Fonctions vectorielles et arcs paramétrés en MP, PSI, PC, PT, TSI et TPC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Comment dériver une fonction vectorielle ?

Par ses coordonnées : f est dérivable en t_0 si et seulement si chacune de ses coordonnées l'est, et le vecteur dérivé f'(t_0) a pour coordonnées les dérivées des coordonnées. Pour f(t) = (cos t, sin t), f'(t) = (-sin t, cos t). De façon équivalente, f'(t_0) est la limite du taux d'accroissement (f(t_0 + h) - f(t_0))/(h). Pour un produit par une fonction réelle, (φ f)' = φ'f + φ f'.

Q: Le théorème de Rolle est-il vrai pour une fonction vectorielle ?

Non. La fonction f(t) = (cos t, sin t) prend la même valeur en 0 et en 2π, et pourtant sa dérivée, de norme 1, ne s'annule jamais. Pour la même raison, il n'y a pas d'égalité des accroissements finis : chaque coordonnée fournirait son propre point c. Ce qui reste vrai, ce sont des inégalités, coordonnée par coordonnée, ou appliquées à une seule fonction réelle bien choisie.

Q: Pourquoi une norme constante donne-t-elle un vecteur dérivé orthogonal ?

On dérive le carré de la norme : dans le plan, (d)/(dt) (x^2 + y^2 ) = 2(xx' + yy'), qui est deux fois le produit scalaire de f et de f'. Si la norme est constante, cette dérivée est nulle, donc f(t) et f'(t) sont orthogonaux. Pour un point qui tourne sur un cercle, la vitesse est perpendiculaire au rayon. Attention : la dérivée de la norme n'est pas la norme de la dérivée.

Q: Que représente le vecteur dérivé d'une fonction vectorielle ?

Si f(t) est la position d'un mobile à l'instant t, f'(t) est son vecteur vitesse et lVert f'(t)rVert sa vitesse scalaire ; f''(t) est son accélération. Géométriquement, un vecteur dérivé non nul est tangent à la trajectoire : c'est la limite des directions des cordes qui joignent la position à l'instant t_0 aux positions voisines.

Q: Comment trouver une asymptote d'une courbe paramétrée ?

En TSI et en PT, on commence par les limites de x(t) et de y(t), séparément. Si x tend vers un réel a et y vers l'infini, la droite x = a est asymptote verticale ; si y tend vers b et x vers l'infini, la droite y = b est asymptote horizontale. En PT et en TSI au Maroc, si x et y tendent tous deux vers l'infini, on étudie (y)/(x) puis y - ax pour une asymptote oblique. La position se lit sur le signe de l'écart, de chaque côté.

Dérivation et intégration des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles, formules de Taylor, arcs paramétrés : tangente, étude locale et tracé selon les filières.

17méthodes
44exercices corrigés
11problèmes
21pièges
51figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une fonction vectorielle $t \mapsto f(t)$ décrit la position d'un point qui se déplace. Elle se dérive par ses coordonnées : sa dérivée $f'(t)$ est le vecteur vitesse, tangent à la trajectoire, et $f''(t)$ l'accélération. On dérive un produit par une fonction réelle, un produit scalaire, un déterminant ou un produit vectoriel selon la filière, on exploite une norme constante ( $f \perp f'$ ), et l'on retient que ni le théorème de Rolle ni l'égalité des accroissements finis ne passent aux fonctions vectorielles. Selon la filière, le chapitre se poursuit par l'étude des arcs paramétrés (tangente, réduction du domaine, points stationnaires, branches infinies, tracé, longueur) ou par l'intégration sur un segment et les formules de Taylor. Il suit le programme de MP, PSI et TSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI, TPC en France ; études de courbes paramétrées et formule de Taylor reviennent dans les sujets du CNC et des concours français.

Ce que tu sauras faire

Un point qui se déplace dans le plan ou dans l'espace se décrit par une fonction d'une variable réelle à valeurs vectorielles : à l'instant $t$ , sa position $f(t)$ . Ce chapitre étend à ces fonctions la dérivation de première année, en passant par les coordonnées, et donne le sens cinématique et géométrique de la dérivée : vitesse, accélération, direction de la tangente. Il servira en physique (mouvements), dans le calcul différentiel (dérivée le long d'une courbe) et dans les équations différentielles. À la fin, tu dois savoir :

montrer qu'une fonction vectorielle est dérivable, de classe $\mathcal C^k$ , et calculer ses dérivées par les coordonnées ;
dériver une combinaison linéaire, le produit d'une fonction réelle par une fonction vectorielle, et les autres produits et composées que ton programme contient ;
interpréter la dérivée première comme une vitesse et la dérivée seconde comme une accélération ;
exploiter une norme constante, une vitesse de norme constante ;
savoir ce qui ne passe pas des fonctions réelles aux fonctions vectorielles : ni le théorème de Rolle, ni l'égalité des accroissements finis.

L'essentiel : Démonstrations à savoir refaire Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

Propriété Démonstrations à savoir refaire

La caractérisation de la dérivabilité par les coordonnées.
La dérivée de $\varphi f$ , par les coordonnées.
$f' = 0$ sur un intervalle implique $f$ constante.
Le contre-exemple $(\cos t, \sin t)$ au théorème de Rolle.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Dériver un produit scalaire, une norme, un déterminant, un produit vectoriel

Quand l’utiliser

On dérive $\langle f, g\rangle$ , $\lVert f\rVert^2$ , $\lVert f\rVert$ , $\det(f, g)$ , $f\wedge g$ ; on doit montrer qu'une norme est constante, ou exploiter qu'elle l'est.

Rappel de cours

Démarche

Remplacer $\lVert f\rVert$ par $\lVert f\rVert^2$ , plus facile à dériver.
Dériver, par la formule du produit ou par les coordonnées.
Interpréter : un produit scalaire nul est une orthogonalité, un déterminant nul une colinéarité.

Rédaction type

Posons $N(t) = \lVert f(t)\rVert^2 = [\text{expression en coordonnées}]$ . Alors $N'(t) = 2\langle f(t), f'(t)\rangle = [...]$ . Donc $[\lVert f\rVert$ est constante sur l'intervalle $I$ / $f(t) \perp f'(t)$ pour tout $t]$ .

Exemple traité

Soit $f(t) = (\cos t, \sin t, t)$ . En coordonnées, $\lVert f(t)\rVert^2 = \cos^2t + \sin^2t + t^2 = 1 + t^2$ , de dérivée $2t$ . La norme n'est pas constante : le point s'éloigne de l'origine en montant le long de l'hélice.

Erreurs fréquentes

Écrire $\lVert f\rVert' = \lVert f'\rVert$ : pour $(\cos t, \sin t)$ , la norme est constante et $\lVert f'\rVert = 1$ .
Dériver un déterminant en dérivant toutes les colonnes à la fois.
Changer l'ordre des facteurs d'un produit vectoriel.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 12 et 16.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Norme constante et orthogonalité ★☆☆

Soit $I$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}^2$ dérivable, $f = (x, y)$ .

Application : vérifier que $f(t) = \left(\cos(t^2), \sin(t^2)\right)$ décrit le cercle unité, et en déduire sans calcul supplémentaire que $f'(t)$ est orthogonal à $f(t)$ .

Indications

Méthode 3 : on dérive le carré de la norme, jamais la norme d'abord. Une fonction réelle dérivable sur un intervalle est constante si et seulement si sa dérivée est nulle.

Correction détaillée

2. $\cos^2(t^2) + \sin^2(t^2) = 1$ : le point $f(t)$ reste sur le cercle unité. La question 1 donne alors l'orthogonalité de $f(t)$ et $f'(t)$ pour tout $t$ . Contrôle : $f'(t) = 2t\left(-\sin(t^2), \cos(t^2)\right)$ , et le produit scalaire avec $f(t)$ est bien nul. Géométriquement, la vitesse d'un point qui reste sur un cercle centré en $O$ est tangente au cercle.

Méthodes à retenir

Norme constante équivaut à vecteur et dérivée orthogonaux, sur un intervalle. Le passage par le carré de la norme évite la racine carrée et la division. Voir la méthode 3.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 17 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 44 exercices corrigés, 11 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Dérivabilité
- 1.1 Limite, continuité, coordonnées
- 1.2 Dérivée en un point
- 1.3 Interprétations de la dérivée
- 1.4 Fonction dérivée, classe $\mathcal C^k$ , ce qui ne se transpose pas
2. Opérations
- 2.1 Combinaison linéaire, produit par une fonction réelle
- 2.2 Produits
- 2.3 Composées et dérivées successives
- 2.4 Formule de Taylor-Young et développements limités
3. Arcs paramétrés
- 3.1 Arc, support, points multiples
- 3.2 Tangente en un point régulier
- 3.3 Réduction du domaine et construction
- 3.4 Normale, point birégulier
4. Étude locale en un point stationnaire
5. Branches infinies
- 5.1 Asymptotes verticales et horizontales
- 5.2 Directions asymptotiques, asymptotes obliques, branches paraboliques
6. Longueur d'un arc
3. Intégration sur un segment
4. Formules de Taylor
5. Révision : arcs paramétrés plans

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Montrer qu'une fonction vectorielle est dérivable et calculer sa dérivée
Dériver une combinaison, un produit par une fonction réelle, une composée
Dériver un produit scalaire, une norme, un déterminant, un produit vectoriel
Calculer des dérivées successives, montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^k$
Interpréter cinématiquement : vitesse, accélération
Passer aux coordonnées : transposer un résultat réel, et savoir ce qui ne se transpose pas
Réduire le domaine d'étude d'un arc
Dresser le tableau des variations conjointes, trouver les tangentes horizontales et verticales
Écrire la tangente en un point régulier
Chercher les points multiples d'un arc
Construire un arc : plan complet et tracé
Étudier un point stationnaire : tangente, nature, position
Étudier une branche infinie
Calculer la longueur d'un arc
Intégrer une fonction vectorielle sur un segment
Majorer par l'inégalité des accroissements finis
Choisir et appliquer une formule de Taylor : locale ou globale

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (17)

Dériver par les coordonnées
Dérivabilité en un point et classe $\mathcal C^1$
Prolongement par continuité et dérivabilité
Dériver des produits
Norme constante et orthogonalité
Dérivées successives
Mouvements circulaire et cycloïdal
L'hélice
Tangentes d'un arc régulier
Réduire le domaine d'étude
Tracer une courbe de Lissajous
Nature de points stationnaires
Asymptotes verticales et horizontales
Longueurs classiques
Intégrales de fonctions vectorielles
Sommes de Riemann vectorielles
Dériver une intégrale à bornes variables

Entraînement (21)

Vitesse et accélération dans le repère mobile
Un mouvement de rotation
Accélération nulle, vitesse de direction fixe
Dériver une norme, distances extrêmes
Changer de paramètre
Un prolongement de classe $\mathcal C^1$
Ce qui reste des accroissements finis
Vitesse de norme constante
Le point d'une roue
Points doubles
Droites à la fois tangentes et normales
Construire la lemniscate de Bernoulli
L'astroïde
Un rebroussement de seconde espèce
Deux branches de natures différentes
Une courbe à asymptote oblique
Longueur d'une courbe gauche et de la néphroïde
Accroissements finis
Taylor-Lagrange pour l'écart à la tangente
Dériver un inverse et un déterminant de matrices
Révision : étude locale de l'astroïde et d'un point birégulier

Approfondissement (6)

L'inégalité des accroissements finis pour la norme euclidienne, avec des outils réels
Accélération centrale et loi des aires
Vitesse colinéaire à la position
Trois points alignés sur la strophoïde
La néphroïde
Reste intégral et majoration globale

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une cubique et ses tangentes
CNC 2011, filière TSI, Mathématiques II, deuxième problème, questions 1.1 à 1.3, 2.1 à 2.5 et 3.1.1 à 3.3.3, numérotées ici 1.1 à 3.3.c (question 1.4 non reprise)
La cardioïde
CNC 2007, filières PSI et TSI, Mathématiques I, deuxième problème, première partie, questions 1 à 6 (en coordonnées cartésiennes)
Projections d'un foyer sur les tangentes d'une ellipse
CNC 2014, filière TSI, Mathématiques II, exercice
Applications de la formule de Taylor avec reste intégral
CNC 2026, filière PSI, Mathématiques I, problème, questions 2.1.1 à 4.1.3, numérotées ici 2.1.a à 4.1.c (question 2.1.c ajoutée)
Relèvement et zéros d'une solution de $u'' + \psi u = 0$
CNC 2018, filière MP, Mathématiques I, parties 2 et 3, questions 2.2.1 à 2.2.3 et 3.3.1 à 3.3.4 (existence et unicité des solutions admises)
Trajectoires sphériques
Centrale-Supélec 2023, filière TSI, Mathématiques 2, questions 1, 2, 27 à 31 et 37 à 43
Une cissoïde
Banque PT 2024, filière PT, Mathématiques B, deuxième exercice, partie C, questions 1 à 6 (question 7 ajoutée)
Une courbe et ses deux asymptotes
Banque PT 2023, filière PT, Mathématiques B, quatrième partie, questions 1 à 7.b
Le deltoïde
Centrale-Supélec 2022, filière TSI, Mathématiques 1, partie II, questions 16 à 23 (question 22 découpée en trois, 22.b ajoutée ; tangente au point stationnaire démontrée au lieu d'être admise)
Vecteurs tangents aux groupes $O_n(\mathbb{R})$ et $SL_n(\mathbb{R})$
Mines-Ponts 2026, filières MP et MPI, Mathématiques 2, partie II, questions 11 à 13 (questions 13 bis et 13 ter, sur $SL_n(\mathbb{R})$, ajoutées)
Inégalités d'interpolation des dérivées
Centrale-Supélec 2022, filière MP, Mathématiques 2, partie I, questions 1 à 10 (question 1 bis ajoutée)

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction vectorielle ?

Par ses coordonnées : $f$ est dérivable en $t_0$ si et seulement si chacune de ses coordonnées l'est, et le vecteur dérivé $f'(t_0)$ a pour coordonnées les dérivées des coordonnées. Pour $f(t) = (\cos t, \sin t)$ , $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ . De façon équivalente, $f'(t_0)$ est la limite du taux d'accroissement $\frac{f(t_0 + h) - f(t_0)}{h}$ . Pour un produit par une fonction réelle, $(\varphi f)' = \varphi'f + \varphi f'$ .

Le théorème de Rolle est-il vrai pour une fonction vectorielle ?

Non. La fonction $f(t) = (\cos t, \sin t)$ prend la même valeur en $0$ et en $2\pi$ , et pourtant sa dérivée, de norme $1$ , ne s'annule jamais. Pour la même raison, il n'y a pas d'égalité des accroissements finis : chaque coordonnée fournirait son propre point $c$ . Ce qui reste vrai, ce sont des inégalités, coordonnée par coordonnée, ou appliquées à une seule fonction réelle bien choisie.

Pourquoi une norme constante donne-t-elle un vecteur dérivé orthogonal ?

On dérive le carré de la norme : dans le plan, $\frac{d}{dt}\big(x^2 + y^2\big) = 2(xx' + yy')$ , qui est deux fois le produit scalaire de $f$ et de $f'$ . Si la norme est constante, cette dérivée est nulle, donc $f(t)$ et $f'(t)$ sont orthogonaux. Pour un point qui tourne sur un cercle, la vitesse est perpendiculaire au rayon. Attention : la dérivée de la norme n'est pas la norme de la dérivée.

Que représente le vecteur dérivé d'une fonction vectorielle ?

Si $f(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$ , $f'(t)$ est son vecteur vitesse et $\lVert f'(t)\rVert$ sa vitesse scalaire ; $f''(t)$ est son accélération. Géométriquement, un vecteur dérivé non nul est tangent à la trajectoire : c'est la limite des directions des cordes qui joignent la position à l'instant $t_0$ aux positions voisines.

Qu'est-ce qu'un point stationnaire d'une courbe paramétrée ?

Un point où le vecteur dérivé est nul. En TSI, en PT et en TPC, on y cherche le premier vecteur dérivé non nul, d'indice $p$ , qui dirige la tangente, puis le premier vecteur non colinéaire, d'indice $q$ ; les parités de $p$ et $q$ donnent l'allure : point ordinaire, inflexion, rebroussement de première ou de seconde espèce. Pour l'astroïde $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ en $t = 0$ , $p = 2$ et $q = 3$ : rebroussement de première espèce.

Comment trouver une asymptote d'une courbe paramétrée ?

En TSI et en PT, on commence par les limites de $x(t)$ et de $y(t)$ , séparément. Si $x$ tend vers un réel $a$ et $y$ vers l'infini, la droite $x = a$ est asymptote verticale ; si $y$ tend vers $b$ et $x$ vers l'infini, la droite $y = b$ est asymptote horizontale. En PT et en TSI au Maroc, si $x$ et $y$ tendent tous deux vers l'infini, on étudie $\frac{y}{x}$ puis $y - ax$ pour une asymptote oblique. La position se lit sur le signe de l'écart, de chaque côté.

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