Cinétique : torseurs cinétique et dynamique, énergie cinétique et inertie équivalente, cours et exercices corrigés

Q: Comment calculer le moment cinétique d'un solide ?

En un point A lié au solide : vecσ (A) = barbar I(A,S) vecΩ + m overrightarrowAG wedge vec V(A ∈ S), la matrice et le vecteur rotation étant écrits dans la même base, liée au solide. Le second terme est nul si A est le centre d'inertie G, si le point A du solide a une vitesse nulle (point fixe, contact d'une roue qui roule sans glisser), ou si overrightarrowAG est colinéaire à vec V(A ∈ S). Sinon, on calcule en G puis on change de point : vecσ (A) = vecσ (G) + overrightarrowAG wedge m vec V(G).

Q: Quelle relation lie le moment dynamique et le moment cinétique ?

En tout point A : vecδ (A) = (dvecσ (A))/(dt) + fracdoverrightarrowO_0Adt wedge m vec V(G), la dérivée étant prise dans le référentiel galiléen et la vitesse étant celle du point géométrique A. La dérivée seule suffit en G, en un point fixe, ou si la vitesse du point géométrique A est colinéaire à vec V(G). On dérive le moment cinétique en dérivant aussi les vecteurs de la base mobile.

Q: Pourquoi un rotor mal équilibré fait-il vibrer ses paliers ?

Pour un solide qui tourne de θ autour d'un axe fixe (O,vec z) avec des produits d'inertie D et E non nuls, le moment dynamique vaut vecδ (O) = (-Eddotθ + Ddotθ^2) vec x_1 - (Dddotθ + Edotθ^2) vec y_1 + Cddotθ vec z. Même à vitesse constante, il reste un moment proportionnel à dotθ^2 qui tourne avec le solide : ce sont les paliers qui le fournissent. Il disparaît si l'axe est principal d'inertie.

Q: Comment calculer l'énergie cinétique d'un solide ?

Au centre d'inertie : E_c = frac 12 m V(G)^2 + frac 12 vecΩ · barbar I(G,S) vecΩ. Pour une rotation autour d'un axe fixe : E_c = frac 12 J ω^2, avec J le moment d'inertie autour de l'axe de rotation, obtenu par Huygens si l'axe ne passe pas par G. Pour un ensemble, on additionne les énergies des solides, sans oublier les termes croisés entre solides en mouvement relatif.

Q: Qu'est-ce que l'inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur ?

C'est le nombre J_(eq) tel que l'énergie cinétique de toute la chaîne s'écrive frac 12 J_(eq) ω_m^2. On écrit d'abord toutes les vitesses en fonction de ω_m par les lois entrée-sortie, puis l'énergie de chaque solide. Pour un réducteur de rapport k = ω_s/ω_e, l'inertie de sortie est multipliée par k^2 ; une masse M entraînée par un tambour de rayon R apporte M k^2R^2. L'inertie équivalente n'est pas la somme des inerties.

Q: Comment calculer la masse équivalente d'une vis à billes ?

Avec le pas réduit q = p/(2π), en mètres par radian, la vitesse de l'écrou vaut V = q ω. Ramenée à l'écrou, la vis d'inertie J_v et la charge de masse M donnent M_(eq) = M + J_v/q^2 ; ramenées à la vis, J_(eq) = J_v + M q^2. Prendre le pas en mètres par tour à la place du pas réduit fausse le terme de la charge d'un facteur (2π)^2 ≈ 39,5.

MP
PSI
PT
TSI 2
Offert à l'essai

Torseur cinétique (résultante et moment cinétique), torseur dynamique et relation entre moments cinétique et dynamique, calcul au centre d'inertie ou en un point fixe à l'aide de la matrice d'inertie, énergie cinétique d'un solide et d'un ensemble de solides, inertie et masse équivalentes ramenées sur un axe ou une translation.

15méthodes
35exercices corrigés
10problèmes
18pièges
107figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

La cinétique décrit ce que le mouvement d'un solide emporte : le torseur cinétique, dont le moment cinétique se calcule avec la matrice d'inertie, le torseur dynamique, qui en découle par dérivation, et l'énergie cinétique. L'inertie équivalente ramène ensuite toute une chaîne de transmission, moteur, réducteur, vis ou tambour, à un seul arbre, en multipliant chaque inertie par le carré de son rapport de vitesse. Ce chapitre de deuxième année en sciences industrielles concerne la MP et la PSI au Maroc et la MP, la PSI, la PT et la TSI en France ; les sujets du CNC, du CCINP, de Mines-Ponts et de la Banque PT demandent chaque année un moment cinétique, une énergie d'ensemble ou une inertie équivalente. On y suit la démarche complète : choix du point, dérivation dans une base mobile, mouvements élémentaires, énergie solide par solide, lois entrée-sortie puis inertie équivalente, avec des exercices corrigés tirés des concours.

Ce que tu sauras faire

Pour savoir quel couple il faut pour lancer un bol de décanteur, quelle énergie il faut dissiper pour arrêter un train, ou quels efforts tournants subissent les paliers d'un rotor mal monté, il faut décrire ce que le mouvement d'un solide « emporte ». C'est l'objet de la cinétique : elle associe à un mouvement connu trois objets, le torseur cinétique, le torseur dynamique et l'énergie cinétique, calculés à partir de la masse, du centre d'inertie et de la matrice d'inertie du chapitre « Géométrie des masses ». Le principe fondamental de la dynamique et le théorème de l'énergie cinétique, aux deux chapitres suivants, s'en servent à chaque ligne. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

écrire le torseur cinétique d'un solide ou d'un ensemble de solides, en choisissant le point de calcul ;
obtenir le moment dynamique à partir du moment cinétique, en un point fixe, au centre d'inertie ou en un point quelconque, et projeter le moment dynamique sur un axe ;
reconnaître un mouvement élémentaire avant tout calcul ;
calculer l'énergie cinétique d'un solide et d'un ensemble de solides, termes croisés compris ;
ramener toutes les inerties d'une chaîne de transmission à un seul arbre ou à une seule translation (inertie et masse équivalentes) ;
contrôler un résultat et mesurer une inertie équivalente.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Torseur cinétique et torseur dynamique

Les deux torseurs en deux colonnes : résultantes, moments, changement de point, formules en G ou en un point fixe, formules en un point quelconque.

Quantité de mouvement : $\vec p = m\,\vec V(G)$ ; résultante dynamique : $m\,\vec a(G)$ .
Moment cinétique en un point $A$ lié au solide :

\vec\sigma(A) = \bar{\bar I}(A,S)\,\vec\Omega + m\,\overrightarrow{AG} \wedge \vec V(A \in S),

matrice et $\vec\Omega$ dans la même base, liée au solide.

Changement de point : $\vec\sigma(B) = \vec\sigma(A) + \overrightarrow{BA} \wedge m\,\vec V(G)$ ; $\vec\delta(B) = \vec\delta(A) + \overrightarrow{BA} \wedge m\,\vec a(G)$ .
Relation entre les moments, pour tout point $A$ :

\vec\delta(A) = \frac{\mathrm{d}\vec\sigma(A)}{\mathrm{d}t}\Big|_{R_0} + \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_0A}}{\mathrm{d}t}\Big|_{R_0} \wedge m\,\vec V(G),

avec la vitesse du point géométrique.

Unités : $\text{kg.m.s}^{-1}$ , $\text{kg.m}^2.\text{s}^{-1}$ , N, N.m.

À retenir Les formules courtes et leurs conditions

Formule	Valable si
$\vec\sigma(A) = \bar{\bar I}(A,S)\,\vec\Omega$	$A = G$ , ou point $A$ du solide de vitesse nulle (point fixe, contact sans glissement), ou $\overrightarrow{AG}$ colinéaire à $\vec V(A \in S)$
$\vec\delta(A) = \frac{\mathrm{d}\vec\sigma(A)}{\mathrm{d}t}$ , dérivée dans $R_0$	$A = G$ , ou $A$ fixe, ou vitesse du point géométrique $A$ colinéaire à $\vec V(G)$
$\vec\sigma(G) = \vec 0$	translation
$\vec\sigma = C\dot\theta\,\vec z$ , $\vec\delta = C\ddot\theta\,\vec z$	rotation autour d'un axe fixe principal, $G$ sur l'axe
$\vec\delta(A)\cdot\vec u = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\vec\sigma(A)\cdot\vec u\big) - \vec\sigma(A)\cdot\frac{\mathrm{d}\vec u}{\mathrm{d}t}$	$A$ fixe ou $A = G$

À retenir Rotation autour d'un axe fixe, matrice pleine

Dans la base liée $(\vec x_1,\vec y_1,\vec z)$ , en un point $O$ de l'axe :

\vec\sigma(O) = -E\dot\theta\,\vec x_1 - D\dot\theta\,\vec y_1 + C\dot\theta\,\vec z

\vec\delta(O) = \big(-E\ddot\theta + D\dot\theta^2\big)\,\vec x_1 - \big(D\ddot\theta + E\dot\theta^2\big)\,\vec y_1 + C\ddot\theta\,\vec z

À vitesse constante, il reste un moment qui tourne avec le solide : il charge les paliers.

À retenir Énergie cinétique

$2E_c = \{\mathcal C\} \otimes \{\mathcal V\}$ , les deux torseurs au même point ; le résultat ne dépend pas du point.
En $G$ :

E_c = \frac12 m\,V(G)^2 + \frac12\,\vec\Omega\cdot\bar{\bar I}(G,S)\,\vec\Omega.

En un point $O$ fixe du solide : $E_c = \frac12\,\vec\Omega\cdot\bar{\bar I}(O,S)\,\vec\Omega$ .
Translation : $\frac12 mV^2$ ; rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ : $\frac12 J_\Delta\,\omega^2$ , avec $J_\Delta$ sur l'axe de rotation (Huygens si l'axe ne passe pas par $G$ ).
Cylindre plein qui roule sans glisser : $\frac34 mV^2$ .
Ensemble : somme des énergies des solides ; garder les termes croisés.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Déterminer une inertie équivalente ramenée sur un arbre

Quand l’utiliser

Quand le sujet demande « l'inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur », ou la forme $E_c = \frac12 J_{eq}\,\omega_m^2$ avant un théorème de l'énergie cinétique.

Rappel de cours

$E_c(\Sigma) = \frac12 J_{eq}\,\omega^2$ ; chaque solide apporte son inertie multipliée par le carré du rapport entre sa vitesse et $\omega$ ; une masse en translation apporte $M\,(V/\omega)^2$ . Convention : $k = \omega_s/\omega_e$ .

Démarche

Écrire les lois entrée-sortie : toutes les vitesses en fonction de $\omega$ .
Écrire l'énergie de chaque solide de la chaîne.
Remplacer les vitesses, mettre $\frac12\,\omega^2$ en facteur.
Identifier $J_{eq}$ ; compter toutes les chaînes en parallèle.
Calculer la part de chaque terme, et conclure.

Rédaction type

« Avec $\omega_2 = k_1\,\omega_m$ et $\omega_3 = k_1k_2\,\omega_m$ :

E_c(\Sigma/0) = \frac12\big(J_m + J_{p1} + k_1^2 J_{p2} + (k_1k_2)^2 J_3\big)\,\omega_m^2,

d'où $J_{eq} = J_m + J_{p1} + k_1^2 J_{p2} + (k_1k_2)^2 J_3$ , ramenée à l'arbre moteur. »

Exemple traité

Un moulin à meules d'huilerie : le moteur ( $J_m = 0{,}08\ \text{kg.m}^2$ , poulie motrice $J_{p1} = 0{,}01\ \text{kg.m}^2$ ) entraîne par une courroie ( $k_1 = 1/3$ ) la poulie réceptrice ( $J_{p2} = 0{,}09\ \text{kg.m}^2$ ), puis un réducteur ( $k_2 = 1/12$ ) fait tourner l'arbre des meules ( $J_3 = 60\ \text{kg.m}^2$ ). Valeurs choisies pour l'exemple.

J_{eq} = 0{,}08 + 0{,}01 + \tfrac19 \times 0{,}09 + \big(\tfrac{1}{36}\big)^2 \times 60 \approx 0{,}08 + 0{,}01 + 0{,}01 + 0{,}046 \approx 0{,}146\ \text{kg.m}^2 .

Les meules, 750 fois plus inertes que le moteur, ne pèsent que 32 % de l'inertie ramenée ; le moteur en pèse 55 %. Le rapport $(1/36)^2$ divise leur inertie par 1 296.

Erreurs fréquentes

Faire la somme des inerties sans les rapports (« inertie équivalente ne signifie pas inertie totale », rapport de Mines-Ponts 2024).
Oublier le rapport de réduction (rapports du CCINP 2025, filière MP, et de Centrale-Supélec 2020, filière MP), ou ne pas le mettre au carré (rapport du CCINP 2022, filière TSI).
Mettre le carré du mauvais côté : ramenée à l'entrée, l'inertie de sortie est multipliée par $k^2$ , pas divisée.
Mettre un rendement dans $J_{eq}$ sans que le sujet le demande (rapport du CCINP 2016, filière MP).
Oublier une des chaînes quand plusieurs moteurs travaillent en parallèle.

Pour s’entraîner

Exercices 7, 9, 10, 11, 13, 21, 24, 27, 28 et 32.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le réducteur à trois arbres ★☆☆

Un réducteur à deux étages comprend un arbre d'entrée 1 (roue $Z_1$ ), un arbre intermédiaire 2 (roues $Z_{2a}$ et $Z_{2b}$ ) et un arbre de sortie 3 (roue $Z_3$ ), tous en liaison pivot d'axes parallèles à $\vec x_0$ avec le bâti 0, galiléen. Chaque arbre est équilibré, de moment d'inertie $I_i$ autour de son axe. On note $k_1 = \dfrac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}$ et $k_2 = \dfrac{\omega_{3/0}}{\omega_{2/0}}$ .

Valeurs choisies pour l'exercice : $Z_1 = 20$ , $Z_{2a} = 60$ , $Z_{2b} = 18$ , $Z_3 = 72$ ; $I_1 = 2\cdot10^{-4}$ , $I_2 = 1{,}5\cdot10^{-3}$ , $I_3 = 2\cdot10^{-2}\ \text{kg.m}^2$ .

Le réducteur à deux étages : trois arbres parallèles, deux engrenages extérieurs.

Exprimer $k_1$ et $k_2$ en fonction des nombres de dents, puis les calculer.
Exprimer l'énergie cinétique de l'ensemble $\{1, 2, 3\}$ en fonction de $\omega_{1/0}$ et en déduire l'inertie équivalente $I_{eq}$ ramenée à l'arbre d'entrée. Application numérique.
Quelle part de $I_{eq}$ vient de chaque arbre ? Conclure.
Exprimer et calculer l'inertie équivalente ramenée à l'arbre de sortie.

Indications

Méthode 11. Deux temps : les lois entrée-sortie, puis l'énergie. Le signe des rapports n'a pas d'importance : ils sont au carré.

Correction détaillée

1. Engrenages extérieurs : $k_1 = -\dfrac{Z_1}{Z_{2a}} = -\dfrac13$ et $k_2 = -\dfrac{Z_{2b}}{Z_3} = -\dfrac14$ . Le rapport global vaut $k_1k_2 = \dfrac{1}{12}$ .

2. $\omega_2 = k_1\omega_1$ et $\omega_3 = k_1k_2\,\omega_1$ :

E_c = \frac12\left(I_1\omega_1^2 + I_2\omega_2^2 + I_3\omega_3^2\right) = \frac12\left(I_1 + I_2k_1^2 + I_3k_1^2k_2^2\right)\omega_1^2,\qquad I_{eq} = I_1 + I_2k_1^2 + I_3k_1^2k_2^2.

I_{eq} = 2\cdot10^{-4} + \dfrac{1{,}5\cdot10^{-3}}{9} + \dfrac{2\cdot10^{-2}}{144} = 2\cdot10^{-4} + 1{,}667\cdot10^{-4} + 1{,}389\cdot10^{-4} = 5{,}06\cdot10^{-4}\ \text{kg.m}^2 .

3. Arbre 1 : 39,6 % ; arbre 2 : 33,0 % ; arbre 3 : 27,5 %. L'arbre de sortie a une inertie cent fois plus grande que celle de l'entrée, mais il tourne douze fois moins vite : divisée par 144, elle pèse moins que l'arbre d'entrée. L'inertie équivalente n'est pas l'inertie totale (qui vaudrait $2{,}17\cdot10^{-2}\ \text{kg.m}^2$ , près de quarante-trois fois plus).

4. On divise l'énergie par $\frac12\omega_3^2$ :

I_{eq,s} = \dfrac{I_{eq}}{(k_1k_2)^2} = 144\times 5{,}06\cdot10^{-4} = 0{,}0728\ \text{kg.m}^2 .

Vue de la sortie, l'inertie de l'arbre d'entrée est multipliée par 144.

Méthodes à retenir

Chaque inertie est multipliée par le carré du rapport entre sa vitesse et la vitesse de référence (méthode 11). Côté rapide, les pièces lentes pèsent peu ; côté lent, les pièces rapides pèsent beaucoup.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 15 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 35 exercices corrigés, 10 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la cinétique
2. Rappels utiles
3. Quantité de mouvement
4. Torseur cinétique
- 4.1 Définition et changement de point
- 4.2 Calcul pratique du moment cinétique
5. Mouvements élémentaires à reconnaître
6. Ensemble de solides
7. Torseur dynamique
- 7.1 Définition
- 7.2 Relation entre moment cinétique et moment dynamique
- 7.3 Dériver le moment cinétique
- 7.4 Projeter sur une direction
8. Deux exemples types de moment dynamique
- 8.1 Un solide qui tourne autour d'un axe fixe non principal
- 8.2 Une roue qui tourne sur un axe qu'on fait tourner
9. Énergie cinétique
- 9.1 Définition et calcul
- 9.2 Ensemble de solides et termes croisés
10. Inertie équivalente et masse équivalente
- 10.1 Définition
- 10.2 Méthode en deux temps
- 10.3 Véhicules et nombre de chaînes
- 10.4 Une inertie équivalente qui dépend de la position
- 10.5 Ce que l'inertie équivalente prépare
11. Contrôler un résultat de cinétique
12. Mesurer une inertie équivalente
13. Ce qui vient ensuite
14. Sur le sujet : exercice préliminaire et document réponse

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le point et la base
Calculer un moment cinétique en G ou en un point fixe
Calculer un moment cinétique en un point lié au solide quelconque
Reconnaître un mouvement élémentaire avant tout calcul
Dériver un vecteur exprimé dans une base mobile
Calculer un moment dynamique
Projeter le moment dynamique sur une direction
Traiter un solide en rotation autour d'un axe fixe non principal
Traiter un ensemble de solides
Calculer une énergie cinétique
Déterminer une inertie équivalente ramenée sur un arbre
Déterminer une masse équivalente ramenée sur une translation
Traiter une inertie équivalente qui dépend de la position
Contrôler un résultat de cinétique et répondre sur le document réponse
Mesurer une inertie équivalente et comparer au modèle

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

L'énergie d'un disque en pivot
Trois véhicules en translation
Les mouvements élémentaires d'un élévateur à parallélogramme
Le moment cinétique du bras et du poignet d'un manipulateur
Le torseur cinétique du bras d'un robot de traite
L'énergie d'une lisse de barrière autour d'un axe qui ne passe pas par G
Le réducteur à trois arbres
La vis à billes d'une porte coulissante : masse et inertie équivalentes
Le taxiage électrique d'un avion : inertie ramenée par un train d'engrenages
Une courroie et ses deux poulies
Le robot de chantier : énergie et inertie ramenée au moteur
Le chariot élévateur : masse équivalente des roues directrices
Le robot à deux roues : inertie ramenée au moteur

Entraînement (17)

Un solide à matrice pleine sur un arbre
Le régulateur centrifuge d'une direction assistée
La tête d'impression 3D de maisons en béton
L'hélice d'un avion en virage : tripale et bipale
La roue d'une voiture et son balourd
L'éolienne bipale et son balourd
Le rugosimètre et sa tête optique
L'arceau de radiologie : énergies et inertie ramenée au moteur
La pompe péristaltique médicale
Le véhicule autoguidé de livraison de médicaments
Le panneau d'affichage déroulant
Le déambulateur : parallélogramme et deux roues motrices
La machine à gravure : masse équivalente avec vis à billes
L'enrouleuse de fil : poulies et moufle
Le motoréducteur d'un robot à quatre roues
Le convoyeur de bouteilles : inertie ramenée au moteur
Le banc d'essai d'une transmission d'hélicoptère

Approfondissement (5)

Le déploiement des bras d'un satellite
Un volant d'inertie qui stocke l'énergie du freinage
Mesurer l'inertie d'une roue de vélo avec une bouteille d'eau
Le robot mobile : inertie équivalente calculée et mesurée
Le bras élévateur d'un chariot : une inertie qui dépend de la position

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le mélangeur gyroscopique
CNC 2019, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie II « Etude cinématique et dynamique de l'unité de rotation », questions 12 à 16, 18 et 19
La plate-forme à roues obliques d'un robot d'impression
CNC 2026, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie III « Etude des exigences 1.2 et 1.3 », sous-partie III-1 « Etude introductive », question 15 a à c, et partie V « Etude de l'exigence 1.4.3 », sous-partie V-1 « Etude introductive », question 24 a à c
Le solide porte-outil et l'axe à vis d'un centre d'usinage
CNC 2022, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D « Etude du centre UGV », sous-partie D.1 « Etude cinétique et dynamique », questions 28 et 29, et sous-partie D.2 « Etude énergétique », question 32
Le pont de levage et le positionneur de soudage
CNC 2025, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie C « Comportement dynamique du système de levage », question 10 a, et partie D « Etude du positionneur », question 11 b à e
Le bras d'un robot de neurochirurgie
CNC 2016, filière MP, Sciences industrielles, partie I « Etude de l'axe 1 », questions 5 a à c et 6 a, et partie II « Etude des axes 2, 3 et 4 », question 7 a et b
Le vérin et le bras d'orientation d'un chargeur de bobines
CNC 2015, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie B « Validation du vérin de relevage », sous-partie B-2 « Chaînes de solides et étude énergétique », questions B.2.5 et B.2.6, et partie D « Dimensionnement du moteur d'orientation », sous-partie D-2 « Détermination du couple moteur », questions D.2.1 et D.2.2
L'inverseur de poussée d'un moteur d'avion
Mines-Ponts 2024, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie 4 « Modélisation du comportement du système en aval des flex-shafts », sous-partie 4.2 « Modélisation du couple sur le flex-shaft dû à l'action de la contre-poussée », question 18
Le robot de télé-échographie
CCINP 2021, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie III « Dimensionnement du moteur d'axe 1 », questions 26 et 27
Le bras d'une cellule d'emboxage
Banque PT 2020, filière PT, Sciences industrielles A, partie C « Élaboration d'un modèle de comportement dynamique lors du suivi de trajectoire », sous-partie C.2 « Étude du système articulé », questions 18, 19, 20 et 22
Le réducteur et le lanceur d'une turbine à gaz
CCINP 2022, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie V « Démarrage de la turbine à gaz », sous-partie V.2 « Inertie équivalente du système », questions 18 à 20

Questions fréquentes

Comment calculer le moment cinétique d'un solide ?

En un point $A$ lié au solide : $\vec\sigma(A) = \bar{\bar I}(A,S)\,\vec\Omega + m\,\overrightarrow{AG} \wedge \vec V(A \in S)$ , la matrice et le vecteur rotation étant écrits dans la même base, liée au solide. Le second terme est nul si $A$ est le centre d'inertie $G$ , si le point $A$ du solide a une vitesse nulle (point fixe, contact d'une roue qui roule sans glisser), ou si $\overrightarrow{AG}$ est colinéaire à $\vec V(A \in S)$ . Sinon, on calcule en $G$ puis on change de point : $\vec\sigma(A) = \vec\sigma(G) + \overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec V(G)$ .

Quelle relation lie le moment dynamique et le moment cinétique ?

En tout point $A$ : $\vec\delta(A) = \frac{\mathrm{d}\vec\sigma(A)}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_0A}}{\mathrm{d}t} \wedge m\,\vec V(G)$ , la dérivée étant prise dans le référentiel galiléen et la vitesse étant celle du point géométrique $A$ . La dérivée seule suffit en $G$ , en un point fixe, ou si la vitesse du point géométrique $A$ est colinéaire à $\vec V(G)$ . On dérive le moment cinétique en dérivant aussi les vecteurs de la base mobile.

Pourquoi un rotor mal équilibré fait-il vibrer ses paliers ?

Pour un solide qui tourne de $\theta$ autour d'un axe fixe $(O,\vec z)$ avec des produits d'inertie $D$ et $E$ non nuls, le moment dynamique vaut $\vec\delta(O) = (-E\ddot\theta + D\dot\theta^2)\,\vec x_1 - (D\ddot\theta + E\dot\theta^2)\,\vec y_1 + C\ddot\theta\,\vec z$ . Même à vitesse constante, il reste un moment proportionnel à $\dot\theta^2$ qui tourne avec le solide : ce sont les paliers qui le fournissent. Il disparaît si l'axe est principal d'inertie.

Comment calculer l'énergie cinétique d'un solide ?

Au centre d'inertie : $E_c = \frac12 m\,V(G)^2 + \frac12\,\vec\Omega \cdot \bar{\bar I}(G,S)\,\vec\Omega$ . Pour une rotation autour d'un axe fixe : $E_c = \frac12 J\,\omega^2$ , avec $J$ le moment d'inertie autour de l'axe de rotation, obtenu par Huygens si l'axe ne passe pas par $G$ . Pour un ensemble, on additionne les énergies des solides, sans oublier les termes croisés entre solides en mouvement relatif.

Qu'est-ce que l'inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur ?

C'est le nombre $J_{eq}$ tel que l'énergie cinétique de toute la chaîne s'écrive $\frac12 J_{eq}\,\omega_m^2$ . On écrit d'abord toutes les vitesses en fonction de $\omega_m$ par les lois entrée-sortie, puis l'énergie de chaque solide. Pour un réducteur de rapport $k = \omega_s/\omega_e$ , l'inertie de sortie est multipliée par $k^2$ ; une masse $M$ entraînée par un tambour de rayon $R$ apporte $M\,k^2R^2$ . L'inertie équivalente n'est pas la somme des inerties.

Comment calculer la masse équivalente d'une vis à billes ?

Avec le pas réduit $q = p/(2\pi)$ , en mètres par radian, la vitesse de l'écrou vaut $V = q\,\omega$ . Ramenée à l'écrou, la vis d'inertie $J_v$ et la charge de masse $M$ donnent $M_{eq} = M + J_v/q^2$ ; ramenées à la vis, $J_{eq} = J_v + M\,q^2$ . Prendre le pas en mètres par tour à la place du pas réduit fausse le terme de la charge d'un facteur $(2\pi)^2 \approx 39{,}5$ .

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