Dynamique des systèmes de solides : principe fondamental, stratégie d'isolement, cours et exercices corrigés

Q: Que dit le principe fondamental de la dynamique ?

Dans un référentiel galiléen, en SI celui du sol, le torseur des actions mécaniques extérieures à un ensemble E est égal à son torseur dynamique : \mathcal T(bar E → E)\ = \mathcal D(E/R_0)\, les deux torseurs étant écrits au même point. Pour un ensemble de solides, on calcule le torseur dynamique de chaque solide, on le transporte au même point, puis on fait la somme. On en tire le théorème de la résultante dynamique, vec R(bar E → E) = Σ_i m_i vec a(G_i), et le théorème du moment dynamique, vec M_A(bar E → E) = Σ_i vecδ (A,S_i).

Q: Comment choisir ce qu'on isole ?

On trace d'abord le graphe de structure : solides, liaisons, pesanteur et actionneurs. Dans une chaîne ouverte, pour l'action ou le couple d'une liaison, on isole tout ce qui est après cette liaison en partant du bâti, de sorte que la frontière ne coupe qu'elle ; on n'isole jamais le bâti. Dans une chaîne fermée, on commence par les solides de masse négligée soumis à deux actions, comme un vérin ou une biellette, qui transmettent un effort porté par la droite qui joint leurs deux articulations.

Q: Quelle équation écrire pour ne pas faire apparaître les inconnues d'une liaison ?

On utilise les zéros de la liaison coupée par la frontière d'isolement. Pour une liaison pivot d'axe (A,vec z), on écrit le théorème du moment dynamique en A en projection sur vec z, ce qui élimine ses cinq inconnues ; pour une glissière de direction vec x, le théorème de la résultante dynamique en projection sur vec x ; pour une liaison sphérique de centre A, le théorème du moment dynamique en A. Sur la copie, on écrit toujours l'ensemble isolé, le théorème, le point, l'axe et le référentiel.

Q: Comment trouver le couple d'un moteur quand le mouvement est imposé ?

Les accélérations sont connues par la loi de mouvement imposée. On isole l'ensemble dont la frontière coupe la liaison où agit le moteur, et l'on écrit l'équation qui élimine les inconnues de cette liaison. Pour un solide qui tourne autour d'un axe fixe, le théorème du moment dynamique sur l'axe donne C_m - C_r = J ddotθ plus le moment du poids s'il existe, avec J le moment d'inertie sur l'axe. On dimensionne sur la phase la plus défavorable, en général l'accélération au démarrage, puis on compare au couple disponible.

Q: Que subissent les paliers d'un rotor dont le centre d'inertie n'est pas sur l'axe ?

Le principe fondamental appliqué au rotor donne une seule équation sans inconnue de liaison, l'équation de mouvement C_m = C ddotθ sur l'axe ; les cinq autres donnent les actions des paliers. Si le centre d'inertie est à la distance a de l'axe, la résultante dynamique contient le terme m a dotθ^2, constant dans la base liée au rotor : vu du bâti, c'est un effort qui tourne avec lui et qui croît comme le carré de la vitesse. Les produits d'inertie qui contiennent l'axe donnent de même un moment tournant. Ces efforts disparaissent si le centre d'inertie est sur l'axe et si l'axe est principal d'inertie.

Q: Comment vérifier qu'un solide ne glisse pas et ne bascule pas ?

On calcule d'abord les actions de contact en supposant le contact maintenu, sans glissement. Il n'y a pas de glissement tant que l'effort tangentiel vérifie |T| ≤ f N, ni de décollement tant que l'effort normal reste positif ou nul. Le basculement commence quand l'action normale de l'appui situé de l'autre côté de l'arête de basculement s'annule. Pour un bloc posé sur un plateau qui accélère de a, il faut a ≤ f g pour ne pas glisser et a ≤ g d/h pour ne pas basculer ; la plus petite limite décide de ce qui arrive en premier.

MP
PSI
PT
TSI 2
Offert à l'essai

Principe fondamental de la dynamique pour un solide et un ensemble de solides, référentiel galiléen, théorèmes de la résultante et du moment dynamique, stratégie d'isolement et choix des équations utiles, loi de mouvement et actions dans les liaisons, équilibrage statique et dynamique d'un rotor.

18méthodes
38exercices corrigés
10problèmes
18pièges
132figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Le principe fondamental de la dynamique relie, dans un référentiel galiléen, les actions extérieures à un ensemble de solides à son torseur dynamique : il donne le théorème de la résultante dynamique et le théorème du moment dynamique. Tout l'art est dans l'isolement : tracer le graphe de structure, choisir ce qu'on isole, puis l'équation qui donne le couple moteur sans les inconnues des liaisons, avant de calculer les actions dans les liaisons, une équation de mouvement ou une position d'équilibre. Ce chapitre de deuxième année en sciences industrielles concerne la MP et la PSI au Maroc et la MP, la PSI, la PT et la TSI en France ; les sujets du CNC, du CCINP, de Mines-Ponts et de la Banque PT demandent chaque année un couple moteur, une démarche d'isolement ou une condition de basculement. On y suit la démarche complète, du référentiel galiléen au retour à l'exigence du cahier des charges, avec des exercices corrigés tirés des concours.

Ce que tu sauras faire

Quel couple faut-il pour lancer le bol d'un décanteur en quelques secondes, quel effort supporte la tige d'un vérin qui soulève une charge en accélérant, que subissent les paliers d'un rotor dont la masse est mal répartie ? Ces questions demandent les actions mécaniques qui produisent un mouvement, et non plus seulement celles qui maintiennent un équilibre. C'est l'objet de la dynamique : le principe fondamental relie les actions extérieures au torseur dynamique calculé au chapitre « Cinétique ». À la fin du chapitre, tu dois savoir :

écrire le principe fondamental de la dynamique pour un solide ou un ensemble de solides, dans un référentiel galiléen ;
tracer le graphe de structure d'un mécanisme, compter équations et inconnues, et choisir l'isolement, le théorème, le point et l'axe qui donnent l'inconnue cherchée sans les autres ;
trouver un couple ou un effort moteur quand le mouvement est imposé, puis les actions dans les liaisons ;
établir une équation de mouvement quand les efforts sont connus, et trouver une position d'équilibre ;
vérifier qu'un contact tient (pas de glissement, pas de décollement, pas de basculement) ;
écrire les actions des paliers d'un rotor et reconnaître les efforts qui tournent avec lui.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Le principe fondamental de la dynamique

Dans un référentiel $R_0$ galiléen (le sol, supposé galiléen), pour tout ensemble $E$ :

\{\mathcal T(\bar E \to E)\} = \{\mathcal D(E/R_0)\} = \sum_i \{\mathcal D(S_i/R_0)\},

tous les torseurs écrits au même point.

Théorème de la résultante dynamique : $\vec R(\bar E \to E) = \sum_i m_i\,\vec a(G_i/R_0)$ .
Théorème du moment dynamique, en un point $A$ quelconque : $\vec M_A(\bar E \to E) = \sum_i \vec\delta(A,S_i/R_0)$ .
En $G$ ou en un point fixe : $\vec\delta = \mathrm{d}\vec\sigma/\mathrm{d}t$ . Rotation autour d'un axe fixe : $\vec\delta(O)\cdot\vec z = J\,\ddot\theta$ . Translation : $\vec\delta(G) = \vec 0$ , et $\vec\delta(A) = \overrightarrow{AG} \wedge m\,\vec a(G)$ ailleurs.
Le principe fondamental de la statique en est le cas particulier où le torseur dynamique est nul ; la réciproque est fausse.
Ensemble de solides : un torseur dynamique par solide, au même point, puis la somme ; jamais de torseur « équivalent ».

À retenir La stratégie d'isolement

Référentiel galiléen dit ; graphe de structure : solides, liaisons, pesanteur, actionneurs, inconnues.
Compter : 6 équations par solide isolé (3 en plan), inconnues de liaison et motrices.
Chaîne ouverte : isoler tout l'aval de la liaison cherchée ; jamais le bâti ; une seule liaison coupée.
Chaîne fermée : d'abord les solides à deux actions (glisseur de direction connue), puis la liaison à beaucoup de zéros, puis des isolements successifs.
Choisir l'équation par les zéros de la liaison coupée :

La règle des zéros : pivot d'axe (A,\vec z), TMD en A sur \vec z ; glissière de direction \vec x, TRD sur \vec x ; sphérique de centre A, TMD en A. — La règle des zéros : pivot d'axe $(A,\vec z)$ , TMD en $A$ sur $\vec z$ ; glissière de direction $\vec x$ , TRD sur $\vec x$ ; sphérique de centre $A$ , TMD en $A$ .

Une composante non recherchée se marque d'un tiret, jamais d'un zéro.

À retenir Les deux problèmes types

Ce qui est connu	Ce qu'on cherche	Équation
le mouvement (loi imposée)	le couple ou l'effort moteur	celle qui élimine les inconnues de liaison
le mouvement	les actions dans les liaisons	les autres équations de l'isolement
les efforts	la loi de mouvement	une équation de mouvement, sans inconnue de liaison
les efforts, un paramètre constant	une position d'équilibre	équation de mouvement avec dérivées nulles

Loi en trapèze : accélération pendant $V/a$ sur $V^2/(2a)$ ; durée totale $L/V + V/a$ .
Petits mouvements : $\ddot\varepsilon = f'(\theta_e)\,\varepsilon$ , stable si $f'(\theta_e) < 0$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Choisir le théorème, le point et l'axe par les zéros

Quand l’utiliser

Une fois l'isolement choisi (compétence : analyser), pour écrire l'équation qui donne l'inconnue cherchée sans les inconnues de la liaison coupée.

Rappel de cours

Pivot d'axe $(A,\vec z)$ : TMD en $A$ sur $\vec z$ ; glissière de direction $\vec x$ : TRD sur $\vec x$ ; pivot glissant d'axe $(A,\vec z)$ : TRD ou TMD en $A$ sur $\vec z$ ; sphérique de centre $A$ : TMD en $A$ ; appui plan de normale $\vec z$ : TRD sur $\vec x$ ou $\vec y$ , TMD sur $\vec z$ .

Démarche

Écrire le torseur de la liaison coupée dans son repère privilégié, avec ses zéros.
Choisir l'équation qui correspond à un zéro : elle ne contient aucune inconnue de cette liaison.
Vérifier que les autres actions extérieures de l'équation sont connues, sauf l'inconnue cherchée.
Écrire la phrase type, puis l'équation, puis le résultat littéral et numérique.

Rédaction type

« On isole le plateau 1. On écrit le TMD en $O$ en projection sur $\vec z_0$ , dans $R_0$ supposé galiléen, pour éliminer les cinq inconnues de la liaison pivot d'axe $(O,\vec z_0)$ : $C_m - C_r = J\,\ddot\theta$ . »

Exemple traité

Le plateau tournant d'une banderoleuse de palettes, qui fait tourner la palette pendant qu'un film l'entoure : plateau et palette ont un moment d'inertie $J = 60\ \text{kg.m}^2$ sur l'axe vertical, et le centre d'inertie de l'ensemble est sur l'axe (palette centrée). Valeurs choisies pour l'exemple. On veut atteindre 12 tr/min en 2 s. On isole {plateau, palette} dans $R_0$ galiléen ; la liaison avec le bâti est une pivot d'axe $(O,\vec z_0)$ ; son zéro est le moment sur l'axe : TMD en $O$ sur $\vec z_0$ . Le poids, sur l'axe, n'y a pas de moment. L'accélération angulaire vaut $\ddot\theta = (12 \times 2\pi/60)/2$ , soit $0{,}628\ \text{rad.s}^{-2}$ , et le couple vaut $J\,\ddot\theta \approx 37{,}7$ N.m, sans aucune inconnue de liaison.

Erreurs fréquentes

Écrire le TMD en un point qui n'est pas sur l'axe de la pivot : ses inconnues de résultante y ont un moment.
Projeter le TMD sur un axe autre que celui de la liaison.
Écrire le TRD pour un couple moteur : la résultante ne contient pas les couples.

Pour s’entraîner

Exercices 1, 3, 4, 6, 9, 11, 19, 20 et 29.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le couple pour lever une lisse de barrière ★☆☆

On reprend la barrière levante de parking des chapitres « Géométrie des masses » et « Cinétique » (exercice 6 du chapitre « Cinétique »). La barrière tourne autour d'un axe horizontal fixe $(O,\vec z)$ par une liaison pivot parfaite avec son bâti. La lisse est une tige homogène de 4 m et de 6 kg qui part de l'axe ; de l'autre côté, un contrepoids de 15 kg, assimilé à une masse ponctuelle, est à 0,6 m de l'axe. Valeurs choisies, les mêmes que dans les deux chapitres précédents. Le repère $R_0(O,\vec x_0,\vec y_0,\vec z)$ du bâti est galiléen, $\vec y_0$ vertical ascendant ; $\theta = (\vec x_0,\vec x_1)$ repère la lisse, portée par $\vec x_1$ , et $\theta = 0$ correspond à la barrière fermée, horizontale. Un motoréducteur exerce sur la barrière le couple $C_m\,\vec z$ .

Résultat du chapitre « Cinétique » : le moment d'inertie de la barrière autour de $(O,\vec z)$ vaut $J = \dfrac{m_LL^2}{3} + m_cd^2 = 37{,}4\ \text{kg.m}^2$ .

La barrière : la lisse et son contrepoids tournent autour de l'axe (O,\vec z), qui sort de la feuille ; \theta repère la lisse à partir de l'horizontale. — La barrière : la lisse et son contrepoids tournent autour de l'axe $(O,\vec z)$ , qui sort de la feuille ; $\theta$ repère la lisse à partir de l'horizontale.

Que faut-il isoler, et quelle équation donne le couple moteur sans les inconnues de la pivot ?
Établir l'expression de $C_m$ en fonction de $\theta$ et $\ddot\theta$ .
Pour ouvrir, on impose $\ddot\theta = 1{,}5\ \text{rad/s}^2$ au départ (valeur choisie). Calculer le couple moteur au départ, et la part due à la dynamique.
Question ajoutée : en fin d'ouverture, la barrière est verticale et doit s'arrêter avec $\ddot\theta = -1{,}5\ \text{rad/s}^2$ . Que vaut le couple ? Comment l'interpréter ?
Question ajoutée : que vaudrait le couple au départ sans contrepoids ? Conclure sur son rôle.

Indications

Méthodes 6 et 9. Rotation autour d'un axe fixe : la projection du moment dynamique sur cet axe vaut $J\ddot\theta$ , avec le moment d'inertie sur l'axe de rotation.

Correction détaillée

1. On isole la barrière (lisse et contrepoids). Actions extérieures : la pivot d'axe $(O,\vec z)$ , le couple moteur et les deux poids. Le théorème du moment dynamique (TMD) en $O$ en projection sur $\vec z$ évite les cinq inconnues de la pivot.

2. Moment des poids en $O$ sur $\vec z$ : le centre de la lisse est à $2\,\vec x_1$ , le contrepoids à $-0{,}6\,\vec x_1$ , et $(\lambda\,\vec x_1)\wedge(-mg\,\vec y_0)\cdot\vec z = -\lambda mg\cos\theta$ . Au total :

\vec M_O(\text{pes})\cdot\vec z = -\left(6\times 2 - 15\times 0{,}6\right)g\cos\theta = -29{,}4\cos\theta\ \text{N.m}.

$O$ est fixe et l'axe aussi : $\vec z\cdot\vec\delta(O) = J\ddot\theta$ . Le TMD donne

C_m - 29{,}4\cos\theta = J\ddot\theta,\qquad C_m = 37{,}4\,\ddot\theta + 29{,}4\cos\theta\ \ (\text{N.m}).

3. Au départ, $\theta = 0$ : $C_m = 37{,}4\times 1{,}5 + 29{,}4 = 85{,}5$ N.m, dont $56{,}1$ N.m pour accélérer la barrière, soit les deux tiers. Le terme dynamique n'est pas une correction : il domine.

4. À $\theta = 90°$ , le poids n'a plus de moment et $C_m = -37{,}4\times 1{,}5 = -56{,}1$ N.m : le moteur doit freiner la barrière, en sens opposé à la rotation. Sans ce freinage, ou avec un frein trop faible, la lisse dépasserait la verticale.

5. Sans contrepoids, $J = \dfrac{6\times 4^2}{3} = 32\ \text{kg.m}^2$ et le moment du poids vaut $6\times 2\times 9{,}81 = 117{,}7$ N.m : $C_m = 32\times 1{,}5 + 117{,}7 = 165{,}7$ N.m au départ, près du double. Le contrepoids divise le couple statique par quatre au prix d'une inertie un peu plus grande : le moteur, plus petit, sert surtout à accélérer et à freiner.

Méthodes à retenir

Pour un couple moteur en mouvement imposé, on isole ce que le moteur entraîne et l'on écrit le TMD sur l'axe de la pivot (méthode 6) ; le couple est la somme d'un terme statique et d'un terme $J\ddot\theta$ , à comparer pour savoir lequel dimensionne le moteur (méthode 9).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 18 pièges corrigés, la carte mentale, 38 exercices corrigés, 10 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la dynamique
2. Référentiel galiléen
3. Actions mécaniques extérieures : rappel
4. Principe fondamental de la dynamique
5. Théorèmes généraux
6. Graphe de structure
7. Compter équations et inconnues
8. Stratégie d'isolement
- 8.1 Chaîne ouverte
- 8.2 Chaîne fermée
- 8.3 La règle des zéros
- 8.4 Problème plan et composantes non recherchées
- 8.5 Un exemple complet : le couple de lancement d'un bol de décanteur
- 8.6 Vue d'ensemble
9. Les deux problèmes types
10. Positions d'équilibre et petits mouvements
11. Limites de validité : rester en contact, ne pas glisser, ne pas basculer
12. Solide en rotation autour d'un axe fixe
- Équilibrage statique et dynamique
13. Contrôler un résultat de dynamique
14. Expériences sans achat
15. Ce qui vient ensuite
16. Sur le sujet : démarche, document réponse, rapports

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le référentiel galiléen et justifier l'hypothèse
Tracer le graphe de structure avec les actions extérieures
Compter équations et inconnues avant de calculer
Chaîne ouverte : isoler tout l'aval de la liaison
Chaîne fermée : deux glisseurs d'abord, puis isolements successifs
Choisir le théorème, le point et l'axe par les zéros
Calculer la seule composante utile du moment dynamique
Ensemble de solides : un torseur dynamique par solide, au même point
Trouver un effort ou un couple moteur quand le mouvement est imposé
Enchaîner les isolements à travers une transmission
Trouver les actions dans les liaisons
Établir une équation de mouvement et l'intégrer dans les cas simples
Trouver une position d'équilibre et linéariser autour d'elle
Vérifier une condition de non-glissement, de non-décollement ou de non-basculement
Écrire les actions des paliers d'un rotor et reconnaître les termes tournants
Répondre à une question de démarche et la présenter en tableau
Écrire les conditions d'équilibrage statique et dynamique d'un rotor
Placer deux masses d'équilibrage dans deux plans

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

L'hélicoptère qui se pose : masse réduite au contact
Le carton sur un convoyeur qui accélère : glisse-t-il ou bascule-t-il ?
Le rotor à matrice pleine : six équations et équation de mouvement
La masse au bout d'un bras sans masse : actions de la liaison
Le coulisseau sur un plateau tournant
Le couple pour lever une lisse de barrière
Une loi de vitesse en trapèze : durée, accélération et effort moteur
Le miroir orienté par un vérin : équation de mouvement
Le centre d'usinage : couple de l'axe et effort du coulisseau
Le mélangeur gyroscopique : couple du moteur d'orientation
Le bras d'orientation d'un chargeur de bobines : couple moteur
La démarche sans calcul : tableau des isolements d'un robot à trois axes
Classer des rotors, et le porte-outil d'un centre d'usinage
Une seule masselotte ne suffit pas
Le pantographe de bouteilles : torseur dynamique d'un ensemble en translation

Entraînement (17)

Le robot à deux axes : couple avec terme croisé
Le bras de transfert de tubes de sang : tableau des isolements et efforts des axes linéaires
L'axe linéaire à vis à billes : couple moteur
La pompe à excentrique : couple moteur
Le chariot de transfert de moules : les galets moteurs glissent-ils ?
Le véhicule au freinage : répartition des charges et décollement de l'arrière
Le rugosimètre : choisir l'isolement avant de calculer
Le radar météorologique : couple d'azimut à vitesse constante
Le robot à trois mobilités : compter, puis isoler
Le rotor d'une soufflante sur deux paliers : actions et termes tournants
L'embrayage centrifuge d'un scooter : adhérence et couple transmis
Le bras d'une cellule d'emboxage : couples des moteurs et démarche
Le drone à géométrie variable : un repliement sans effet sur le lacet
La roue et ses deux masselottes dans les gorges de jante
La roue d'équilibreuse : masses dans les deux plans de jante
Le vilebrequin et ses contrepoids : équilibrage statique
Le chariot élévateur en marche arrière : basculement à l'accélération

Approfondissement (6)

Le banc vibrant et son absorbeur pendulaire
Le stabilisateur gyroscopique d'un bateau
Le pendule houlomoteur : équation de mouvement et petites oscillations
Le robot de vigne en virage : vitesse limite de renversement
Le vibreur d'olivier : rotor à masse excentrée et tronc élastique
La centrifugeuse humaine : contrepoids fixes et mobiles

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le robot de chantier sur chariot : couple de déploiement et risque de basculement
CNC 2017, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie IV « ETUDE DYNAMIQUE DU ROBOT ROBY : EXIGENCE « Limitation des effets d'inertie » », questions 10 à 13
La plate-forme d'un robot d'impression : galets, couple moteur, glissement et basculement
CNC 2026, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie III « ETUDE DES EXIGENCES 1.2 ET 1.3 « Glissement et Basculement » », sous-partie III-1 « Etude introductive », question 16, et sous-partie III-2 « Etude des exigences glissement et basculement », questions 17 et 18
Le taxiage électrique d'un avion : adhérence et couple des moteurs de roue
CNC 2018, filière MP, Sciences industrielles, partie I « L'Objectif de cette partie est le dimensionnement des moteurs des deux roues motrices dans le cas d'un mouvement de translation », questions 2 à 7 (en PSI, questions 2 à 6, sans la question 5 de la MP)
Le positionneur de soudage : schéma d'analyse, démarche et efforts
CNC 2025, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D « Etude du positionneur », question 12 a à d
Le gyropode en virage sur un sol en dévers
CCINP 2020, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie II « Stabilité du Hublex sur sol incliné », sous-parties II.1 « Caractéristiques cinétiques du Hublex » et II.2 « Vérification de l'exigence de stabilité », questions 10 à 15
La tête de découpe de tissus : résultante dynamique et vibrations
CCINP 2018, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie IV « Optimisation du comportement dynamique de la tête de coupe », sous-partie IV.1 « Analyse théorique du phénomène vibratoire », questions 32 à 35
La roue d'un robot mobile : équilibrage par deux masselottes
CNC 2011, filière MP, Sciences industrielles, partie II « ETUDE INERTIELLE APPROCHEE D'UNE JANTE ET EQUILIBRAGE DYNAMIQUE », sous-partie II-2 « Equilibrage d'une roue du ROBDRIVE », questions 7 et 8
La turbine d'une centrale osmotique : conditions d'équilibrage et masselottes
X-ENS 2017, filière PSI, épreuve de Modélisation, partie F « EQUILIBRAGE DE LA TURBINE », sous-parties I « Conditions d'équilibrage de la turbine », II « Equilibrage avec une masselotte » et III « Equilibrage avec deux masselottes », questions 43 à 48
La tête de découpe de tissus : masses excentrées d'équilibrage
CCINP 2018, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie IV « Optimisation du comportement dynamique de la tête de coupe », sous-parties IV.2 « Modélisation du comportement mécanique de la tête de coupe en version améliorée » et IV.3 « Validation de l'amélioration de la tête de coupe », questions 36 à 43
Le vibrofonceur : effort des masses excentrées et mouvement de l'ensemble
CCINP 2017, filière TSI, Modélisation, partie I « Modélisation du vibrofonçage à basse fréquence », sous-parties I.1 « Effort centrifuge », I.2 « Vibrateur à deux masselottes », I.3 « Vibrateur à moment variable » et I.4 « Étude du modèle rigide », questions 1 à 16

Questions fréquentes

Que dit le principe fondamental de la dynamique ?

Dans un référentiel galiléen, en SI celui du sol, le torseur des actions mécaniques extérieures à un ensemble $E$ est égal à son torseur dynamique : $\{\mathcal T(\bar E \to E)\} = \{\mathcal D(E/R_0)\}$ , les deux torseurs étant écrits au même point. Pour un ensemble de solides, on calcule le torseur dynamique de chaque solide, on le transporte au même point, puis on fait la somme. On en tire le théorème de la résultante dynamique, $\vec R(\bar E \to E) = \sum_i m_i\,\vec a(G_i)$ , et le théorème du moment dynamique, $\vec M_A(\bar E \to E) = \sum_i \vec\delta(A,S_i)$ .

Comment choisir ce qu'on isole ?

On trace d'abord le graphe de structure : solides, liaisons, pesanteur et actionneurs. Dans une chaîne ouverte, pour l'action ou le couple d'une liaison, on isole tout ce qui est après cette liaison en partant du bâti, de sorte que la frontière ne coupe qu'elle ; on n'isole jamais le bâti. Dans une chaîne fermée, on commence par les solides de masse négligée soumis à deux actions, comme un vérin ou une biellette, qui transmettent un effort porté par la droite qui joint leurs deux articulations.

Quelle équation écrire pour ne pas faire apparaître les inconnues d'une liaison ?

On utilise les zéros de la liaison coupée par la frontière d'isolement. Pour une liaison pivot d'axe $(A,\vec z)$ , on écrit le théorème du moment dynamique en $A$ en projection sur $\vec z$ , ce qui élimine ses cinq inconnues ; pour une glissière de direction $\vec x$ , le théorème de la résultante dynamique en projection sur $\vec x$ ; pour une liaison sphérique de centre $A$ , le théorème du moment dynamique en $A$ . Sur la copie, on écrit toujours l'ensemble isolé, le théorème, le point, l'axe et le référentiel.

Comment trouver le couple d'un moteur quand le mouvement est imposé ?

Les accélérations sont connues par la loi de mouvement imposée. On isole l'ensemble dont la frontière coupe la liaison où agit le moteur, et l'on écrit l'équation qui élimine les inconnues de cette liaison. Pour un solide qui tourne autour d'un axe fixe, le théorème du moment dynamique sur l'axe donne $C_m - C_r = J\,\ddot\theta$ plus le moment du poids s'il existe, avec $J$ le moment d'inertie sur l'axe. On dimensionne sur la phase la plus défavorable, en général l'accélération au démarrage, puis on compare au couple disponible.

Que subissent les paliers d'un rotor dont le centre d'inertie n'est pas sur l'axe ?

Le principe fondamental appliqué au rotor donne une seule équation sans inconnue de liaison, l'équation de mouvement $C_m = C\,\ddot\theta$ sur l'axe ; les cinq autres donnent les actions des paliers. Si le centre d'inertie est à la distance $a$ de l'axe, la résultante dynamique contient le terme $m\,a\,\dot\theta^2$ , constant dans la base liée au rotor : vu du bâti, c'est un effort qui tourne avec lui et qui croît comme le carré de la vitesse. Les produits d'inertie qui contiennent l'axe donnent de même un moment tournant. Ces efforts disparaissent si le centre d'inertie est sur l'axe et si l'axe est principal d'inertie.

Comment vérifier qu'un solide ne glisse pas et ne bascule pas ?

On calcule d'abord les actions de contact en supposant le contact maintenu, sans glissement. Il n'y a pas de glissement tant que l'effort tangentiel vérifie $|T| \le f\,N$ , ni de décollement tant que l'effort normal reste positif ou nul. Le basculement commence quand l'action normale de l'appui situé de l'autre côté de l'arête de basculement s'annule. Pour un bloc posé sur un plateau qui accélère de $a$ , il faut $a \le f\,g$ pour ne pas glisser et $a \le g\,d/h$ pour ne pas basculer ; la plus petite limite décide de ce qui arrive en premier.

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