Séries entières en MP, MPI, PSI, PC, PT, TSI et TPC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce que le rayon de convergence d'une série entière ?

C'est la borne supérieure, dans [0, +∞], des réels r ≥ 0 tels que la suite (a_nr^n) soit bornée. La série converge absolument pour |z| R. Le rayon est un nombre, jamais un intervalle : on écrit R = 1, et l'intervalle ouvert de convergence est ]-1, 1[.

Q: Comment calculer un rayon de convergence ?

On fixe z ≠ 0 et on applique la règle de d'Alembert à la série numérique Σ|a_nz^n| quand le rapport de deux termes consécutifs a une limite. Si des puissances manquent (série lacunaire), on l'applique au terme général tel qu'il est écrit. Sinon, on compare les coefficients à ceux d'une série connue, ou l'on revient à la définition : une suite (a_nr^n) bornée donne R ≥ r, non bornée R ≤ r.

Q: Que se passe-t-il sur le cercle de convergence ?

Rien de général : Σ z^n diverge en tout point du cercle unité, Σ (z^n)/(n^2) y converge partout, Σ (z^n)/(n) diverge en 1 et converge en -1. L'étude systématique sur le cercle est exclue en TSI et en TPC et n'est pas un objectif ailleurs ; en MP, MPI, PC, PSI et PT, on étudie la somme au bord de l'intervalle dans des cas simples, avec le théorème d'Abel radial en MP et MPI.

Q: Quels sont les développements en série entière usuels ?

Dans toutes les classes : (1)/(1 - x) et ln (1 + x) pour |x| < 1, e^x, cos x, sin x pour tout réel x. Selon la filière s'y ajoutent (1 + x)^α (toutes sauf TPC), Arctan (MP, MPI, PC, PSI, PT et TSI du Maroc), ch et sh (MP, MPI, PC, PSI, PT). Chaque égalité ne vaut que sur l'intervalle de convergence.

Q: Comment montrer qu'une fonction est développable en série entière ?

Par des opérations sur les développements usuels (combinaison, substitution, dérivation, primitive), ou en trouvant une équation différentielle linéaire vérifiée par la fonction, une série solution de rayon strictement positif, et en concluant par l'unicité de la solution du problème de Cauchy. Sauf en TPC, on peut aussi montrer que le reste de Taylor tend vers 0. Être de classe C^∞ ne suffit pas : e^(-1/x^2), prolongée par 0, n'est pas développable.

Q: Peut-on dériver une série entière terme à terme ?

Oui, sur l'intervalle ouvert de convergence ]-R, R[ : la somme y est de classe C^∞, ses dérivées s'obtiennent terme à terme et ont le même rayon. On peut de même intégrer terme à terme sur tout segment inclus dans ]-R, R[. Au bord de l'intervalle, le théorème ne dit rien.

Rayon de convergence, somme d'une série entière, régularité, fonctions développables en série entière et développements usuels, selon les filières.

21méthodes
46exercices corrigés
6problèmes
22pièges
33figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une série entière est une somme sans fin de puissances, $\sum a_nz^n$ . On apprend à calculer son rayon de convergence à partir du lemme d'Abel : par la règle de d'Alembert appliquée à une série numérique, y compris pour les séries lacunaires, par comparaison des coefficients, ou par la définition. On étudie la somme sur l'intervalle ouvert de convergence, où elle se dérive et s'intègre terme à terme, puis les fonctions développables en série entière : développements usuels selon la filière, opérations, et méthode de l'équation différentielle avec l'unicité de Cauchy, utile aussi pour chercher les solutions développables d'une équation. Selon la filière : somme et produit de Cauchy et étude au bord de l'intervalle en MP, MPI, PC, PSI et PT, continuité sur le disque en MP, MPI et PSI du Maroc, théorème d'Abel radial en MP et MPI. Ce chapitre suit le programme de MP, PSI et TSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI et TPC en France, pour le CNC et les concours français.

Ce que tu sauras faire

Une série entière est une somme sans fin de puissances, $a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots$ . Elle prolonge les polynômes : beaucoup de fonctions usuelles s'écrivent ainsi, et une fonction définie par une telle somme se dérive et s'intègre comme un polynôme, terme à terme, tant qu'on reste dans un certain disque. Ce chapitre dit pour quels $z$ la somme a un sens, ce qu'on peut en faire, et quelles fonctions s'écrivent de cette façon. À la fin, tu dois savoir :

calculer le rayon de convergence d'une série entière, y compris quand une partie des puissances manque ;
justifier la régularité de la somme sur l'intervalle ouvert de convergence, la dériver et l'intégrer terme à terme ;
développer une fonction en série entière par les développements usuels, par des opérations, en dérivant ou en intégrant, ou à l'aide d'une équation différentielle ;
chercher les solutions développables en série entière d'une équation différentielle linéaire ;
calculer la somme d'une série entière, et s'en servir pour calculer une somme numérique ou étudier une suite récurrente.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Rayon de convergence

Lemme d'Abel : si $(a_nz_0^n)$ est bornée, $\sum a_nz^n$ converge absolument pour $|z| < |z_0|$ .
Rayon : $R = \sup\{r \geq 0, (a_nr^n) \text{ bornée}\} \in [0, +\infty]$ . C'est un nombre, jamais un intervalle.
$|z| < R$ : convergence absolue ; $|z| > R$ : divergence grossière ; $|z| = R$ : rien de général.
$(a_nz_0^n)$ bornée ou $\sum a_nz_0^n$ convergente : $R \geq |z_0|$ ; non bornée ou divergente : $R \leq |z_0|$ ; convergente sans convergence absolue : $R = |z_0|$ .

À retenir Calculer un rayon

Comparaison : $|a_n| \leq |b_n|$ à partir d'un certain rang donne $R_a \geq R_b$ ; $|a_n| \sim |b_n|$ donne $R_a = R_b$ .
$\sum a_nz^n$ , $\sum na_nz^n$ et $\sum n^\alpha a_nz^n$ ont le même rayon ; $R(\sum n^\alpha z^n) = 1$ .
d'Alembert appliqué à la série numérique $\sum|a_nz^n|$ , à $z \neq 0$ fixé.
Série lacunaire : d'Alembert sur le terme général $u_n(z)$ , jamais sur $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .
Rapport sans limite : retour à la définition.

À retenir Somme d'une variable réelle

Si $R > 0$ et $f(x) = \sum a_nx^n$ sur $]-R, R[$ :

$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur l'intervalle ouvert $]-R, R[$ ; on dérive terme à terme, même rayon ;
la primitive nulle en $0$ est $\sum\frac{a_n}{n + 1}x^{n+1}$ ; on intègre terme à terme sur tout segment inclus dans $]-R, R[$ ;
$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ ;
unicité : deux séries de rayon $> 0$ de même somme au voisinage de $0$ ont les mêmes coefficients ;
$f$ paire si et seulement si les $a_{2p+1}$ sont nuls.

À retenir Fonctions développables

$f$ est DSE sur $]-r, r[$ si $f(x) = \sum a_nx^n$ sur cet intervalle, avec un rayon au moins $r$ ; alors $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ et $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ (série de Taylor).
Réciproque fausse : $e^{-1/x^2}$ , prolongée par $0$ , est $\mathcal{C}^\infty$ , toutes ses dérivées en $0$ sont nulles, et elle n'est pas DSE.
Opérations : combinaison linéaire, $f(cx)$ , $f(x^2)$ , $x^pf(x)$ , dérivée, primitive. Elles donnent d'abord un minorant du rayon.

À retenir Développements usuels communs

Fonction	Développement	Rayon	Égalité pour
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n \geq 0}x^n$	$1$	$\lvert x\rvert < 1$
$\ln(1 + x)$	$\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$	$1$	$\lvert x\rvert < 1$
$e^x$	$\sum_{n \geq 0}\frac{x^n}{n!}$	$+\infty$	$x \in \mathbb{R}$
$\cos x$	$\sum_{n \geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$	$+\infty$	$x \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\sum_{n \geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n + 1)!}$	$+\infty$	$x \in \mathbb{R}$

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer un rayon par la règle de d'Alembert appliquée à une série numérique

Quand l’utiliser

Les coefficients $a_n$ sont explicites, non nuls, et le quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ se simplifie : factorielles, puissances, coefficients binomiaux, fractions rationnelles.

Rappel de cours

Règle de d'Alembert pour une série numérique $\sum u_n$ à termes non nuls : si $\big|\frac{u_{n+1}}{u_n}\big| \to L$ , la série converge absolument si $L < 1$ et diverge grossièrement si $L > 1$ . Le rayon $R$ est caractérisé par : convergence absolue si $|z| < R$ , divergence grossière si $|z| > R$ .

Démarche

Fixer $z \neq 0$ et poser $u_n = a_nz^n$ .
Calculer $\big|\frac{u_{n+1}}{u_n}\big| = \big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|\,|z|$ et sa limite $\ell|z|$ .
Conclure : convergence absolue si $|z| < \frac1\ell$ , divergence grossière si $|z| > \frac1\ell$ , donc $R = \frac1\ell$ (avec $R = +\infty$ si $\ell = 0$ , $R = 0$ si $\ell = +\infty$ ).

Rédaction type

Soit $z \neq 0$ et $u_n = a_nz^n$ . Les $u_n$ sont non nuls et $\big|\frac{u_{n+1}}{u_n}\big| = [\ldots]$ , qui tend vers $[\ell]|z|$ . Par la règle de d'Alembert, $\sum u_n$ converge absolument si $|z| < [\frac1\ell]$ et diverge grossièrement si $|z| > [\frac1\ell]$ . Donc $R = [\frac1\ell]$ .

Exemple traité

Rayon de $\sum\frac{n!}{n^n}z^n$ . Pour $z \neq 0$ ,

\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}\,|z| = \Big(\frac{n}{n + 1}\Big)^n|z| = \exp\Big(-n\ln\Big(1 + \frac1n\Big)\Big)|z| \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{|z|}{e} .

La série converge absolument si $|z| < e$ et diverge grossièrement si $|z| > e$ : $R = e$ .

Erreurs fréquentes

Appliquer la règle à $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ quand des puissances manquent (méthode 2).
Oublier le facteur $|z|$ dans le rapport et conclure $R = \ell$ au lieu de $R = \frac1\ell$ .
Croire que la règle s'applique toujours : sans limite du rapport, elle ne dit rien.

Pour s’entraîner

Exercices 1, 6 et 12.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Une série lacunaire et sa somme ★☆☆

On considère la série entière de la variable réelle $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{3^n}{n}x^{2n}$ .

Déterminer son rayon de convergence $R$ .
Calculer sa somme $S(x)$ sur $]-R, R[$ .

Indications

Méthodes 2, 10 et 12. Seules les puissances paires apparaissent : appliquer la règle de d'Alembert au terme $u_n(x) = \frac{3^n}{n}x^{2n}$ , à $x \neq 0$ fixé. Pour la somme, dériver terme à terme, reconnaître une série géométrique, puis intégrer.

Correction détaillée

1. Soit $x \neq 0$ et $u_n = \frac{3^n}{n}x^{2n} > 0$ . Alors $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3n}{n + 1}x^2 \to 3x^2$ . La série numérique $\sum u_n$ converge si $3x^2 < 1$ et diverge grossièrement si $3x^2 > 1$ . Donc $R = \frac{1}{\sqrt3}$ .

2. Sur $]-R, R[$ , la somme $S$ est dérivable et se dérive terme à terme :

S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}2\cdot3^nx^{2n-1} = \frac{2}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}(3x^2)^n = \frac{2}{x}\cdot\frac{3x^2}{1 - 3x^2} = \frac{6x}{1 - 3x^2}

(pour $x \neq 0$ , et la formule reste vraie en $0$ ). Comme $S(0) = 0$ , on intègre : pour $x \in\ ]-R, R[$ ,

S(x) = -\ln(1 - 3x^2) .

On peut le contrôler par le développement usuel $-\ln(1 - u) = \sum_{n\geq1}\frac{u^n}{n}$ pour $\lvert u\rvert < 1$ , avec $u = 3x^2$ .

Méthodes à retenir

Pour une série lacunaire, le rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ n'a pas de sens : on applique la règle de d'Alembert au terme général entier, puissance comprise. Pour la somme, dériver fait apparaître une série géométrique. Voir les méthodes 2, 10 et 12.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 21 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 46 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Série entière, lemme d'Abel, rayon de convergence
- 1.1 Série entière
- 1.2 Lemme d'Abel
- 1.3 Rayon de convergence
2. Calcul du rayon de convergence
- 2.1 Comparaison des coefficients
- 2.2 Série dérivée
- 2.3 Règle de d'Alembert
- 2.4 Somme et produit de Cauchy de deux séries entières
3. Somme d'une série entière d'une variable réelle
- 3.1 Régularité
- 3.2 Primitive et intégration terme à terme sur un segment
- 3.3 Coefficients et unicité
- 3.4 Variable complexe : continuité sur le disque ouvert
4. Fonctions développables en série entière
- 4.1 Définition, série de Taylor
- 4.2 Développer par des opérations
- 4.3 Développements usuels
5. Séries entières et équations différentielles
- 5.1 Développer une fonction à l'aide d'une équation différentielle
- 5.2 Chercher les solutions développables d'une équation donnée
6. Exponentielle complexe
7. Au bord de l'intervalle de convergence
- 7.1 La question
- 7.2 Le théorème d'Abel radial

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Calculer un rayon par la règle de d'Alembert appliquée à une série numérique
Calculer le rayon d'une série lacunaire
Encadrer le rayon par la définition
Comparer les coefficients à ceux d'une série connue
Trouver le rayon d'une série déduite d'une autre
Justifier la régularité d'une somme, dériver ou intégrer terme à terme
Prolonger une fonction en une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ grâce à un DSE
Utiliser l'unicité : identifier, lire les dérivées en $0$ , exploiter la parité
Développer par les usuels et les opérations
Développer en dérivant puis en intégrant
Décomposer en éléments simples
Calculer la somme d'une série entière
Trouver le développement d'une fonction par une équation différentielle
Chercher les solutions développables en série entière d'une équation différentielle
Calculer une somme numérique ou une intégrale par une série entière
Étudier une suite récurrente par sa série génératrice
Utiliser l'exponentielle complexe
Prouver qu'une fonction est développable par la formule de Taylor
Calculer un rayon et une somme par le produit de Cauchy
Étudier la somme au bord de l'intervalle de convergence
Trouver un équivalent de la somme en $R^-$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (19)

Trois rayons
Une série lacunaire et sa somme
Rayons de séries déduites
Suite bornée, série divergente
Une fraction rationnelle
Une somme en cosinus hyperbolique
Dérivées successives en $0$
Un prolongement de classe $\mathcal{C}^\infty$
Une somme numérique par l'exponentielle
La suite de Fibonacci
Le développement de l'arc sinus
Un développement par l'inégalité de Taylor-Lagrange
Une arc tangente déguisée
Rayon d'une somme
L'exponentielle sur un dénominateur
La série du binôme et une racine carrée
La série dérivée
Continuité sur le disque fermé
Une application du théorème d'Abel radial

Entraînement (20)

Les séries dérivées de la série géométrique
Une somme définie par une équation différentielle
Une primitive sans forme close
Une fraction rationnelle en $n$
Solutions développables d'une équation à point singulier
La fonction de Bessel d'ordre $0$
Un noyau trigonométrique
Une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ non développable
Un tiers de l'exponentielle
Cosinus et cosinus hyperbolique
Rayon et somme par décomposition du coefficient
Une somme qui vaut $\frac{\pi}{3}$
Un critère de développabilité
Arc tangente et logarithme
Les dérangements
Les nombres de Catalan
Une somme au bord
Le quart de l'exponentielle
Une intégrale calculée par une série
Coefficients qui ont une limite

Approfondissement (7)

La suite de Perrin
Le développement de $\cos(\alpha\operatorname{Arcsin}x)$
Le carré de l'arc sinus et une somme
Les involutions
Les nombres de Bell
Des séries de Taylor de rayon nul
Un équivalent de la somme

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Une fonction définie par une intégrale
CNC 2011, filière TSI, Mathématiques I, deuxième problème, questions 1.1 à 1.6 et 2.7 (question 1.4.5 prise pour n ≥ 2, question 2.7 rendue autonome et identification de la solution ajoutée)
Deux fonctions définies comme sommes de séries
CNC 2018, filière PSI, Mathématiques I, exercice, questions 1.1 à 1.7 (question 1.7.3 corrigée)
Une série entière à coefficients rationnels
Banque PT 2023, filière PT, Mathématiques C, préambule et partie I, questions 4 et 5 (indice n ≥ 1 précisé, question 5.d ajoutée)
Fonctions absolument monotones
CNC 2019, filière TSI, Mathématiques I, problème, première partie et deuxième partie, questions 2.1 à 2.6
Bessel et inverse d'une série entière
CCINP 2018, filière PSI, Mathématiques, partie III, questions Q19 à Q21 et Q23 à Q26
La série du binôme intégrée
CNC 2022, filières MP et PSI, Mathématiques I, questions 1.3.1 à 1.3.3, partie 2 et questions 3.3.1 à 3.3.3 (résultats des questions 1.2.2 et 3.2.6 admis, question 1.3.2 corrigée)

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le rayon de convergence d'une série entière ?

C'est la borne supérieure, dans $[0, +\infty]$ , des réels $r \geq 0$ tels que la suite $(a_nr^n)$ soit bornée. La série converge absolument pour $|z| < R$ et diverge grossièrement pour $|z| > R$ . Le rayon est un nombre, jamais un intervalle : on écrit $R = 1$ , et l'intervalle ouvert de convergence est $]-1, 1[$ .

Comment calculer un rayon de convergence ?

On fixe $z \neq 0$ et on applique la règle de d'Alembert à la série numérique $\sum|a_nz^n|$ quand le rapport de deux termes consécutifs a une limite. Si des puissances manquent (série lacunaire), on l'applique au terme général tel qu'il est écrit. Sinon, on compare les coefficients à ceux d'une série connue, ou l'on revient à la définition : une suite $(a_nr^n)$ bornée donne $R \geq r$ , non bornée $R \leq r$ .

Que se passe-t-il sur le cercle de convergence ?

Rien de général : $\sum z^n$ diverge en tout point du cercle unité, $\sum\frac{z^n}{n^2}$ y converge partout, $\sum\frac{z^n}{n}$ diverge en $1$ et converge en $-1$ . L'étude systématique sur le cercle est exclue en TSI et en TPC et n'est pas un objectif ailleurs ; en MP, MPI, PC, PSI et PT, on étudie la somme au bord de l'intervalle dans des cas simples, avec le théorème d'Abel radial en MP et MPI.

Quels sont les développements en série entière usuels ?

Dans toutes les classes : $\frac{1}{1 - x}$ et $\ln(1 + x)$ pour $|x| < 1$ , $e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ pour tout réel $x$ . Selon la filière s'y ajoutent $(1 + x)^\alpha$ (toutes sauf TPC), $\operatorname{Arctan}$ (MP, MPI, PC, PSI, PT et TSI du Maroc), $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ (MP, MPI, PC, PSI, PT). Chaque égalité ne vaut que sur l'intervalle de convergence.

Comment montrer qu'une fonction est développable en série entière ?

Par des opérations sur les développements usuels (combinaison, substitution, dérivation, primitive), ou en trouvant une équation différentielle linéaire vérifiée par la fonction, une série solution de rayon strictement positif, et en concluant par l'unicité de la solution du problème de Cauchy. Sauf en TPC, on peut aussi montrer que le reste de Taylor tend vers $0$ . Être de classe $\mathcal{C}^\infty$ ne suffit pas : $e^{-1/x^2}$ , prolongée par $0$ , n'est pas développable.

Peut-on dériver une série entière terme à terme ?

Oui, sur l'intervalle ouvert de convergence $]-R, R[$ : la somme y est de classe $\mathcal{C}^\infty$ , ses dérivées s'obtiennent terme à terme et ont le même rayon. On peut de même intégrer terme à terme sur tout segment inclus dans $]-R, R[$ . Au bord de l'intervalle, le théorème ne dit rien.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.