Modélisation des systèmes asservis : structure, SLCI, transformée de Laplace, schéma-blocs : cours, méthodes et exercices corrigés

Structure d'un système asservi, chaîne directe et chaîne de retour, systèmes linéaires continus et invariants, transformée de Laplace et ses propriétés, fonction de transfert, schéma-blocs et sa réduction, fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée, systèmes à plusieurs entrées et perturbations.

19méthodes
34exercices corrigés
7problèmes
19pièges
154figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Une machine qui doit tenir une vitesse, une position ou une température malgré ce qui la dérange ne se règle pas une fois pour toutes : il faut mesurer ce qu'elle fait, le comparer à ce qu'on veut, et corriger. Ce chapitre donne le langage et les outils de cette idée : la structure d'un système asservi, le modèle linéaire, la transformée de Laplace, la fonction de transfert et le schéma-blocs. C'est le premier chapitre d'automatique de l'année ; les réponses temporelles, le diagramme de Bode, la simplification, les performances et la correction viennent ensuite. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

identifier la structure d'un système asservi et nommer chaque grandeur avec son unité ;
dire si un système est commandé, bouclé ou asservi, et s'il travaille en poursuite ou en régulation ;
vérifier les hypothèses d'un modèle linéaire et dire son domaine de validité ;
écrire un signal d'entrée avec l'échelon de Heaviside ;
passer une équation différentielle dans le domaine de Laplace et utiliser les propriétés et les théorèmes ;
établir une fonction de transfert sous forme canonique : gain et unité, classe, ordre, pôles, zéros ;
construire un schéma-blocs à partir des équations, le réduire, calculer la FTBO et la FTBF ;
adapter la consigne et se ramener à un retour unitaire ;
traiter un système à deux entrées, consigne et perturbation ;
contrôler un modèle et répondre sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Structure d'un système asservi

Mesurer, comparer, corriger : consigne, adaptateur, comparateur (écart $\varepsilon$ ), correcteur, préactionneur, actionneur, système ; capteur dans la chaîne de retour ; perturbation, entrée non commandée.
Chaîne directe : du comparateur à la sortie. Chaîne de retour : le capteur.
Écart (unité de la mesure) et erreur (unité de la sortie) : deux grandeurs différentes.
Commandé : boucle ouverte. Asservi : boucle fermée sur une mesure et une consigne. Tout asservi est bouclé ; un bouclé n'est pas forcément asservi ; un capteur seul n'asservit rien.
Poursuite : la consigne varie. Régulation : la consigne est fixe, la boucle rejette les perturbations.

À retenir Modèle linéaire

SLCI : linéaire (superposition), continu (à temps continu), invariant, causal.
Non-linéarités : seuil, saturation, courbure, hystérésis. On linéarise autour d'un point de fonctionnement ; tout modèle linéaire a un domaine de validité.
Signaux canoniques : impulsion $\delta(t)$ , échelon $E_0\,u(t)$ , rampe $a\,t\,u(t)$ , sinus ; un créneau $= E_0[u(t) - u(t - T)]$ .

À retenir Transformée de Laplace

Linéarité ; dérivation : $\mathcal L[f'] = pF - f(0^+)$ , $\mathcal L[f''] = p^2F - p\,f(0^+) - f'(0^+)$ ; à conditions initiales nulles, dériver revient à multiplier par $p$ ; intégrer, à diviser par $p$ .
Retard : $\mathcal L[f(t - \tau)u(t - \tau)] = \mathrm e^{-\tau p}F(p)$ . Amortissement : $\mathcal L[\mathrm e^{-at}f] = F(p + a)$ .
Valeur initiale : $\lim_{p\to+\infty}pF(p)$ . Valeur finale : $\lim_{p\to0}pF(p)$ , si les pôles de $pF(p)$ sont à partie réelle strictement négative.
Hors programme : transformée inverse, résolution des équations différentielles.

À retenir Transformées à savoir

$f(t)$	$F(p)$
$\delta(t)$	$1$
$u(t)$	$1/p$
$t\,u(t)$	$1/p^2$
$t^n\,u(t)$	$n!/p^{n+1}$
$\mathrm e^{-at}\,u(t)$	$1/(p + a)$
$\sin(\omega t)\,u(t)$	$\omega/(p^2 + \omega^2)$
$\cos(\omega t)\,u(t)$	$p/(p^2 + \omega^2)$

À retenir Fonction de transfert

$H(p) = S(p)/E(p)$ à conditions initiales nulles ; une fonction par entrée.
Ordre : degré du dénominateur ; classe : nombre de pôles nuls ; $m \le n$ .
Forme canonique : $H(p) = \dfrac{K\,(1 + b_1p + \dots)}{p^\alpha\,(1 + a_1p + \dots)}$ ; gain $K = \lim_{p\to0}p^\alpha H(p)$ , avec son unité.
Premier ordre $\dfrac{K}{1 + \tau p}$ ; second ordre $\dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ .

À retenir Schéma-blocs

Une équation, un bloc ou un sommateur, dans le sens de la cause à l'effet ; signes écrits ; une perturbation qui freine entre en $-$ .
Série : $AB$ . Parallèle : $A + B$ . Boucle : $\dfrac{A}{1 + AB}$ ; retour positif : $\dfrac{A}{1 - AB}$ .
FTBO : on ouvre la boucle avant le comparateur, $H_{BO} = M/\varepsilon$ , produit des blocs de la boucle. FTBF : $\dfrac{\text{chaîne directe}}{1 + H_{BO}}$ .
Retour unitaire : $H_{BF} = \dfrac{H_{BO}}{1 + H_{BO}}$ , de classe nulle.
Bouclage d'un second ordre de classe nulle : $K_{BF} = \dfrac{K_{BO}}{1 + K_{BO}}$ , $\omega_{0BF} = \omega_0\sqrt{1 + K_{BO}}$ , $\xi_{BF} = \dfrac{\xi}{\sqrt{1 + K_{BO}}}$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Identifier la structure d'un système asservi

Quand l’utiliser

Au début de toute étude d'asservissement (compétence : analyser), quand le sujet donne un schéma fonctionnel, un diagramme de blocs internes ou une description, et demande les constituants, les grandeurs ou un schéma-blocs « en mots ».

Rappel de cours

Chaîne directe : comparateur, correcteur, préactionneur, actionneur, système. Chaîne de retour : capteur. En amont du comparateur : l'adaptateur de consigne. Une perturbation est une entrée non commandée. Chaque lien porte une grandeur et son unité.

Démarche

Repérer la grandeur asservie (la sortie) et la consigne.
Repérer le capteur : il mesure la sortie, ou une grandeur liée à elle.
Remonter du capteur au comparateur, puis descendre la chaîne directe jusqu'à la sortie ; nommer chaque constituant.
Écrire sur chaque lien le nom de la grandeur et son unité ; placer les perturbations.
Vérifier que le comparateur reçoit deux grandeurs de même unité.

Rédaction type

« Grandeur asservie : la température $\theta$ de l'air de la couveuse, en °C. Consigne : $\theta_c$ . Chaîne de retour : la sonde, de gain 10 mV/°C, qui fournit une tension. Le comparateur reçoit donc deux tensions : la consigne est traduite par un adaptateur de même gain. Chaîne directe : régulateur, gradateur (qui module la puissance électrique), résistance chauffante, air et œufs. Perturbation : les pertes vers la salle et les ouvertures de porte. Cette structure permet de vérifier l'exigence de température, $37{,}7 \pm 0{,}2$ °C, puisque la boucle corrige les pertes au lieu de les subir. »

Exemple traité

La couveuse d'une coopérative avicole doit tenir l'air à 37,7 °C, à 0,2 °C près, pendant les trois semaines d'incubation. Une sonde de température de gain 10 mV/°C mesure l'air ; un régulateur compare sa tension à celle d'un adaptateur et commande un gradateur, qui règle la puissance d'une résistance chauffante. Les pertes de chaleur vers la salle, et l'ouverture de la porte pour retourner les œufs, sont des perturbations. Valeurs choisies pour l'exemple.

La couveuse : schéma fonctionnel, chaque lien avec son unité.

Erreurs fréquentes

Mettre le capteur dans la chaîne directe ou le correcteur dans la chaîne de retour.
Oublier l'adaptateur et comparer des degrés à des volts.
Confondre l'écart (en volts) et l'erreur (en degrés).

Pour s’entraîner

Exercices 1, 2 et 9.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice La régulation de niveau d'une cuve : le schéma fonctionnel en mots ★☆☆

La cuve d'eau d'une serre de culture hors sol alimente les goutteurs des plantes. Pour un niveau de consigne $h_c$ donné, le niveau $h$ de l'eau doit rester constant, au moins dans certaines limites, quel que soit le débit de sortie $q_s$ , que l'exploitant règle à la main selon les besoins des plantes. L'installation comprend :

une électrovanne EV, placée sur la conduite du réseau d'eau et commandée par une tension $u$ , qui règle le débit d'entrée $q_e$ ;
un module d'affichage AC, sur lequel on affiche la consigne $h_c$ en mètres, et qui délivre une tension $u_c$ , image du niveau demandé ;
un capteur de pression CP placé au fond de la cuve, qui délivre une tension $u_h$ , image du niveau $h$ ;
un système automatique de commande SAC, qui compare $u_c$ et $u_h$ et élabore, grâce à un régulateur, la tension de commande $u$ de l'électrovanne à partir de l'écart $\varepsilon = u_c - u_h$ .

La cuve de la serre : l'électrovanne EV règle le débit d'entrée, le capteur de pression CP mesure le niveau, le SAC compare la mesure à la consigne affichée sur AC ; le débit de sortie est réglé à la main.

Tracer le schéma fonctionnel de cette régulation, un bloc par constituant ; le SAC est décomposé en un comparateur et un régulateur.
Écrire sur chaque lien le nom de la grandeur et son unité.
Quelle est la perturbation, et avec quel signe entre-t-elle ? Le système fonctionne-t-il en poursuite ou en régulation ?
Question ajoutée : quel constituant est l'actionneur ? Quels constituants forment la chaîne de retour ?

Une installation plus ancienne obtient le même résultat sans électronique de mesure. Un opérateur règle un angle de consigne $\theta_E$ sur un potentiomètre d'entrée PE. Un flotteur transforme le niveau $h$ en un angle $\theta_S$ du curseur d'un potentiomètre de sortie PS, avec $\theta_S = K_\theta\,h$ et $K_\theta = 1\ \text{rad/m}$ . Les deux potentiomètres sont identiques, de gain $K_{pot}$ en V/rad, et délivrent les tensions $u_E$ et $u_S$ . Un amplificateur différentiel de gain $A$ amplifie $u_E - u_S$ et alimente un moteur à courant continu sous la tension $u_m$ . Le moteur entraîne, par un engrenage conique de rapport $k$ puis une vis de pas $q$ , une vanne linéaire dont la position $x_v$ règle le débit d'entrée $q_e$ . On admet que le débit de sortie $q_s$ est proportionnel au niveau $h$ (relation d'écoulement linéarisée).

Le schéma fonctionnel à compléter : six blocs dans la chaîne directe, deux dans la chaîne de retour, et la branche du débit de sortie.

Compléter ce schéma : nom de chaque bloc, nom et unité de chaque grandeur.
Question ajoutée : quel angle l'opérateur doit-il afficher pour obtenir un niveau de $0{,}80$ m ?
Question ajoutée : la branche qui ramène le débit de sortie $q_s$ forme une boucle. Est-ce une boucle d'asservissement ?

Indications

Méthodes 1 et 2. Suivre l'eau, puis l'information : une grandeur par lien, de la consigne à la sortie, puis de la sortie à la mesure. Un débit qui sort de la cuve fait baisser le niveau.

Correction détaillée

1. et 2. De la consigne à la sortie, puis de la sortie au comparateur :

$h_c$ (m) entre dans le module AC, qui délivre $u_c$ (V) ;
le comparateur forme $\varepsilon = u_c - u_h$ (V) ;
le régulateur élabore la tension de commande $u$ (V) ;
l'électrovanne délivre le débit d'entrée $q_e$ (m³/s) ;
un sommateur forme $q_e - q_s$ (m³/s), le débit net qui remplit la cuve ;
la cuve transforme ce débit net en niveau $h$ (m) ;
chaîne de retour : le capteur CP transforme $h$ (m) en $u_h$ (V), qui revient sur l'entrée moins du comparateur.

Le schéma fonctionnel de la régulation de niveau : chaque lien porte sa grandeur et son unité ; le débit de sortie entre en moins.

Le comparateur ne compare que des grandeurs de même nature, deux tensions. Pour que l'écart soit nul quand le niveau égale la consigne, le module AC doit convertir les mètres en volts avec le même gain que le capteur.

3. La perturbation est le débit de sortie $q_s$ , réglé à la main : il ne dépend pas de la commande et fait baisser le niveau, il entre donc avec le signe moins. La consigne $h_c$ reste constante la plupart du temps, et le système doit maintenir le niveau malgré les variations de $q_s$ : il fonctionne en régulation.

4. L'actionneur est l'électrovanne : c'est elle qui agit sur la grandeur d'entrée du processus, le débit $q_e$ . La chaîne de retour est réduite au capteur de pression CP. Le module AC est l'adaptateur de consigne, en dehors de la boucle.

5. Chaîne directe, de gauche à droite :

$\theta_E$ (rad) → potentiomètre PE → $u_E$ (V) ;
comparateur : $u_E - u_S$ (V) → amplificateur de gain $A$ → $u_m$ (V) ;
moteur à courant continu → angle du rotor $\theta_M$ (rad) ;
engrenage conique de rapport $k$ → angle de la vis $\theta_v$ (rad) ;
vis de pas $q$ → position de la vanne $x_v$ (m), avec $x_v = \dfrac{q}{2\pi}\,\theta_v$ ;
vanne linéaire → débit d'entrée $q_e$ (m³/s) ;
sommateur : $q_e - q_s$ (m³/s) → cuve → niveau $h$ (m).

Branche du débit de sortie : $h$ (m) → relation d'écoulement → $q_s$ (m³/s), sur l'entrée moins du sommateur. Chaîne de retour : $h$ (m) → flotteur de gain $K_\theta$ → $\theta_S$ (rad) → potentiomètre PS → $u_S$ (V), sur l'entrée moins du comparateur.

Le schéma fonctionnel complété de l'installation à flotteur.

6. Les deux potentiomètres sont identiques : l'écart $u_E - u_S = K_{pot}\,(\theta_E - \theta_S)$ s'annule quand $\theta_E = \theta_S = K_\theta\,h$ . Pour $h = 0{,}80$ m, il faut afficher $\theta_E = 1 \times 0{,}80 = 0{,}80$ rad, soit $45{,}8°$ . Le cadran de PE peut donc être gradué directement en mètres de niveau.

7. Non. La branche de $q_s$ traduit une loi physique : plus le niveau est haut, plus l'eau sort vite. Aucun constituant n'y mesure une grandeur ni ne la compare à une consigne pour élaborer une commande. C'est une boucle naturelle du processus, comme celle de la force contre-électromotrice d'un moteur. Le système asservi est la boucle qui passe par le flotteur, les potentiomètres et l'amplificateur.

Méthodes à retenir

Un schéma fonctionnel se lit dans le sens de l'énergie pour la chaîne directe et dans le sens de l'information pour la chaîne de retour, avec une grandeur et une unité sur chaque lien (méthode 1). Une consigne constante et une perturbation à rejeter font une régulation ; une boucle sans comparaison à une consigne n'est pas un asservissement (méthode 2).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 19 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi asservir
2. Structure et vocabulaire
3. Systèmes linéaires, continus et invariants
4. Le modèle de connaissance : des équations différentielles linéaires
5. Signaux canoniques
6. La transformée de Laplace
7. Fonction de transfert
8. Le schéma-blocs
9. Associations et formule de Black
10. Adapter la consigne, se ramener à un retour unitaire
11. Manipuler et réduire un schéma
12. Systèmes à deux entrées
13. Le calcul par Python
14. Contrôler un modèle et répondre sur le document réponse
15. Histoire de la notion
16. Ce qui vient ensuite
17. Expériences sans achat
18. Sur le sujet : rédaction et rapports de jury

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Identifier la structure d'un système asservi
Distinguer poursuite et régulation ; système commandé, bouclé, asservi
Vérifier les hypothèses d'un modèle linéaire et dire son domaine de validité
Écrire un signal canonique avec l'échelon de Heaviside
Passer une équation différentielle dans le domaine de Laplace
Calculer une transformée par le tableau et les propriétés
Utiliser les théorèmes des valeurs initiale et finale
Établir une fonction de transfert et la mettre sous forme canonique
Construire un schéma-blocs à partir des équations
Associer des blocs en série, en parallèle, en boucle
Calculer la FTBO et la FTBF, leur ordre et leur classe
Déterminer le gain d'adaptation et se ramener à un retour unitaire
Déplacer un point de prélèvement ou un sommateur
Réduire un schéma à boucles imbriquées
Réduire un schéma en écrivant les équations des signaux
Traiter un système à deux entrées par superposition
Calculer le gain d'un capteur ou d'un transmetteur
Contrôler un modèle et répondre sur le document réponse
Se servir d'une transformée fournie et ramener un signal périodique à son premier harmonique

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

La régulation de niveau d'une cuve : le schéma fonctionnel en mots
La commande de position d'un vérin : structure, bouclé ou asservi
La boudineuse de savon : retour unitaire et FTBF
Le créneau et la rampe saturée : écrire, puis transformer
Le tableau des transformées : cinq calculs et deux affirmations à vérifier
Valeur finale : la vitesse d'un moteur et la température d'un four
Mettre sous forme canonique : gain, classe, ordre
Le moteur à courant continu : équations, blocs, forme canonique
Le vérin électrique d'un suiveur solaire : chaînes, comparateur et adaptation
Réductions guidées : série, parallèle, boucle
Déplacer un point de prélèvement
La canne robotisée : vis-écrou, codeur et gain d'adaptation
La machine de gravure laser : rendre linéaire le modèle d'un moteur linéaire
L'actionneur piézoélectrique et son inductance de filtrage : une transformée fournie, un amortissement nul

Entraînement (15)

Le moteur à courant continu à deux entrées, équation par équation
Deux entrées : déplacer un prélèvement, garder le signe de la perturbation
Le schéma à détordre : une boucle positive cachée
Trois réductions : boucles imbriquées, boucles disjointes et trois entrées
Le four régulé : déplacer l'adaptation pour un retour unitaire
Le tapis de course : identifier les blocs d'un schéma à deux entrées
La laveuse de sol autoportée : du moteur au schéma de l'asservissement de vitesse
Le taxiage électrique d'un avion : gain d'adaptation, effet du bouclage et couple résistant
Le robot agricole mobile : asservissement de vitesse d'une roue et effet du bouclage
Le déambulateur motorisé : deux vérins, un effort perturbateur, deux correcteurs
Le mélangeur biaxial : du moteur détaillé au schéma à retour unitaire
Le manipulateur à courroie : raideur, codeur et deux boucles
L'exosquelette de marche : la jambe ramenée sur l'arbre du moteur
La direction découplée : retour d'effort au volant et écart à deux entrées
Le hacheur de l'extracteur d'air : composante continue, premier harmonique, valeur finale

Approfondissement (5)

Le bras d'un robot de stimulation magnétique transcrânienne : asservissement d'effort
La chambre climatique : même gain en consigne et en mesure, deux entrées
La planeuse : deux moteurs couplés par la bande
Le pilote automatique d'un avion léger : deux vitesses couplées
Boucle ouverte, boucle fermée, perturbation et saturation : simulation par la méthode d'Euler

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le robot imprimeur mobile : du moteur de l'axe Z à l'asservissement de position avec boucle de vitesse
CNC 2026, filières MP et PSI, Sciences industrielles, partie I « ETUDE DE L'exigence 1.4.2 « Déplacement vertical » », sous-partie I-2 « Etude de l'exigence 1.4.2.1 « Asservissement de l'axe Z » », questions 5 à 8
Le robot de chantier : asservissement de position du chariot et effet d'un effort perturbateur
CNC 2017, filière MP, Sciences industrielles, partie V « ETUDE DE L'EXIGENCE « Déplacement de ROBY » », sous-parties V-1 « Modélisation du moteur électrique à courant continue » et V-2 « Etude de l'asservissement de position du chariot », questions 14 a, 15 et 16 a à d
Le robot de traite : modèle d'un vérin hydraulique et effet d'un effort perturbateur
CNC 2014, filières MP et PSI, Sciences industrielles pour l'ingénieur, partie 7 « Etude de la fonction FT135 : « Réguler et asservir la position des organes de traite » », sous-parties 7.1 « Modélisation du système électro-hydraulique » et 7.2 « Vérification de l'aptitude de la commande en chaîne directe à satisfaire les spécifications du Cahier de charges », questions 13, 14 et 15 a, e et f
La machine de forage : avance hydraulique et schéma complet
CCINP 2023, filière MP, Sciences industrielles, partie II « Contrôle de la vitesse de la table de forage », sous-parties II.3 « Sous-systèmes Servo-pompe, Circuit hydraulique et Moteur hydraulique » et II.4 « Étude de l'asservissement de la vitesse d'avance de la table de forage », questions 21 à 25
L'exosquelette lombaire : déplacer un point de prélèvement dans un asservissement de force
Centrale-Supélec 2023, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie III « Élaboration du modèle de connaissance d'un actionneur linéaire placé sur un banc d'essai », sous-partie III.B « Étude de l'effort d'assistance nécessaire au soutien lombaire », questions 14 à 16 et 19 à 21
La nacelle d'observation levée par câbles : modèle instable, boucle de stabilisation et effet de la charge
Centrale-Supélec 2026, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie C « Modélisation de la dynamique de la nacelle », sous-partie III « Validation de l'équation de mouvement », question 21, et partie D « Synthèse d'une loi de commande de l'actionneur », sous-partie I « Stabilisation du comportement dynamique de l'ensemble de mise en mouvement de la nacelle », questions 22 à 25
L'unité de traitement plasma : codeur absolu, adaptation et schéma à deux entrées
CCINP 2026, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, partie VI « Contrôle de la position de sortie du vérin pour adapter l'entraxe », questions 34 à 38

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.