Énergétique : puissances, théorème de l'énergie cinétique, rendement : cours, méthodes et exercices corrigés

Puissance d'une action mécanique extérieure et des inter-efforts, puissance dissipée dans les liaisons, théorème de l'énergie cinétique pour un solide et un ensemble de solides, loi de mouvement par l'approche énergétique, rendement et pertes, sens du flux de puissance et puissance électrique d'une chaîne.

17méthodes
36exercices corrigés
9problèmes
22pièges
128figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Combien d'énergie faut-il pour lancer le bol d'un décanteur, où part cette énergie quand on le freine, que coûte chaque lancement, et quel couple le moteur d'un palan doit-il fournir à la montée et à la descente ? Ces questions ne demandent pas les actions dans les liaisons, seulement le bilan des échanges d'énergie. L'approche énergétique y répond en une équation : le théorème de l'énergie cinétique relie la dérivée de l'énergie cinétique, calculée au chapitre « Cinétique », aux puissances des actions mécaniques. Elle explique aussi les pertes et le rendement d'une transmission. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

calculer la puissance d'une action mécanique extérieure à un solide ou à un ensemble de solides, et donner son signe ;
calculer la puissance des actions mutuelles entre deux solides (inter-efforts), nulle pour une liaison parfaite, négative pour un frottement ;
écrire un bilan des puissances justifié, puis appliquer le théorème de l'énergie cinétique à un solide ou à un ensemble de solides ;
en tirer une loi de mouvement quand les efforts sont connus, ou un couple moteur quand le mouvement est imposé ;
choisir entre le théorème de l'énergie cinétique et le principe fondamental de la dynamique, ou les combiner ;
écrire un bilan de puissances en régime permanent avec un rendement, et calculer le rendement d'une chaîne ;
repérer le sens du flux de puissance avant d'écrire les pertes, en particulier à la descente d'une charge et au freinage.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Les puissances

Puissance d'une action extérieure à un solide $S$ , dans son mouvement par rapport à $R$ : comoment des deux torseurs, écrits au même point $A$ (n'importe lequel) :
$P(\bar S \to S/R) = \vec R\cdot\vec V(A \in S/R) + \vec M_A\cdot\vec\Omega(S/R) .$
Cas usuels : force $\vec F\cdot\vec V(A)$ (glisseur en $A$ seulement) ; couple $C\,\omega$ ; poids $-m g\,\dot z_G$ ( $\vec z$ vers le haut) ; ressort $-k\,x\,\dot x$ .
La puissance dépend du repère : pour le théorème de l'énergie cinétique, mouvement par rapport au référentiel galiléen.
Puissance des actions mutuelles : $P(1 \leftrightarrow 2) = \{\mathcal T(1 \to 2)\}\otimes\{\mathcal V(2/1)\}$ , indépendante du repère.
Nulle sans mouvement relatif et pour une liaison parfaite ; négative pour un frottement ; de signe quelconque pour un moteur ou un ressort intérieurs.
Puissance intérieure : $P_{int}(E) = \sum_{i < j} P(i \leftrightarrow j)$ , chaque paire une seule fois.
Stator hors de l'ensemble isolé : puissance du moteur extérieure ; stator dedans : intérieure.

À retenir Les puissances perdues

Phénomène	Puissance des actions mutuelles
glissement, coefficient $f$	$-f\,N\,\lvert v_g\rvert$
frottement visqueux	$-\mu\,\omega_{21}^2$
résistance au roulement	$-\delta\,N\,\lvert\omega_r\rvert$
roulement sans glissement, sans résistance	$0$
liaison parfaite	$0$

À retenir Le théorème de l'énergie cinétique

Dans $R_0$ galiléen, pour un ensemble $E$ :
$\frac{\mathrm{d}E_c(E/R_0)}{\mathrm{d}t} = P(\bar E \to E/R_0) + P_{int}(E) .$
Forme intégrée : $E_c(t_2) - E_c(t_1) = W_{ext} + W_{int}$ .
Une seule équation scalaire, conséquence du principe fondamental : jamais d'information nouvelle, jamais une action de liaison.
On isole tous les solides en mouvement, jamais le bâti ; on dit le référentiel.
Énergie potentielle (outil, non exigible) : $P = -\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}t$ , avec $E_p = m g z_G$ ou $\frac12 k x^2$ .

À retenir La loi de mouvement d'une chaîne à un paramètre

$J_{eq}\,\dot\omega_m = C_m - C_{r,eq}$ , ou $M_{eq}\,\dot v = F - F_{r,eq}$ .
Inertie variable : on ajoute le terme $\frac12\,\frac{\mathrm{d}J_{eq}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot\theta^2$ au membre de gauche, $J_{eq}(\theta)\,\ddot\theta$ .
Mouvement imposé : $C_m = J_{eq}\,\dot\omega_m + C_{r,eq}$ ; puissance $C_m\,\omega_m$ , maximale en fin d'accélération pour un trapèze ; énergie d'un cycle : aire sous $P(t)$ .
Résolution : cas élémentaires à la main ; sinon logiciel (Maroc) ; en France, résolution analytique non exigible, résolution numérique au chapitre de simulation pour les classes qui l'ont.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Choisir le système isolé et dire le référentiel galiléen

Quand l’utiliser

Au début de toute application du théorème de l'énergie cinétique (compétence : modéliser), dès que le mécanisme a plus d'un solide.

Rappel de cours

Le théorème s'écrit dans un référentiel galiléen, pour un solide ou un ensemble de solides :

\frac{\mathrm{d}E_c(E/R_0)}{\mathrm{d}t} = P(\bar E \to E/R_0) + P_{int}(E).

Il ne donne qu'une équation ; il est fait pour un mécanisme dont le mouvement ne dépend que d'un paramètre.

Démarche

Nommer le référentiel $R_0$ lié au sol, supposé galiléen.
Isoler tous les solides en mouvement, du rotor du moteur à la charge, jamais le bâti : les liaisons entre eux deviennent intérieures et souvent parfaites, donc de puissance nulle.
Décider où est le stator du moteur : sur le bâti, hors de l'ensemble (le couple moteur est une action extérieure), ou dedans (action intérieure).
Vérifier que le mouvement de l'ensemble ne dépend que d'un paramètre ; sinon, prévoir une équation du principe fondamental en plus (méthode 14).

Rédaction type

« On isole l'ensemble $E$ = {rotor, réducteur, rouleaux, bande, voyageurs}, dans le référentiel $R_0$ lié au sol, supposé galiléen. Le stator du moteur est fixé au bâti : le couple moteur est une action extérieure à $E$ . Le mouvement de $E$ ne dépend que de la vitesse de la bande. En régime établi chargé, la puissance utile vaut 975 W, sous les 1,5 kW prévus par le cahier des charges : l'exigence est tenue si le rendement de la transmission dépasse $975/1\,500 = 0{,}65$ . »

Exemple traité

Un trottoir roulant d'aéroport transporte des voyageurs sur une bande sans fin, entraînée par un motoréducteur via un rouleau de tête ; la bande s'appuie sur des rouleaux porteurs. On isole {rotor, réducteur, rouleaux, bande, voyageurs}, dans le référentiel du sol : les liaisons entre ces pièces sont intérieures (engrènements, contact bande-rouleaux), celles avec le bâti sont extérieures, comme le couple du stator sur le rotor. Le mouvement ne dépend que de la vitesse $v$ de la bande. En régime établi, chargé de 30 voyageurs, le trottoir doit vaincre un effort résistant global de 1 500 N à $v = 0{,}65$ m/s (valeurs choisies pour l'exemple) : le théorème, avec $\mathrm{d}E_c/\mathrm{d}t = 0$ , donne une puissance utile de $1\,500 \times 0{,}65 = 975$ W, que le moteur devra fournir en plus de ses propres pertes ; le cahier des charges prévoit un moteur de 1,5 kW.

Erreurs fréquentes

Isoler le bâti, ou un ensemble qui contient le bâti : ses liaisons avec le sol n'ont plus de sens.
Isoler une seule pièce de la chaîne : les actions des pièces voisines, inconnues, apparaissent dans les puissances extérieures.
Ne pas dire le référentiel, ni l'ensemble isolé : le rapport du concours CCINP 2019 (filière PSI) note que « très peu énoncent ce théorème ».

Pour s’entraîner

Exercices 3, 4 et 19.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Monter un escalier : énergie et puissance ★☆☆

Deux personnes de 70 kg montent quatre étages, soit 12 m de dénivelé. La première met 20 s, la seconde 25 s. On prend $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ et l'on suppose la montée à vitesse moyenne constante.

Calculer l'énergie qu'il faut donner à chaque personne pour l'élever de 12 m. L'exprimer en joules puis en kilowattheures.
Calculer la puissance moyenne développée par chacune. Un tableau d'ordres de grandeur donne « 410 W » pour la première : d'où vient l'écart ?
On isole une personne, de vitesse constante. Que vaut la puissance de son poids ? Que vaut, d'après le théorème de l'énergie cinétique, la puissance développée par ses muscles ? Est-ce une puissance extérieure ou intérieure ?
Comparer à quelques ordres de grandeur : un adulte peut tenir environ 100 W pendant longtemps, et 600 W pendant quelques secondes. Conclure.
Question ajoutée : à la maison, mesurer la hauteur d'une marche, compter les marches d'un escalier et chronométrer une montée calme puis une montée rapide. Calculer les deux puissances.

Indications

Méthodes 5 et 16. L'énergie ne dépend que des états initial et final ; la puissance dépend de la durée. À vitesse constante, l'énergie cinétique ne varie pas.

Correction détaillée

1. L'énergie à fournir est le travail qu'il faut opposer au poids :

E = m\,g\,h = 70\times 9{,}81\times 12 = 8\,240\ \text{J},

soit $8\,240/3{,}6\cdot10^6 = 2{,}29\cdot10^{-3}$ kWh. Les deux personnes reçoivent la même énergie.

2. $P_A = E/20 = 412$ W et $P_B = E/25 = 330$ W. La valeur « 410 W » est un arrondi de 412 W, pas une autre valeur : une puissance est une énergie par unité de temps, et monter plus vite demande plus de puissance pour la même énergie.

3. Le poids est une action extérieure ; sa puissance vaut $m\,\vec g\cdot\vec V(G) = -m\,g\,\dot z = -412$ W pour la première personne : elle est résistante. L'énergie cinétique est constante, donc le TEC donne une somme des puissances nulle : les muscles, actions intérieures au corps isolé, développent $+412$ W. C'est l'exemple d'une puissance intérieure positive : une puissance intérieure n'est pas toujours une perte.

4. 412 W, c'est quatre fois ce qu'on tient longtemps : on monte vite quatre étages, pas quarante. 330 W reste un effort soutenu. Les deux valeurs sont cohérentes avec l'expérience : on arrive essoufflé en haut.

5. Avec des marches de 17 cm et 60 marches, $h = 10{,}2$ m ; en 40 s, $P = 70\times 9{,}81\times 10{,}2/40 = 175$ W ; en 18 s, 389 W. La mesure se fait sans matériel : un mètre et un chronomètre de téléphone.

Méthodes à retenir

Énergie et puissance ne se confondent pas : $E = mgh$ ne dépend pas de la durée, $P = E/\Delta t$ en dépend. La puissance du poids se calcule par $m\,\vec g\cdot\vec V(G)$ , et son signe dit si l'action est motrice ou résistante (méthode 5) ; un ordre de grandeur se contrôle toujours (méthode 16).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 17 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 36 exercices corrigés, 9 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi l'énergétique
2. Énergie cinétique : rappel
3. Puissance d'une action mécanique extérieure
- 3.1 Définition
- 3.2 Cas à connaître
- 3.3 Dans quel repère ?
4. Puissance des inter-efforts
- 4.1 Définition et propriété
- 4.2 Les liaisons réelles
- 4.3 Où est le stator ?
5. Énergie potentielle : un outil commode
6. Théorème de l'énergie cinétique
7. Loi de mouvement d'une chaîne à un paramètre
8. Mouvement imposé : couple, puissance maximale, énergie d'un cycle
9. TEC ou PFD
10. Pertes et rendement en régime permanent
- 10.1 Bilan des puissances
- 10.2 Rendement d'un transmetteur
- 10.3 Rendement d'une chaîne
- 10.4 Effort et flux ; justifier le choix d'un constituant
11. Sens du flux de puissance, réversibilité, quadrants
- 11.1 Qui fournit la puissance ?
- 11.2 Réversibilité
- 11.3 Les quatre quadrants
12. Le rendement en régime variable
13. Contrôler un résultat d'énergétique
14. Histoire de la notion
15. Expériences sans achat
16. Ce qui vient ensuite
17. Sur le sujet : ce que relèvent les jurys

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Choisir le système isolé et dire le référentiel galiléen
Dresser le bilan des puissances et le présenter sur le document réponse
Exprimer toutes les vitesses en fonction d'un seul paramètre
Calculer l'énergie cinétique et lire l'inertie ou la masse équivalente
Calculer la puissance d'une action extérieure et donner son signe
Calculer la puissance d'une liaison réelle, d'un frottement et d'un actionneur intérieur
Utiliser une énergie potentielle et l'intégrale première
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et en tirer l'équation de mouvement
Trouver un couple ou un effort moteur en mouvement imposé
Identifier les termes d'une forme imposée par l'énoncé
Écrire un bilan de puissances en régime permanent avec un rendement
Calculer le rendement d'une chaîne, la puissance électrique et l'énergie d'un cycle
Repérer le sens du flux de puissance avant d'écrire les pertes
Choisir entre théorème de l'énergie cinétique et principe fondamental, ou les combiner
Comparer deux solutions techniques par le théorème de l'énergie cinétique
Contrôler un résultat d'énergétique
Associer effort et flux, puis justifier le choix d'un constituant

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Monter un escalier : énergie et puissance
L'enrouleuse de fil en régime établi : puissance du moteur
Le robot de chantier : couple maximal de levage
Le siège pivotant d'aide aux personnes à mobilité réduite : durée de rotation
Barrière simple et barrière à parallélogramme : quel couple pour lever la lisse ?
La vis d'Archimède d'une station d'épuration : couple et puissance
Rendement d'une chaîne et couples d'entrée et de sortie
Le support inclinable : deux rendements en série
Les puissances dissipées dans un contact ponctuel
Le robot à quatre roues : bilan des puissances et équation de mouvement
Le mélangeur gyroscopique : couple moteur par le TEC
Frottements sec et visqueux ramenés à l'arbre moteur
Le freinage d'un avion de ligne : énergie à dissiper
Effort et flux : la puissance d'un vérin, d'une pompe et d'un moteur
Le robot delta : couple du motoréducteur

Entraînement (16)

Le treuil de levage : couple de maintien et couple d'accélération, montée et descente
Le chariot à crémaillère : profil de vitesse, couple et énergie d'un cycle
Le miroir orienté par un vérin : forme imposée et rendement dans l'inertie équivalente
L'ascenseur à contrepoids et volant d'inertie : volant minimal
Le portique à conteneurs qui descend sa charge : rendement dans le bon sens
Le vibreur d'oliviers : puissances extérieures et intérieures
Les roues de friction en élastomère : résistance au roulement et rendement
Le pont de levage à moufle : la forme $\eta C_m - C_r$ et le signe du couple
La pompe à excentrique : frottement sec et équation de mouvement
La meule à huile qui roule sur sa meule dormante
La grue à tour : couple d'orientation avec le vent et rendement du réducteur
Le déambulateur motorisé : couple pour accélérer
La roue de vélo qui ralentit : couple de frottement et puissance perdue
Le robot d'impression en rotation : résistance au roulement des galets
Le tapis de course motorisé : justifier le choix du moteur
Le chariot élévateur : effort du vérin de direction par le TEC

Approfondissement (5)

Le véhicule électrique urbain : énergie dépensée et récupérée sur un cycle
Le pignon-crémaillère et ses facteurs de perte : énergie du moteur sur un cycle
La scie d'élagage : une inertie qui dépend de la position
La télécabine urbaine : bilan des puissances et puissance installée
Le robot à deux mobilités : le TEC ne suffit plus

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le centre d'usinage : couple du moteur de l'axe X par le théorème de l'énergie cinétique
CNC 2022, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie D « Etude du centre UGV », sous-partie D.2 « Etude énergétique », questions 32 à 34
Le taxiage électrique d'un avion : effort de denture à l'atterrissage et énergie dissipée dans l'embrayage
CNC 2018, filière MP, Sciences industrielles, partie III, sous-parties III_1 et III_3, questions 15 à 17 et 21 à 24
Le bras d'un robot de stimulation magnétique transcrânienne : couple du moteur de l'axe 1 avec ressort de rappel
CNC 2016, filière MP, Sciences industrielles, partie I « Etude de l'axe 1 », questions 5 d et e, et 6 b
Le robot mobile sur une pente : puissances, résistance au roulement et équation de mouvement
CNC 2024, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie E « Dimensionnement des moteurs du robot », questions 32 à 38
Le gyropode : démarche, bilan des puissances et pilotage en accélération
CCINP 2020, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie III « Pilotage en accélération », questions 19 à 24
Le chariot élévateur à bras : bilan des puissances et couple moteur d'un vérin électrique
CCINP 2023, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie 3 « Validation du moteur d'un vérin électrique », questions 18 et 19
La nacelle d'observation levée par câbles et contrepoids : équation de mouvement et énergie d'un cycle
Centrale-Supélec 2026, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie C « Modélisation de la dynamique de la nacelle », sous-parties II « Détermination d'une équation de mouvement de la nacelle » et III « Validation de l'équation de mouvement », questions 11 à 20, et partie E « Vérification de l'exigence liée à la consommation d'énergie et analyse d'une évolution structurelle de l'ouvrage », questions 31 à 33
L'arceau de radiologie : couple et puissance du moteur sur un cycle, choix du moteur
CNC 2013, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie IV « FONCTION « ENTRAINER L'ARCEAU 3 PAR RAPPORT AU BRAS 2 » », sous-partie 4.1 « Choix du codeur et choix du moteur à courant continu », section 4.1.2 « CHOIX DU MOTEUR », questions 20 à 24
Le démarrage d'une turbine à gaz : couple du lanceur
CCINP 2022, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie V « Démarrage de la turbine à gaz », sous-parties V.2 « Inertie équivalente du système » et V.3 « Couple moteur nécessaire », questions 20 à 25

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.