q^2)^\lambda}\right)_{(p,q)\in A}$ est sommable si et seulement si $\lambda > 1$ .

Indications

Méthodes 3 et 10. Pour 1, le terme se factorise. Pour 2, minorer $p^2 + q^2$ en fonction de $\max(p, q)$ , puis découper $A$ en équerres $\{\max(p, q) = n\}$ et compter leurs éléments. Pour 3, encadrer $p^2 + q^2$ entre $\max(p, q)^2$ et $2\max(p, q)^2$ , puis sommer par équerres.

Correction détaillée

1. La famille est positive et $\frac{1}{p^2q^2} = \frac{1}{p^2}\cdot\frac{1}{q^2}$ . La famille $\left(\frac{1}{p^2}\right)_{p\geq 1}$ est sommable (série de Riemann d'exposant $2 > 1$ ), de somme $\frac{\pi^2}{6}$ . Par le produit de deux familles sommables, la famille proposée est sommable et

\sum_{(p,q)\in A}\frac{1}{p^2q^2} = \left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2 = \frac{\pi^4}{36}.

2. La famille est positive : il suffit de montrer que sa somme dans $[0, +\infty]$ vaut $+\infty$ . Pour $(p, q) \in A$ , notons $m = \max(p, q)$ : $p^2 + q^2 \leq 2m^2$ , donc

\frac{1}{p^2 + q^2} \geq \frac{1}{2\max(p, q)^2}.

Pour $n \geq 1$ , l'équerre $E_n = \{(p, q) \in A,\ \max(p, q) = n\}$ contient les $n$ couples $(n, q)$ , $1 \leq q \leq n$ , et les $n - 1$ couples $(p, n)$ , $1 \leq p \leq n - 1$ : elle a $2n - 1$ éléments. Les $E_n$ , $n \geq 1$ , forment une partition de $A$ . Par comparaison, puis sommation par paquets (familles positives),

\sum_{(p,q)\in A}\frac{1}{p^2 + q^2} \geq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n - 1}{2n^2}.

Or $\frac{2n - 1}{2n^2} \sim \frac{1}{n}$ , terme positif d'une série divergente : le minorant vaut $+\infty$ . La famille n'est pas sommable.

3. La famille est positive. Sur l'équerre $E_n$ , $n^2 \leq p^2 + q^2 \leq 2n^2$ , donc

\frac{1}{2^\lambda n^{2\lambda}} \leq \frac{1}{(p^2 + q^2)^\lambda} \leq \frac{1}{n^{2\lambda}}.

En sommant sur les $2n - 1$ couples de $E_n$ , puis par paquets,

\frac{1}{2^\lambda}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n - 1}{n^{2\lambda}} \leq \sum_{(p,q)\in A}\frac{1}{(p^2 + q^2)^\lambda} \leq \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n - 1}{n^{2\lambda}}.

Or $\frac{2n - 1}{n^{2\lambda}} \sim \frac{2}{n^{2\lambda - 1}}$ , terme positif d'une série qui converge si et seulement si $2\lambda - 1 > 1$ , c'est-à-dire $\lambda > 1$ . Si $\lambda > 1$ , le majorant est fini et la famille est sommable ; si $\lambda \leq 1$ , le minorant vaut $+\infty$ et elle ne l'est pas. On retrouve 2 pour $\lambda = 1$ .

Méthodes à retenir

Pour prouver qu'une famille positive n'est pas sommable, on la minore par une famille dont la somme, calculée par paquets, vaut $+\infty$ ; pour prouver qu'elle l'est, on la majore de même. Un encadrement sur chaque paquet donne les deux à la fois. Les équerres de $\mathbb{N}^{*2}$ ont $2n - 1$ éléments ; elles conviennent dès que le terme dépend de $\max(p, q)$ . Voir les méthodes 3 et 10.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 32 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Ensembles dénombrables
- 1.1 Définitions
- 1.2 Résultats à connaître
- 1.3 L'ensemble $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable
2. Familles de réels positifs
- 2.1 Calculer dans $[0, +\infty]$
- 2.2 Somme d'une famille positive
- 2.3 Famille sommable
- 2.4 Sommation par paquets
- 2.5 Le théorème de Fubini positif
3. Familles de nombres complexes
- 3.1 Définition et somme
- 3.2 Le cas $I = \mathbb{N}$
- 3.3 L'espace des familles sommables
- 3.4 Sommation par paquets
- 3.5 Le théorème de Fubini
- 3.6 Produit de deux familles sommables
4. Sommes doubles et lois de couples
5. Produit de Cauchy
6. Exponentielle d'une somme

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Justifier qu'un ensemble d'indices est au plus dénombrable avec les résultats du cours
Calculer la somme d'une famille de réels positifs par une partition commode
Montrer qu'une famille positive est sommable, ou ne l'est pas, par comparaison
Choisir la partition de $\mathbb{N}^2$ : lignes, colonnes, diagonales, équerres, triangles
Montrer qu'une famille de complexes est sommable
Passer d'une suite indexée par $\mathbb{N}$ à une série absolument convergente, et réordonner
Sommer par paquets une famille sommable de complexes : calcul, puis justification
Intervertir deux sommes (théorème de Fubini)
Reconnaître une interversion interdite
Utiliser le produit de deux familles sommables
Calculer une probabilité par une somme double
Montrer qu'un ensemble est dénombrable par une bijection explicite avec $\mathbb{N}$
Montrer qu'un ensemble est au plus dénombrable par une injection ou une surjection
Écrire l'ensemble comme réunion ou comme produit
Montrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable
Utiliser la dénombrabilité : support, sauts, existence
Revenir à la définition par les sommes finies
Effectuer un produit de Cauchy et le justifier
Calculer $\exp(u + v)$ quand $u$ et $v$ commutent, et vérifier la commutation d'abord

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Reconnaître l'ensemble des indices
Sommes doubles géométriques
Deux familles indexées par $\mathbb{N}^{*2}$
Sommer par diagonales
Rangs pairs et impairs
Une famille de complexes
Sommable ou non
Sommer sur un triangle
Bijections explicites
Injections et surjections
Réunions et produits
Ensembles non dénombrables
Produits de Cauchy usuels
Exponentielles de matrices qui commutent

Entraînement (14)

La zone $n \geq m$
Les sommes de $\zeta(n) - 1$
La famille $\frac{1}{(p + q)^\alpha}$
Les équerres
Une interversion interdite
Une loi de couple
Somme de deux variables de Poisson
Familles indexées par $\mathbb{Z}$
Une somme double télescopique
Discontinuités d'une fonction monotone
Support d'une famille sommable
Nombres algébriques
L'hypothèse d'absolue convergence
Sans commutation

Approfondissement (4)

Couples premiers entre eux
L'entier le plus proche de $\sqrt{n}$
Développer $e^{e^x}$
Une série de Kempner

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Probabilité qu'une matrice soit diagonalisable
CNC 2023, filières MP et PSI, Mathématiques II, exercice (exercice 1 en PSI), questions 1.1.1 à 1.2.5 (paramètre de 1.2.3 corrigé dans l'énoncé de la filière PSI)
Sommes doubles et contre-exemples
Centrale-Supélec 2023, filière PC, Mathématiques 2, partie II, questions Q20 à Q29
Marche aléatoire, loi de Poisson et fonctions harmoniques
CNC 2015, filière MP, Mathématiques I, deuxième problème, questions 4.4.1, 4.4.2 et 5.1.1 à 5.2.2 (résultats de probabilités rappelés dans l'énoncé)
Séries de Lambert
CCINP 2019, filière MP, Mathématiques 1, problème, questions Q4 (première partie), Q7, Q8 et Q9 (hypothèse sur la suite (a_n) remplacée)
Dénombrabilité
Centrale-Supélec 2019, filière MP, Mathématiques 2, partie V, questions Q32 à Q37 (question Q35 complétée)
Suite double sommable et exponentielle d'une somme
CNC 2004, filière MP, Mathématiques I, partie I, question 3 (a) et (b), et filière PSI, Mathématiques II, question II.4 (c) (questions B.1 à B.3 ajoutées)

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un ensemble dénombrable ?

Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $\mathbb{N}$ : on peut l'énumérer $x_0, x_1, x_2, \dots$ sans oubli ni répétition. Il est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable. $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{N}^2$ sont dénombrables, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable, un produit fini et une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables le sont aussi. En PC et PSI, ces résultats sont admis et servent seulement à reconnaître l'ensemble des indices d'une somme.

Quelle différence entre une série convergente et une famille sommable ?

Une suite $(u_n)$ est sommable si et seulement si la série $\sum u_n$ converge absolument. Une série peut converger sans que la suite soit sommable : $\sum\frac{(-1)^n}{n + 1}$ converge, mais $\sum\frac{1}{n + 1}$ diverge. La somme d'une famille sommable ne dépend ni de l'ordre ni des regroupements ; celle d'une série qui converge sans converger absolument peut changer quand on réordonne ses termes.

Comment montrer qu'une famille de réels positifs est sommable ?

On calcule sa somme dans $[0, +\infty]$ , dans l'ordre le plus commode, par paquets (lignes, colonnes, diagonales $p + q = n$ ) : pour une famille positive, ce calcul est toujours permis. Si le résultat est fini, la famille est sommable et ce résultat est sa somme. Sinon, on la compare à une famille sommable connue, ou on la minore par une famille de somme infinie.

Quand peut-on intervertir deux sommes ?

Pour des termes positifs, toujours : c'est le théorème de Fubini positif. Pour des termes de signe quelconque, seulement si la famille est sommable, ce qu'on vérifie en montrant qu'une somme itérée des modules est finie. Sans cette vérification, l'égalité peut être fausse : pour $u_{p,q} = \frac{1}{p^2 - q^2}$ ( $p \neq q$ ), les deux sommes itérées valent $\frac{\pi^2}{8}$ et $-\frac{\pi^2}{8}$ .

Qu'est-ce que la sommation par paquets ?

Si $(I_j)$ est une partition de l'ensemble des indices, la somme de la famille est la somme des sommes de chaque paquet. Pour une famille positive, c'est vrai sans hypothèse, dans $[0, +\infty]$ . Pour une famille de signe quelconque, il faut que la famille soit sommable ; des sommes de paquets nulles ne le prouvent pas : $((-1)^i)$ , avec les paquets $\{2n, 2n + 1\}$ , n'est pas sommable.

L'ensemble

\mathbb{R}

est-il dénombrable ?

Non. En MP et MPI, c'est un résultat du programme, admis, dont la démonstration n'est pas exigible ; l'idée est de construire, pour toute suite de réels de $[0, 1]$ , des segments emboîtés qui évitent successivement chacun de ses termes. Ce résultat n'est pas au programme de PC et de PSI. Attention : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ et pourtant dénombrable.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.