Réponse fréquentielle et diagrammes de Bode : cours, méthodes et exercices corrigés

Réponse harmonique d'un système linéaire, fonction de transfert complexe, gain en décibels et phase, diagrammes de Bode asymptotiques et réels des systèmes élémentaires (gain, intégrateur, dérivateur, premier ordre, second ordre, retard), résonance et bande passante, tracé d'une fonction de transfert produit, identification d'un modèle à partir d'un diagramme de Bode expérimental.

19méthodes
34exercices corrigés
7problèmes
22pièges
114figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Un système asservi est modélisé, et l'on sait prévoir sa réponse à un échelon. Reste une autre question, que posent les vibrations, les consignes qui varient sans cesse et les capteurs : que fait le système d'une entrée qui oscille ? Ce chapitre étudie la réponse à une entrée sinusoïdale, la représente par les diagrammes de Bode, puis fait le chemin inverse : retrouver un modèle à partir d'un diagramme relevé. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

obtenir $H(\mathrm j\omega)$ , puis le gain, le gain en décibels et la phase à une pulsation ;
tracer le diagramme de Bode asymptotique et l'allure réelle du gain, de l'intégrateur, du dérivateur, du retard, du premier et du second ordre, puis d'un produit ;
dire s'il y a résonance, et la chiffrer ;
calculer ou lire une pulsation de coupure et une bande passante ;
lire sur un diagramme de Bode la sortie permanente pour une entrée sinusoïdale ;
identifier un modèle sur un diagramme relevé et le valider ;
tracer un diagramme de Bode en Python et répondre sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Réponse harmonique

Système linéaire stable, entrée $E_0\sin(\omega t)$ : en régime permanent, $s(t) = E_0\,G(\omega)\sin(\omega t + \varphi(\omega))$ , même pulsation.
$H(\mathrm j\omega)$ : remplacer $p$ par $\mathrm j\omega$ . $G = \lvert H(\mathrm j\omega)\rvert$ (pas le gain statique $K$ ), $\varphi = \arg H(\mathrm j\omega)$ .
Décalage $\Delta t = \lvert\varphi\rvert/\omega$ ( $\varphi$ en rad) ; $\varphi = -360\,f\,\Delta t$ en degrés. Phase en radians dans $s(t)$ .
Somme de sinusoïdes : superposition, chaque composante à sa pulsation.

À retenir Décibels et diagramme de Bode

$G_{dB} = 20\log G$ (log décimal, sans unité) ; $G = 10^{G_{dB}/20}$ .
Repères : $1 \to 0$ dB ; $0{,}707 \to -3$ dB ; $0{,}5 \to -6$ dB ; $0{,}1 \to -20$ dB ; $0{,}01 \to -40$ dB.
Deux courbes, gain et phase, même abscisse $\log\omega$ . Décade : ×10 ; octave : ×2. Dans une décade, 2 à 0,30 et 5 à 0,70.
Produit : les gains en dB et les phases s'additionnent.

À retenir Éléments simples

Élément	Gain	Phase
$K$	$20\log\lvert K\rvert$	0 (−180° si $K < 0$ )
$K/p$	−20 dB/déc, 0 dB en $\omega = K$	−90°
$Kp$	+20 dB/déc	+90°
$K/p^\alpha$	$-20\alpha$ dB/déc	$-90°\alpha$
$\mathrm e^{-Tp}$	0 dB	$-T\omega$ (rad), sans limite

À retenir Premier ordre

\dfrac{K}{1 + \tau p}

Asymptotes : palier $20\log K$ , cassure $1/\tau$ , puis −20 dB/décade ; phase 0 puis −90°.
Réel : −3 dB et −45° à la cassure ; −1 dB et −26,6° une octave avant ; −7 dB et −63,4° une octave après ; écart au plus 3 dB.
Coupure à −3 dB = cassure : bande passante $[0\,;\,1/\tau]$ ; $t_{r5\%}\,\omega_c \approx 3$ .

À retenir Second ordre

\dfrac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}

Asymptotes : palier, cassure en $\omega_0$ , puis −40 dB/décade ; phase 0 puis −180°.
En $\omega_0$ , quel que soit $\xi$ : $G_{dB} = 20\log K - 20\log(2\xi)$ , $\varphi = -90°$ .
$\xi \ge 1$ : deux premiers ordres, cassures $\omega_1$ , $\omega_2$ de milieu logarithmique $\omega_0$ .
Réel au-dessus des asymptotes si $\xi \le 0{,}5$ , au-dessous si $\xi \ge \sqrt2/2$ .
Phase : jamais une arctangente seule au-delà de $\omega_0$ .

À retenir Résonance

Si et seulement si $\xi < \sqrt2/2 \approx 0{,}707$ (dépassement indiciel : dès $\xi < 1$ ).
$\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 2\xi^2} < \omega_0$ ; $Q_r = \dfrac{1}{2\xi\sqrt{1 - \xi^2}}$ ; sommet à $20\log K + 20\log Q_r$ .
Repères : $\xi = 0{,}1$ : 14,0 dB ; 0,2 : 8,14 dB ; 0,3 : 4,85 dB ; 0,5 : 1,25 dB.
Facteur de qualité de la physique $Q = 1/(2\xi)$ : ce n'est pas $Q_r$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Obtenir le gain, le gain en décibels et la phase à une pulsation

Quand l’utiliser

Quand un sujet donne $H(p)$ et demande l'amplitude ou le déphasage de la sortie à une pulsation, ou un point précis du diagramme réel (compétence : résoudre).

Rappel de cours

$H(\mathrm j\omega)$ s'obtient en remplaçant $p$ par $\mathrm j\omega$ . Le module d'un produit est le produit des modules ; l'argument d'un produit est la somme des arguments. Pour un facteur $a + \mathrm jb$ avec $a > 0$ , l'argument vaut $\arctan(b/a)$ .

Démarche

Écrire $H(\mathrm j\omega)$ comme un produit et un quotient de facteurs simples.
Calculer le module de chaque facteur, puis $G$ ; en déduire $G_{dB} = 20\log G$ .
Calculer l'argument de chaque facteur, en vérifiant le signe de sa partie réelle ; sommer, avec un signe moins pour les facteurs du dénominateur.
Donner $G$ avec son unité, $G_{dB}$ sans unité, $\varphi$ en degrés.

Rédaction type

« $H(10\mathrm j) = \dfrac{0{,}8}{(1 + 2\mathrm j)(1 + 0{,}2\mathrm j)}$ . Module : $\dfrac{0{,}8}{\sqrt5\,\sqrt{1{,}04}} = 0{,}351$ (m³/h)/V, soit $G_{dB} = -9{,}10$ dB. Argument : $-\arctan 2 - \arctan 0{,}2 = -63{,}4° - 11{,}3° = -74{,}7°$ . À 10 rad/s, le débit oscille avec 44 % de l'amplitude qu'il aurait en régime statique ( $0{,}351/0{,}8$ ) : c'est plus que le tiers exigé. »

Exemple traité

L'électrovanne proportionnelle d'un réseau d'irrigation goutte-à-goutte règle le débit $q$ (en m³/h) en fonction de la tension de commande $u$ (en V) : $H(p) = \dfrac{0{,}8}{(1 + 0{,}2p)(1 + 0{,}02p)}$ , sur les variations autour du point de fonctionnement. Le cahier des charges demande qu'une variation de commande à 10 rad/s produise encore au moins le tiers de la variation de débit qu'elle produirait en régime statique. Valeurs choisies pour l'exemple. Le calcul de la rédaction type montre l'exigence tenue, avec un retard de phase de 74,7°, soit un décalage de $1{,}30/10 = 0{,}13$ s.

Erreurs fréquentes

Calculer l'argument du dénominateur et oublier le signe moins.
Donner le gain en décibels « en m³/h/V ».
Calculer $\arctan$ d'un rapport dont la partie réelle est négative sans corriger de 180°.

Pour s’entraîner

Exercices 2 et 25.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Lire une sortie sur le diagramme d'un premier ordre ★☆☆

Un système linéaire est décrit par son diagramme de Bode ci-dessous ; c'est un premier ordre de gain $K = 10$ et de constante de temps $\tau = 1$ s.

Le diagramme de Bode du système : gain en décibels et phase en degrés, pulsation de 0,01 à 100 rad/s.

On lui applique, depuis longtemps, l'entrée $e(t) = E_0\sin(40\,t)$ . Lire sur le diagramme le gain en décibels et la phase à 40 rad/s. En déduire l'expression de la sortie en régime permanent.
Calculer le décalage temporel entre l'entrée et la sortie.
Reprendre la question 1 pour une entrée de pulsation 0,1 rad/s. Que fait le système de chacune des deux entrées ?

Indications

Méthodes 3 et 5. Une même pulsation à la sortie ; l'amplitude est multipliée par $G = 10^{G_{dB}/20}$ ; la phase s'ajoute à celle de l'entrée, en radians dans l'expression de $s(t)$ .

Correction détaillée

1. À 40 rad/s, on est à 1,6 décade au-dessus de la cassure (1 rad/s) : la courbe réelle est collée à l'asymptote de pente −20 dB/décade, qui vaut $20\log(10/40) = -12{,}04$ dB. On lit $G_{dB} \approx -12{,}0$ dB, donc $G = 10^{-12/20} = 0{,}250$ . La phase lue est presque −90° ; le calcul donne exactement

\varphi(40) = -\arctan(40) = -88{,}6° = -1{,}546\ \text{rad}.

La sortie a la même pulsation que l'entrée :

s(t) = 0{,}250\,E_0\sin(40\,t - 1{,}546).

\Delta t = \dfrac{\lvert\varphi\rvert}{\omega} = \dfrac{1{,}546}{40} = 0{,}0386\ \text{s} :

la sortie passe par ses maximums 38,6 ms après l'entrée.

3. À 0,1 rad/s, on est une décade sous la cassure : $G = 10/\sqrt{1 + 0{,}01} = 9{,}95$ (19,96 dB, presque le palier de 20 dB) et $\varphi = -\arctan(0{,}1) = -5{,}7°$ . La sortie vaut $9{,}95\,E_0\sin(0{,}1\,t - 0{,}100)$ . Le système amplifie dix fois l'entrée lente, presque sans retard, et divise l'entrée rapide par quatre, avec un quart de période de retard : c'est un passe-bas.

Méthodes à retenir

Lire $G_{dB}$ et $\varphi$ à la pulsation de l'entrée, convertir $G = 10^{G_{dB}/20}$ , écrire la phase en radians dans $s(t)$ ; le décalage vaut $\lvert\varphi\rvert/\omega$ (méthodes 3 et 5).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 7 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi la réponse fréquentielle
2. La réponse harmonique
3. Gain, gain en décibels, phase
4. Le diagramme de Bode
5. Les éléments simples
6. Le premier ordre
7. Le second ordre
8. La résonance
9. Le diagramme d'un produit
10. Bande passante et pulsation de coupure
11. Lire un diagramme de Bode
12. Identifier un modèle sur un diagramme de Bode
13. Relever un diagramme de Bode
14. Le calcul par Python
15. Contrôler et répondre sur le document réponse
16. Histoire de la notion
17. Expériences sans achat
18. Ce qui vient ensuite
Préparer un essai harmonique
En TSI

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Obtenir le gain, le gain en décibels et la phase à une pulsation
Passer des décibels aux rapports et placer une pulsation
Déduire la sortie permanente d'une entrée sinusoïdale
Tracer le diagramme d'un gain, d'un intégrateur, d'un dérivateur, d'un retard
Tracer le diagramme d'un premier ordre
Tracer le diagramme d'un second ordre selon son amortissement
Tracer un second ordre apériodique comme produit de deux premiers ordres
Décider s'il y a résonance et la chiffrer
Tracer le diagramme d'un produit
Tracer la phase réelle d'un produit par points
Calculer ou lire une pulsation de coupure et une bande passante
Relier bande passante et rapidité
Juger la validité d'un modèle sur une bande de pulsations
Identifier une fonction de transfert sur un diagramme de Bode
Exploiter un relevé de mesures sinusoïdales
Tracer un diagramme de Bode en Python
Répondre sur un document réponse
Préparer un essai d'identification fréquentielle
Exploiter le diagramme réel et les relations fournies

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Lire une sortie sur le diagramme d'un premier ordre
Le tableau gain-phase d'un premier ordre en pulsation réduite
Coupure à 0 dB et décibels usuels
Deux sinusoïdes à l'entrée : le système filtre
Un second ordre apériodique tracé comme un produit
Le robot de chantier : un double intégrateur
Le pont de levage : intégrateur et premier ordre sur un document réponse
Un axe asservi : classe 1 et second ordre peu amorti
L'enrouleuse de bobines : identifier la génératrice tachymétrique
Le véhicule électrique : une boucle de courant vue comme un premier ordre
Le mélangeur biaxial : identifier par l'écart de 3 dB
Trois diagrammes à reconnaître
Identifier une FTBO de classe 1
Un filtre LC de traitement de surface : relations fournies

Entraînement (15)

Un second ordre résonant : où passe la courbe réelle
Classe 1 et ordre 3 : un gain sans maximum
Existe-t-il une pulsation de résonance ?
Cinq relevés, un modèle
Le centre d'usinage : la phase dans un produit
Le robot mobile : deux premiers ordres lus sur un document réponse
Le taxiage électrique : un second ordre très amorti
Le chariot retourneur : reconnaître un correcteur sur son diagramme
Le dégrilleur de prise d'eau : un zéro avant les pôles
La rampe de pulvérisation agricole : lire une décomposition
Les sphères de mesure d'un robot d'exploration
La suspension d'une voiture sur une piste en tôle ondulée
Identifier un passe-bande, puis trois réponses permanentes
Un accéléromètre identifié sur un diagramme réel
Préparer l'essai harmonique d'un bloc inconnu

Approfondissement (5)

Du tableau de mesures au modèle
De l'oscilloscope au modèle d'un second ordre
Le sismographe dans l'air, puis dans le vide
Identifier sur des échelles linéaires, puis revenir au temps
Python : tracer, échantillonner, manquer un pic

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le robot imprimeur mobile : diagrammes de Bode de la boucle de position de l'axe Z
CNC 2026, filières MP et PSI, Sciences industrielles, question 10 a
L'orientation de miroirs : justifier la forme d'un diagramme de Bode et identifier ses paramètres
CNC 2020, filières MP et PSI, Sciences industrielles, question 25
La table d'introduction d'un magasin de stockage : forme et tracé du Bode d'une FTBO résonante
CNC 2007, filière MP, Sciences industrielles, questions 19 et 20 a à b
La canne robotisée : du diagramme de Bode au modèle, puis la validité d'un modèle simplifié
CCINP 2018, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 30 à 32
Le stabilisateur gyroscopique d'un bateau de travail : réponse à la houle et modèle simplifié
Mines-Ponts 2022, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 9 et 16
La machine de microfraisage : identification d'un second ordre très peu amorti, avec un zéro
CCINP 2018, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 25 à 27
Le calage des aubes d'un moteur à soufflante non carénée : diagramme de Bode d'un modèle sans amortissement
Banque PT 2022, épreuve SI A, questions 35 à 37

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.