CNC 2020 TSI Mathématiques (épreuve unique) : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques (épreuve unique) du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2020, filière TSI, en 4 heures. Thème : Équation intégrale, série entière et matrices de permutation.

À savoir sur cette copie. Seule version disponible : un scan du sujet officiel sur lequel un lecteur a surligné en jaune deux passages des notations du problème, entouré la définition de la matrice de permutation et ajouté un petit griffonnage ; l'énoncé reste entièrement lisible.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : étude d'une équation intégrale. On montre qu'une fonction continue égale à l'intégrale d'elle-même entre 0 et ax est nulle, d'abord pour a = 1 par une équation différentielle, puis pour a dans ]0,1[ grâce à la formule de Taylor avec reste intégral.
• Exercice 2 : étude d'une série entière. Rayon de convergence d'une série entière à coefficients 1/(1·3·5···(2n+1)), puis équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par sa somme et expression intégrale de celle-ci.
• Problème, partie 1 : exemple n = 3. Matrice d'une permutation de S3 : inversibilité, inverse par la transposée, diagonalisation dans M3(C).
• Problème, partie 2 : généralités. Inversibilité et transposée d'une matrice de permutation, produit de deux telles matrices, inverse.
• Problème, partie 3 : matrice de permutation circulaire. Polynôme caractéristique et valeurs propres complexes de la matrice du cycle d'ordre n, puis base de vecteurs propres formée à l'aide des racines n-ièmes de l'unité.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Équations différentielles linéaires
• Dérivabilité et convexité
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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