Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles : cours, méthodes et exercices corrigés

Dérivées, différentielles, raisonnement sur un élément et petites variations, au service de la physique, de la chimie et des SII.

15méthodes
33exercices corrigés
2problèmes
14pièges
51figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un réservoir qui se remplit, un condensateur qui se charge, une réaction qui ralentit, un moteur qui accélère : la physique, la chimie et les sciences industrielles décrivent sans cesse des grandeurs qui varient. Le calcul infinitésimal est l'outil qui mesure ces variations et qui reconstruit une grandeur totale à partir de petits morceaux. Le cours de mathématiques en donne les théorèmes ; ce chapitre apprend à s'en servir comme un physicien, avec des unités, des approximations et un domaine de validité. À la fin, tu dois savoir :

lire une dérivée comme un taux de variation instantané, avec son unité et son signe, et la lire sur une courbe ;
dériver par rapport au temps une grandeur qui dépend d'une autre ;
écrire la différentielle d'une expression et l'utiliser pour une petite variation, en jugeant la validité de l'approximation ;
obtenir une variation relative par la différentielle logarithmique ;
découper un système en éléments, écrire la contribution d'un élément et sommer ;
écrire les éléments de longueur, de surface et de volume usuels et les contrôler ;
interpréter les dérivées partielles d'une fonction de deux variables ;
estimer une dérivée par un calcul numérique en Python.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$\Delta x$ : variation finie ; $\mathrm{d}x$ : différentielle ; $\delta W$ , $\delta Q$ : petite quantité qui n'est la variation d'aucune fonction ; $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$ : dérivée partielle à $y$ fixé.
$f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ ; $\dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ , $\ddot x$ : dérivées par rapport au temps seulement.
Une égalité relie des grandeurs finies ou des grandeurs élémentaires, jamais un mélange : $\Delta U = W + Q$ , $\mathrm{d}U = \delta W + \delta Q$ .

À retenir Dérivée

Taux de variation instantané : $f'(x) = \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ , pente de la tangente.
Unité : $\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right] = \frac{[y]}{[x]}$ . Exemples : $D_V = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ , $i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ , $\mathcal P = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$ (énergie $E$ du système ; une puissance reçue s'écrit $\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}$ ), $v = \frac{1}{\nu_i}\frac{\mathrm{d}[X_i]}{\mathrm{d}t}$ .
Signe : sens de variation ; extremum là où la dérivée s'annule en changeant de signe.
Sur un relevé : pente lue sur deux points éloignés de la tangente, pas de la courbe.

À retenir Fonction composée

La dérivée de $f(x(t))$ par rapport au temps est $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\,\dot x$ : ne jamais oublier la dérivée intérieure.
Dérivées temporelles : $\cos(\omega t + \varphi)$ donne $-\omega\sin(\omega t + \varphi)$ ; $\frac{1}{2}m\dot x^2$ donne $m\dot x\ddot x$ ; $\frac{1}{2}Cu^2$ donne $Cu\dot u$ .
Réciproque : $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\mathrm{d}y/\mathrm{d}x}$ .

À retenir Différentielle et petites variations

$\mathrm{d}f = f'(x)\,\mathrm{d}x$ ; $\Delta f \simeq f'(x)\,\Delta x$ , écart du second ordre en $\Delta x$ .
Validité : $\Delta x$ petit devant l'échelle de variation de $f$ ; on garde le premier terme non nul.
$(1 + \varepsilon)^{\alpha} \simeq 1 + \alpha\varepsilon$ pour $\lvert\varepsilon\rvert \ll 1$ .
Règles : $\mathrm{d}(f_1f_2) = f_2\,\mathrm{d}f_1 + f_1\,\mathrm{d}f_2$ ; $\mathrm{d}\left(\frac{f_1}{f_2}\right)$ vaut $\frac{f_2\,\mathrm{d}f_1 - f_1\,\mathrm{d}f_2}{f_2^2}$ ; $\mathrm{d}(f^{\alpha}) = \alpha f^{\alpha-1}\,\mathrm{d}f$ .

À retenir Différentielle logarithmique

$\mathrm{d}(\ln f) = \frac{\mathrm{d}f}{f}$ .
$y = K\,x_1^{\alpha}x_2^{\beta}$ , grandeurs positives : $\frac{\mathrm{d}y}{y}$ vaut $\alpha\frac{\mathrm{d}x_1}{x_1} + \beta\frac{\mathrm{d}x_2}{x_2}$ ; les exposants sont des coefficients de sensibilité.
Gaz parfait, $n$ constant : $\frac{\mathrm{d}P}{P} + \frac{\mathrm{d}V}{V} = \frac{\mathrm{d}T}{T}$ .
Incertitudes de mesures indépendantes : somme quadratique (règle du programme, chapitre 03 d'outils), jamais somme simple.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer une dérivée physique, avec son unité et son signe

Quand l’utiliser

L'énoncé demande un débit, une intensité, une puissance, une vitesse, une vitesse de réaction, ou plus généralement « la rapidité avec laquelle » une grandeur varie.

Rappel de cours

$f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ est le taux de variation instantané ; son unité est $\frac{[f]}{[x]}$ ; son signe donne le sens de variation.

Démarche

Identifier la grandeur dérivée et la variable (souvent le temps).
Dériver avec les règles usuelles, sans oublier les dérivées intérieures.
Donner l'unité : celle de la grandeur divisée par celle de la variable.
Interpréter le signe (la grandeur augmente ou diminue) et contrôler par un cas simple.

Rédaction type

« Par définition, $i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ . Avec $q(t) = \ldots$ , on obtient $i(t) = \ldots$ , en $\text{C}\cdot\text{s}^{-1}$ , c'est-à-dire en ampères. Pour $t \in \ldots$ , $i < 0$ : la charge diminue. »

Exemple traité

(Physique) La charge d'une armature de condensateur vaut $q(t) = q_m\cos(\omega t)$ , avec $q_m = 2{,}0\ \mu\text{C}$ et $\omega = 1{,}0\times10^3\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . L'intensité qui arrive sur cette armature est $i = \dot q = -q_m\omega\sin(\omega t)$ ; son amplitude vaut $q_m\omega = 2{,}0\ \text{mA}$ . Sur le premier quart de période, $i < 0$ : l'armature se décharge, ce qui est cohérent avec $q$ qui décroît depuis $q_m$ .

Erreurs fréquentes

Donner une dérivée sans unité, ou avec l'unité de la grandeur elle-même.
Oublier la dérivée intérieure $\omega$ .
Ne pas commenter le signe, alors qu'il porte le sens physique.

Pour s’entraîner

Exercices 1, 21 et 30.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Unité et signe de dérivées (physique, chimie, SII) ★☆☆

Pour chaque grandeur, écrire la dérivée qui a un sens physique, donner son unité et son signe.

Un condensateur se charge : $q(t) = q_\infty\big(1 - \mathrm{e}^{-t/t_c}\big)$ , avec $q_\infty = 2{,}0\times10^{-4}\ \text{C}$ et $t_c = 1{,}0\ \text{ms}$ . Exprimer l'intensité $i$ qui le traverse et calculer $i(0)$ .
Une batterie perd $3{,}6\ \text{kJ}$ d'énergie en $60\ \text{s}$ , à un rythme constant. Que vaut la dérivée $\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$ de son énergie ?
(Chimie) Dans la réaction $\mathrm{A \to B}$ d'ordre 1, $[\mathrm{A}](t) = [\mathrm{A}]_0\,\mathrm{e}^{-kt}$ . Exprimer la vitesse volumique $v = -\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}$ et donner l'unité de $k$ .
(SII) L'arbre d'un moteur tourne à $N = 1\,500$ tours par minute. Calculer sa vitesse angulaire $\omega = \dot\theta$ .
Dans un mur, la température $T(x)$ décroît de l'intérieur ( $x = 0$ ) vers l'extérieur. Quelle est l'unité de $\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}$ , et son signe ?

Indications

Méthode 1 : l'unité d'une dérivée est l'unité de la grandeur divisée par celle de la variable ; le signe dit si la grandeur croît.

Correction détaillée

i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \dfrac{q_\infty}{t_c}\,\mathrm{e}^{-t/t_c},

en coulombs par seconde, c'est-à-dire en ampères. Elle est positive : la charge augmente.

i(0) = \dfrac{q_\infty}{t_c} = \dfrac{2{,}0\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-3}} = 0{,}20\ \text{A},

le courant est maximal au début, puis s'annule quand le condensateur est chargé.

\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \dfrac{-3{,}6\times10^3}{60} = -60\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1} = -60\ \text{W}.

C'est la puissance reçue par la batterie ; elle est négative parce que la batterie fournit de l'énergie.

3. $v = k[\mathrm{A}]_0\,\mathrm{e}^{-kt} = k[\mathrm{A}]$ , en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$ , positive. Comme $[\mathrm{A}]$ est en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ , $k$ est en $\text{s}^{-1}$ .

4. Un tour vaut $2\pi$ radians et une minute $60$ secondes :

\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,500}{60} \approx 157\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}.

5. $\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}$ s'exprime en $\text{K}\cdot\text{m}^{-1}$ ; elle est négative, puisque $T$ diminue quand $x$ augmente.

Méthodes à retenir

Une dérivée a toujours une unité, $[y]/[x]$ , et son signe a un sens : c'est la première vérification de tout calcul.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 14 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 2 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Trois symboles pour trois idées
2. La dérivée, taux de variation instantané
- 2.1 Du taux moyen au taux instantané
- 2.2 Unité et signe
- 2.3 Lire une dérivée sur un relevé
3. Dérivée d'une fonction composée et dérivée temporelle
4. La différentielle d'une fonction d'une variable
- 4.1 Accroissement le long de la tangente
- 4.2 Règles de calcul
5. La différentielle logarithmique
- 5.1 Variation relative
- 5.2 Exemples
- 5.3 Différentielle et incertitudes
6. Raisonner sur un élément
- 6.1 Découper, écrire, sommer
- 6.2 Bilan sur une tranche ou sur une durée
7. Éléments géométriques simples
- 7.1 Les éléments à connaître
- 7.2 Contrôler un élément
8. Variations finies et petites variations
- 8.1 Quand remplacer $\Delta$ par $\mathrm{d}$
- 8.2 Ordres des infiniment petits et homogénéité
9. Première approche des fonctions de deux variables
- 9.1 Dérivées partielles
- 9.2 Différentielle à deux variables
10. Python : dérivée numérique
- 10.1 Deux schémas
- 10.2 Programme
- 10.3 Dériver un relevé expérimental

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Calculer une dérivée physique, avec son unité et son signe
Lire une dérivée sur un graphe ou un relevé
Dériver par rapport au temps une fonction composée
Écrire la différentielle d'une expression
Passer d'une petite variation finie à la différentielle et juger la validité
Utiliser la différentielle logarithmique pour une variation relative
Différentier une relation physique en disant ce qui reste constant
Écrire une grandeur élémentaire puis sommer
Choisir la découpe selon la symétrie
Écrire un élément de surface ou de volume et le contrôler
Contrôler l'homogénéité et l'ordre d'une relation entre infiniment petits
Faire un bilan sur une tranche ou une durée élémentaire
Calculer des dérivées partielles et la différentielle d'une fonction de deux variables
Estimer une dérivée numériquement en Python
Identifier une dérivée partielle dans une différentielle donnée

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Unité et signe de dérivées (physique, chimie, SII)
Lire un débit sur un relevé (physique)
Dérivées temporelles de grandeurs sinusoïdales et d'énergies (physique)
Angle d'un bras qui tourne (SII)
Différentielles d'expressions courantes (physique)
Plaque carrée chauffée (physique)
Bille de roulement mesurée au pied à coulisse (SII)
Période d'un pendule (physique)
Son et température (physique)
Puissance d'un moteur (SII)
Éléments de surface et de volume (physique)
Gaz parfait : dérivées partielles de $P(T, V)$ (chimie)
Dilution et pH (chimie)

Entraînement (14)

Remplissage d'un réservoir conique (physique)
Intensité dans un fil à densité de courant non uniforme (physique)
Charge d'une boule non homogène (physique)
Masse d'une pièce tronconique (SII)
Latitude de mise au point d'une lentille (physique)
Compression dans un moteur Diesel (physique)
Horloge à balancier en été (physique)
Vitesse de réaction et avancement (chimie)
Mesurer $g$ avec un pendule (physique)
Isolation d'un réservoir sphérique (SII)
Ballon qu'on gonfle (physique)
Tréfilage d'un fil à volume constant (SII)
Gaz qui chauffe et qui fuit (chimie)
Ventilateur autour de son point de fonctionnement (SII)

Approfondissement (6)

Vitesse de réaction par dérivée numérique (chimie, Python)
Énergie d'une boule construite couche par couche (physique)
Le pas idéal d'une dérivée numérique (physique, Python)
Pression dans l'océan, eau légèrement compressible (physique)
Cœur d'un petit réacteur spatial (physique)
Différentielle exacte ou non (chimie, thermodynamique)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le climat : distance au Soleil et masse de l'atmosphère
CNC 2016, filière MP, Physique I (questions I.3.2.3 à I.3.2.6, III.2, III.3.1, III.3.3, III.3.4, III.4.3 à III.4.5)
Le fusible
CNC 2018, filière MP, Physique I (questions II.4.1 à II.4.6)

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