Modèles de comportement et réponse temporelle : premier ordre, second ordre, identification : cours, méthodes et exercices corrigés

Systèmes du premier et du second ordre, gain statique, constante de temps, pulsation propre et coefficient d'amortissement, réponses à l'échelon, à la rampe et à l'impulsion, temps de réponse à 5 %, dépassements, intégrateur et retard, identification d'un modèle de comportement à partir d'une réponse expérimentale.

19méthodes
34exercices corrigés
6problèmes
23pièges
108figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un système asservi est modélisé : on connaît sa fonction de transfert, en boucle ouverte et en boucle fermée. Reste la question que pose tout cahier des charges : quand on change la consigne, en combien de temps la sortie arrive-t-elle, et la dépasse-t-elle ? Ce chapitre répond pour les modèles qu'on rencontre le plus, le premier et le second ordre. Il fait aussi le chemin inverse : à partir d'une réponse mesurée, retrouver un modèle. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

distinguer modèle de connaissance et modèle de comportement ;
lire une réponse indicielle : régimes, valeur finale, temps de réponse à 5 % ;
reconnaître et tracer les réponses du gain, de l'intégrateur, du dérivateur, du retard, du premier et du second ordre ;
calculer ou lire le dépassement, l'instant du premier maximum, la pseudo-période, le temps de réponse (abaque) ;
prévoir la réponse d'un système bouclé et régler un gain pour obtenir une réponse donnée ;
identifier un modèle sur un relevé, puis le valider ;
simuler une réponse en Python et répondre sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Modèle de comportement et réponse temporelle

Modèle de connaissance : tiré des lois physiques. Modèle de comportement : choisi pour reproduire une réponse mesurée.
Entrées d'essai : échelon $E_0\,u(t)$ (réponse indicielle), impulsion (réponse impulsionnelle), rampe $a\,t\,u(t)$ .
On travaille sur les variations : temps comptés depuis l'échelon, $K = \Delta s_\infty/\Delta e$ .
Système linéaire : doubler l'amplitude double la variation de la sortie, sans changer le temps de réponse ni le dépassement relatif.
Temps de réponse à 5 % : dernier instant où la sortie quitte la bande de $\pm 5\,\%$ de sa variation, centrée sur la valeur finale.

À retenir Systèmes élémentaires

Modèle	$H(p)$	Réponse à $E_0\,u(t)$
gain	$K$	$KE_0$ immédiatement
intégrateur	$K/p$	rampe $KE_0\,t$ , pas de valeur finale
dérivateur	$Kp$	impulsion $KE_0\,\delta(t)$
retard pur	$\mathrm e^{-Tp}$	échelon décalé de $T$

Gain statique : seulement en classe nulle.

À retenir Premier ordre

\dfrac{K}{1 + \tau p}

$s(t) = KE_0\left(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\right)$ , aucun dépassement.
Pente à l'origine $KE_0/\tau$ , non nulle ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote en $\tau$ (en tout point : $\tau$ plus tard).
63 % en $\tau$ ; 86 % en $2\tau$ ; 95 % en $3\tau$ : $t_{r5\%} = \tau\ln 20 \approx 3\tau$ .
Impulsion $A\,\delta$ : $(KA/\tau)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . Rampe $a\,t$ : asymptote $Ka(t - \tau)$ ; si $K = 1$ , retard $\tau$ et écart $a\tau$ .
Bouclé à retour unitaire : $K/(1 + K)$ , $\tau/(1 + K)$ , $t_{r5\%} \approx 3\tau/(1 + K)$ .

À retenir Second ordre

\dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}

$\xi > 1$ : apériodique, deux premiers ordres ( $\tau_1\tau_2 = 1/\omega_0^2$ , $\tau_1 + \tau_2 = 2\xi/\omega_0$ ) ; $\xi = 1$ : critique ; $\xi < 1$ : pseudo-périodique. $Q = 1/(2\xi)$ .
Pente nulle à l'origine.
$\omega_p = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2}$ , $T_p = 2\pi/\omega_p$ , $t_k = k\pi/\omega_p$ .
$D_1 = \exp\left(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}\right)$ , ne dépend que de $\xi$ ; $D_3 = D_1^3$ .
$\xi = \lvert\ln D_1\rvert/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 D_1}$ ; $\omega_0 = \pi/(t_1\sqrt{1 - \xi^2})$ .
$D_1 = 5$ % pour $\xi \approx 0{,}69$ ; sous 1 % au-delà de $\xi \approx 0{,}83$ .

À retenir Abaque du temps de réponse réduit

t_{r5\%}\,\omega_0

Minimum d'environ 2,9 vers $\xi$ voisin de 0,69 ; on vise 0,7 (0,69 est au bord d'une marche) : le plus rapide, dépassement d'environ 5 %.
Environ 4,75 pour $\xi = 1$ : le plus rapide sans dépassement.
Environ $6\xi$ pour $\xi$ grand. Les sources arrondissent à 3 et 5.
$t_{r5\%} = (t_{r5\%}\,\omega_0)/\omega_0$ : à $\xi$ fixé, doubler $\omega_0$ divise le temps de réponse par deux.
$1/\sqrt2$ n'est pas le réglage le plus rapide ; le régime critique n'est pas le plus rapide.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Lire l'entrée et travailler sur les variations

Quand l’utiliser

Avant toute lecture sur un relevé ou une réponse fournie (compétence : analyser) : dès que la sortie ne part pas de zéro, que l'échelon n'est pas unitaire ou qu'il n'est pas appliqué à l'origine de l'axe.

Rappel de cours

La fonction de transfert relie des variations autour d'un point de fonctionnement. Le gain est $K = \Delta s_\infty/\Delta e$ ; les temps se comptent depuis l'instant de l'échelon.

Démarche

Lire la nature de l'entrée (échelon, rampe, impulsion), son amplitude $\Delta e$ et son instant d'application $t_e$ .
Lire le niveau initial $s_0$ de la sortie et sa valeur finale $s_\infty$ .
Calculer la variation $\Delta s = s_\infty - s_0$ et le gain $K = \Delta s/\Delta e$ , avec son unité.
Compter tous les temps lus (63 %, premier maximum, temps de réponse) depuis $t_e$ .

Rédaction type

« L'échelon de consigne fait passer la consigne de 40 à 60 °C à $t_e = 2$ min ; la température de l'air passe de 40 à 58 °C. On travaille sur les variations : $\Delta e = 20$ °C, $\Delta s = 18$ °C, d'où $K = 18/20 = 0{,}9$ . La sortie atteint 63 % de sa variation, $40 + 0{,}632 \times 18 = 51{,}4$ °C, à $t = 8$ min, soit $\tau = 8 - 2 = 6$ min. Le temps de réponse vaut $3\tau = 18$ min après l'échelon : il est inférieur aux 20 min exigées. »

Exemple traité

Le séchoir d'une unité de pâtes alimentaires règle la température de l'air chaud. L'air est à 40 °C quand on monte la consigne de 40 à 60 °C, à $t = 2$ min ; la température se stabilise à 58 °C. Le cahier des charges demande que la température soit stabilisée, à 5 % de sa variation près, moins de 20 min après un changement de consigne. Valeurs choisies pour l'exemple. Lecture faite dans la rédaction type : $K = 0{,}9$ , $\tau = 6$ min, $t_{r5\%} = 18$ min < 20 min, exigence respectée. La valeur finale reste à 2 °C de la consigne : c'est une question de précision (chapitre « Performances »).

Le séchoir : consigne en échelon à 2 min, réponse de l'air ; on compte les temps depuis l'échelon.

Erreurs fréquentes

Prendre $K = s_\infty = 58$ au lieu de la variation rapportée à la variation de l'entrée.
Lire $\tau = 8$ min sur l'axe sans retrancher l'instant de l'échelon.
Prendre 63 % de 58 °C au lieu de 63 % de la variation de 18 °C.

Pour s’entraîner

Exercices 1, 5, 9, 14, 27 et 28.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Lire l'entrée avant la sortie : deux premiers ordres ★☆☆

Un banc d'essai de capteurs de pression d'un atelier de maintenance contient deux petits systèmes à étudier.

Premier système. Il est régi par la fonction de transfert

H(p) = \frac{2{,}3}{2 + 0{,}4\,p}.

Mettre $H(p)$ sous forme canonique. Donner son gain statique et sa constante de temps.
On lui applique un échelon unité. Donner son temps de réponse à 5 % et sa valeur finale.

Second système. On ne connaît pas son modèle. On relève, sur le même graphique, son entrée $e(t)$ et sa sortie $s(t)$ , toutes deux sans unité.

Le relevé du second système : entrée e(t) en tirets, sortie s(t) en trait plein. — Le relevé du second système : entrée $e(t)$ en tirets, sortie $s(t)$ en trait plein.

Écrire l'équation temporelle de l'entrée $e(t)$ .
Justifier qu'un modèle du premier ordre convient, puis identifier son gain statique et sa constante de temps.
Question ajoutée : un camarade n'a reçu que la courbe de $s(t)$ , sans celle de l'entrée. Que peut-il dire du gain statique ?

Indications

Méthodes 1, 2 et 3. Diviser le numérateur et le dénominateur par le terme constant du dénominateur. Pour le relevé, lire l'entrée d'abord : sa nature, son amplitude, son instant de départ.

Correction détaillée

1. On divise par 2 :

H(p) = \frac{1{,}15}{1 + 0{,}2\,p}, \qquad K = 1{,}15 \ \text{(sans unité)}, \qquad \tau = 0{,}2\ \text{s}.

2. Pour un premier ordre, $t_{r5\%} = \tau\ln 20 \approx 3\tau = 0{,}6$ s. La valeur finale vaut $K E_0 = 1{,}15$ pour un échelon unité.

3. L'entrée vaut 0 avant $t = 0$ , puis 2 : $e(t) = 2\,u(t)$ , échelon d'amplitude $E_0 = 2$ appliqué à $t = 0$ .

4. Deux indices : la courbe part avec une pente non nulle, et elle monte sans jamais dépasser sa valeur finale. C'est l'allure d'un premier ordre $K/(1 + \tau p)$ . La sortie tend vers $s_\infty = 1$ , d'où

K = \frac{\Delta s_\infty}{\Delta e} = \frac{1 - 0}{2 - 0} = 0{,}5.

À 63 % de la variation, $s = 0{,}63$ : la courbe passe par cette valeur à $t = 1$ s, donc $\tau = 1$ s. Contrôle par $3\tau$ : à $t = 3$ s, la sortie vaut bien 0,95. Le modèle est

H(p) = \frac{0{,}5}{1 + p}.

5. Rien. La sortie seule donne la constante de temps, mais pas le gain : avec la même courbe, une entrée d'amplitude 1 donnerait $K = 1$ , et une entrée d'amplitude 2 donne $K = 0{,}5$ . On ne peut pas identifier un système sans connaître l'entrée qui l'a sollicité.

Méthodes à retenir

Avant de lire la sortie, on lit l'entrée : nature, amplitude, instant, niveau initial (méthode 1). Le gain statique est un rapport de variations, $\Delta s_\infty/\Delta e$ , et non la valeur finale de la sortie (méthode 2). Pour un premier ordre, $\tau$ se lit à 63 % et se contrôle à $3\tau$ (méthode 3).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 23 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Modèle de connaissance, modèle de comportement
2. Réponse temporelle et temps de réponse à 5 %
- 2.1 Entrées d'essai et régimes
- 2.2 Temps de réponse à 5 %
3. Les systèmes élémentaires
4. Le premier ordre
- 4.1 Forme et exemples
- 4.2 Réponse indicielle
- 4.3 Réponses à l'impulsion et à la rampe
- 4.4 Premier ordre bouclé
5. Le second ordre
- 5.1 Forme et exemples
- 5.2 Les pôles et les trois régimes
- 5.3 Pseudo-période et dépassements
6. Temps de réponse du second ordre : l'abaque
7. Prévoir la réponse d'un système bouclé, régler un gain
8. Reconnaître un second ordre rapide
9. Identifier un modèle de comportement
- 9.1 La démarche
- 9.2 Premier ordre
- 9.3 Second ordre avec dépassement
- 9.4 Sans dépassement, intégrateur, retard
- 9.5 Exemple
- 9.6 Validité d'un modèle identifié
10. Lire une réponse fournie et conclure
11. Le calcul par Python
12. Contrôler et répondre sur le document réponse
13. Histoire de la notion
14. Expériences sans achat
15. Ce qui vient ensuite
Préparer un essai d'identification
Le temps de montée

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Lire l'entrée et travailler sur les variations
Mettre un modèle sous forme canonique et lire ses paramètres
Tracer la réponse indicielle d'un premier ordre et calculer $s(t)$
Donner l'allure de la réponse impulsionnelle et de la réponse à la rampe d'un premier ordre
Reconnaître et tracer la réponse d'un système élémentaire
Classer un second ordre selon $\xi$ et tracer l'allure de sa réponse
Calculer $D_1$ , $t_1$ et $T_p$ , ou retrouver $\xi$ à partir de $D_1$
Lire un temps de réponse à 5 % sur une courbe
Trouver le temps de réponse d'un second ordre par l'abaque
Prévoir la réponse d'un système bouclé
Régler un gain pour $\xi = 1$ ou $\xi \approx 0{,}7$
Identifier un premier ordre sur un relevé
Identifier un second ordre avec dépassement
Identifier un modèle sans dépassement d'ordre au moins 2, un intégrateur ou un retard
Valider un modèle identifié
Simuler une réponse en Python par la méthode d'Euler
Répondre sur le document réponse et conclure critère par critère
Choisir l'entrée, la grandeur mesurée et l'acquisition pour identifier un modèle
Exploiter les relations et abaques fournis du second ordre

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Lire l'entrée avant la sortie : deux premiers ordres
Formes canoniques et temps de réponse de deux seconds ordres
Trois réponses d'un premier ordre
Les quatre systèmes élémentaires : un atelier d'embouteillage
La laveuse de sol autoportée : identifier à partir d'un niveau non nul
Le centre d'usinage à grande vitesse : un motoréducteur du premier ordre
Lire l'abaque des dépassements
Le four régulé : échelon, puis rampe
Le moteur d'une pompe d'hémodialyse et son hacheur
Le déambulateur motorisé : le plus rapide sans dépassement, puis la compensation du pôle
La chambre climatique : un temps de réponse imposé
Deux courbes, deux modèles
L'orientation de miroirs : lire une réponse perturbée
Cinq courbes pour un modèle : formulaire fourni

Entraînement (15)

Le plateau chauffant d'une imprimante 3D : un relevé réel et bruité
Un second ordre avec dépassement : identifier, puis contrôler
Le préhenseur d'un poste de tri de bouteilles plastiques
Le véhicule électrique automatique : identifier la boucle de vitesse
Le mélangeur biaxial : un second ordre bouclé de classe nulle
Le robot de stimulation magnétique : identifier, puis régler
Le taxiage électrique d'un avion : réglage pour la réponse la plus rapide
Le robot de traite : réglage par l'abaque, puis un second ordre apparent
Le chariot retourneur de bobines : du premier ordre à l'asservissement sans dépassement
La fraiseuse : trois lectures de $\tau$ , puis la boucle de vitesse
La fraiseuse : régler avec et sans dépassement
La trémie de poudre : premier ordre, intégrateur et saturation
Trois réponses, dont une retardée
Les barges de collecte des déchets flottants : le moteur du convoyeur
Préparer l'essai d'identification d'un moteur, puis mesurer une inertie

Approfondissement (5)

Le stabilisateur gyroscopique d'un bateau de travail : un essai de lâcher
Le stabilisateur d'images d'une caméra : un filtre de consigne contre les oscillations
Le pilote automatique d'un avion léger : l'effet d'un zéro
Le plateau chauffant : un modèle thermique non linéaire
Euler : le pas, la divergence, le gain

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le robot imprimeur mobile : réglage de la boucle de vitesse de l'axe Z, lecture d'une réponse et identification de la plate-forme
CNC 2026, filières MP et PSI, Sciences industrielles, questions 8 b, 12 b et c, 23
Le robot de chantier : identification du moteur, lecture d'une réponse perturbée et réglage d'une boucle de vitesse
CNC 2017, filières MP et PSI, Sciences industrielles, questions 14 b, 16 e et f, 20 b et c
Le pont de levage : réponse de l'asservissement non corrigé, puis correction proportionnelle réglée sans dépassement
CNC 2025, filières MP et PSI, Sciences industrielles, questions 22 et 25 a à c
La canne robotisée : du premier ordre bouclé au second ordre réglé par l'abaque
CCINP 2018, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 33 à 37
La direction automobile découplée : abaques propres au système, puis réglage du gain intégral
Banque PT 2017, épreuve de sciences industrielles A, questions 13 et 47
La machine de microfraisage par électro-érosion : identification du moteur de débobinage et lecture de la réponse en tension du fil
CCINP 2018, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 17, 24 et 29

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.