Suites et séries de fonctions en MP, MPI, PSI et PC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Quelle différence entre convergence simple et convergence uniforme ?

La suite (f_n) converge simplement vers f si f_n(x) → f(x) pour chaque x : le rang à partir duquel l'écart est petit peut dépendre de x. Elle converge uniformément si sup_x|f_n(x) - f(x)| → 0 : un même rang convient pour tous les x. La convergence uniforme entraîne la convergence simple ; la réciproque est fausse, comme le montre x^n sur [0, 1[, dont la borne supérieure vaut 1 pour tout n.

Q: Comment montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément ?

On identifie d'abord la limite simple f, puis on majore |f_n(x) - f(x)| par une quantité α_n qui ne dépend pas de x et tend vers 0, ou l'on calcule la borne supérieure de |f_n - f| par une étude de fonction. Si cela échoue sur l'intervalle entier, on cherche la convergence uniforme sur tout segment ou sur tout [a, +∞[, ce qui suffit pour la continuité et la dérivation.

Q: Comment montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme ?

On trouve une suite de points x_n telle que |f_n(x_n) - f(x_n)| ne tend pas vers 0, souvent le point où la bosse de f_n est la plus haute. Ou l'on remarque que la limite simple de fonctions continues est discontinue : une limite uniforme serait continue. Par exemple, nxe^(-nx) vaut (1)/(e) en (1)/(n) : la convergence vers 0 n'est pas uniforme sur ℝ_+.

Q: Qu'est-ce que la convergence normale d'une série de fonctions ?

La série Σ u_n converge normalement sur A si la série numérique Σsup_(x ∈ A)|u_n(x)| converge, ou s'il existe α_n indépendant de x avec |u_n(x)| ≤ α_n et Σα_n convergente. Elle entraîne la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point. Une série peut converger uniformément sans converger normalement : c'est souvent le cas des séries alternées, dont on majore alors le reste.

Q: Peut-on intégrer terme à terme une série de fonctions ?

Sur un segment [a, b], oui, si les fonctions sont continues et si la série converge uniformément sur ce segment : ∫_a^bΣ u_n = Σ∫_a^bu_n. Sur un intervalle qui n'est pas un segment, la convergence uniforme ne suffit pas ; on utilise le théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque, vu avec les intégrales dépendant d'un paramètre.

Convergence simple et uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale, continuité, intégration et dérivation de la limite, approximation uniforme selon les filières.

20méthodes
34exercices corrigés
6problèmes
20pièges
36figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une suite de fonctions peut converger en chaque point sans que sa limite garde la continuité, l'intégrale ou la dérivée des fonctions qui l'approchent : $x^n$ converge sur $[0, 1]$ vers une fonction discontinue. On apprend à distinguer la convergence simple de la convergence uniforme, à prouver ou réfuter une convergence uniforme par une majoration indépendante de la variable, à utiliser la convergence normale et le reste des séries alternées pour les séries de fonctions, et à appliquer les théorèmes de continuité, de double limite, d'intégration sur un segment et de dérivation en vérifiant leurs hypothèses sur tout segment ou sur des intervalles adaptés. On étudie enfin des fonctions définies par une série, comme $\zeta$ , jusqu'à leurs limites et leurs équivalents. Selon la filière : continuité en un point et double limite pour une suite en MP, MPI et PSI du Maroc, approximation uniforme et théorème de Weierstrass en MP et MPI, exponentielle dans une algèbre normée en MP du Maroc. Ce chapitre suit le programme de MP et PSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI en France, pour le CNC et les concours français.

Ce que tu sauras faire

Une fonction est souvent définie comme limite d'une suite de fonctions, ou comme somme d'une série de fonctions : $\zeta(x) = \sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^x}$ , $\arctan x = \sum_{n \geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n + 1}$ . Pour l'étudier, il faut savoir si la limite hérite de la continuité, de l'intégrale et de la dérivée des fonctions qui l'approchent. La convergence point par point ne suffit pas : ce chapitre introduit la convergence uniforme, et pour les séries la convergence normale, puis les théorèmes qui permettent de passer à la limite. À la fin, tu dois savoir :

étudier la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions, puis sa convergence uniforme ;
prouver une convergence uniforme par une majoration indépendante de la variable, ou la réfuter ;
prouver la convergence normale d'une série de fonctions, ou sa convergence uniforme sans elle par le reste ;
justifier la continuité, une limite en une borne, l'intégration sur un segment et la dérivation d'une limite ou d'une somme, en vérifiant les hypothèses sur les bons ensembles ;
étudier une fonction définie par une série : domaine, régularité, limites, équivalents.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Modes de convergence

Simple sur $A$ : pour tout $x \in A$ , $f_n(x) \to f(x)$ ; le rang dépend de $x$ .
Uniforme sur $A$ : $\sup_{x \in A}|f_n(x) - f(x)| \to 0$ ; un même rang pour tous les $x$ . Pour des fonctions bornées, c'est la convergence pour $\lVert\cdot\rVert_\infty$ .
Uniforme entraîne simple ; la réciproque est fausse ( $x^n$ sur $[0, 1[$ ).
Série $\sum u_n$ : simple, uniforme par les sommes partielles $S_n$ ; uniforme si et seulement si $\sup_A|R_n| \to 0$ (une fois la convergence simple acquise).
Normale sur $A$ : $\sum\lVert u_n\rVert_{\infty, A}$ converge, ou $|u_n(x)| \leq \alpha_n$ pour tout $x$ avec $\sum\alpha_n$ convergente.
Normale entraîne uniforme et absolue en tout point ; les réciproques sont fausses.
Si $\sum u_n$ converge uniformément, $(u_n)$ converge uniformément vers $0$ .

À retenir Les théorèmes et leur hypothèse

On veut	Hypothèse de convergence	Où la vérifier
$f$ ou $S$ continue sur $I$	uniforme	sur tout segment de $I$ , ou sur des intervalles tels que chaque point de $I$ ait un voisinage dans $I$ contenu dans l'un d'eux
limite de $S$ en une borne $a$	uniforme	sur un intervalle de bord $a$
$\int_a^bf_n \to \int_a^bf$ , ou $\int_a^b\sum = \sum\int_a^b$	uniforme, fonctions continues	sur le segment $[a, b]$
$f$ ou $S$ de classe $\mathcal{C}^1$	simple de $(f_n)$ , uniforme de $(f_n')$	sur tout segment de $I$
classe $\mathcal{C}^k$	simple jusqu'à l'ordre $k - 1$ , uniforme à l'ordre $k$	sur tout segment de $I$

À retenir Double limite pour une série

Si $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$ et si $u_n(x) \to \ell_n$ quand $x$ tend vers une borne $a$ de $I$ , alors $\sum\ell_n$ converge et $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x) \to \sum_{n=0}^{+\infty}\ell_n$ . Démonstration non demandée.

À retenir Séries alternées de fonctions

Si, pour tout $x$ , $\sum u_n(x)$ vérifie le critère spécial, $|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)|$ ; la série converge uniformément dès que $\sup_A|u_{n+1}| \to 0$ . Exemple : $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n + x}}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}_+$ sans converger normalement.

À retenir Contre-exemples à connaître

$x^n$ sur $[0, 1]$ : limite simple discontinue ; uniforme sur tout $[0, a]$ , $a < 1$ , pas sur $[0, 1[$ .
$nxe^{-nx}$ sur $\mathbb{R}_+$ : $\sup = \frac1e$ ; uniforme sur $[a, +\infty[$ , pas sur $\mathbb{R}_+$ .
$n^2x(1 - x)^n$ sur $[0, 1]$ : limite simple nulle, intégrale $\frac{n^2}{(n + 1)(n + 2)} \to 1$ .
$\sqrt{x^2 + \frac1n} \to |x|$ uniformément sur $\mathbb{R}$ , limite non dérivable en $0$ .
$\sum\frac{x^2}{(1 + x^2)^n}$ sur $\mathbb{R}$ : absolue en tout point, somme discontinue en $0$ , pas uniforme.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Prouver la convergence uniforme par une majoration indépendante de

x

Quand l’utiliser

Le calcul exact de la borne supérieure est pénible, mais une inégalité classique majore $|f_n(x) - f(x)|$ .

Rappel de cours

S'il existe une suite $(\alpha_n)$ , sans $x$ , telle que $|f_n(x) - f(x)| \leq \alpha_n$ pour tout $x \in A$ et $\alpha_n \to 0$ , alors la convergence est uniforme sur $A$ .

Démarche

Écrire $f_n(x) - f(x)$ sous une forme commode (quantité conjuguée, inégalité des accroissements finis, inégalité de convexité, développement).
Majorer sa valeur absolue par une quantité qui ne dépend que de $n$ , en utilisant que $x$ reste dans $A$ .
Vérifier que cette quantité tend vers $0$ .

Rédaction type

Pour tout $x \in [A]$ , $|f_n(x) - f(x)| \leq [\ldots] \leq [\alpha_n]$ , où $\alpha_n$ ne dépend pas de $x$ . Comme $\alpha_n \to 0$ , $\sup_{x \in A}|f_n(x) - f(x)| \leq \alpha_n \to 0$ : la convergence est uniforme sur $[A]$ .

Exemple traité

Soit $f_n(x) = n\sin\big(\frac{x}{n}\big)$ sur $[0, 1]$ , $n \geq 1$ . Pour $u \geq 0$ , $u - \frac{u^3}{6} \leq \sin u \leq u$ (étude des différences, deux dérivations). Avec $u = \frac{x}{n}$ et en multipliant par $n$ ,

-\frac{x^3}{6n^2} \leq n\sin\Big(\frac{x}{n}\Big) - x \leq 0, \qquad \text{donc} \qquad |f_n(x) - x| \leq \frac{x^3}{6n^2} \leq \frac{1}{6n^2}

pour tout $x \in [0, 1]$ . La suite converge uniformément vers $x \mapsto x$ sur $[0, 1]$ . Sur $\mathbb{R}_+$ entier, le même majorant $\frac{x^3}{6n^2}$ n'est pas borné : il faut alors une autre étude.

Erreurs fréquentes

Garder $x$ dans le majorant (« $\leq \frac{x^3}{6n^2}$ , qui tend vers $0$ ») sans le borner sur $A$ .
Majorer une quantité négative en oubliant la valeur absolue.
Utiliser une inégalité vraie seulement pour $x$ petit sur tout l'intervalle.

Pour s’entraîner

Exercices 5 et 9.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Uniforme sans être normale ★★☆

On considère la suite $(u_n)_{n\geq1}$ de fonctions définies sur $[0, +\infty[$ par

u_n(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{n}e^{-nx} .

Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq1}u_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ . On note $g$ sa somme.
Justifier que $g$ est continue sur $[0, +\infty[$ .
Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et donner une expression simple de $g'$ à l'aide de fonctions usuelles.
En admettant que $g(0) = \ln 2$ , donner une expression simple de $g(x)$ .
(Question ajoutée.) La série converge-t-elle normalement sur $[0, +\infty[$ ?

Indications

Méthodes 8 et 13. Pour 1, le critère spécial des séries alternées à $x$ fixé, avec la majoration du reste. Pour 3, les dérivées $u_n'$ forment une série géométrique, normalement convergente sur $[a, +\infty[$ .

Analyse : comment trouver l’idée

La norme de $u_n$ sur $[0, +\infty[$ vaut $\frac{1}{n}$ (en $x = 0$ ) : pas de convergence normale. Le signe alterné est la seule ressource : le reste se majore par son premier terme, majorant qu'on rend indépendant de $x$ .

Correction détaillée

1. Fixons $x \geq 0$ . La suite $\big(\frac{e^{-nx}}{n}\big)_{n\geq1}$ est positive, décroissante (produit de deux suites positives décroissantes) et tend vers $0$ . Par le critère spécial des séries alternées, $\sum u_n(x)$ converge et son reste vérifie

\lvert R_n(x)\rvert \leq \lvert u_{n+1}(x)\rvert = \frac{e^{-(n+1)x}}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1} .

Le majorant $\frac{1}{n + 1}$ ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ : $\sup_{x\geq0}\lvert R_n(x)\rvert \to 0$ , la série converge uniformément sur $[0, +\infty[$ .

2. Les $u_n$ sont continues sur $[0, +\infty[$ et la série y converge uniformément : $g$ est continue sur $[0, +\infty[$ .

3. Les $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ , de dérivées $u_n'(x) = (-1)^ne^{-nx}$ . La série $\sum u_n$ converge simplement (question 1). Soit $a > 0$ : pour $x \geq a$ , $\lvert u_n'(x)\rvert \leq e^{-na}$ , terme d'une série géométrique convergente ; $\sum u_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur $[a, +\infty[$ . Tout segment de $]0, +\infty[$ est contenu dans un tel intervalle. Par le théorème de dérivation terme à terme, $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et, pour $x > 0$ (série géométrique de raison $-e^{-x}$ ),

g'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^ne^{-nx} = \frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}} .

4. La fonction $h : x \mapsto \ln(1 + e^{-x})$ a pour dérivée $\frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}}$ sur $]0, +\infty[$ . Donc $g - h$ est constante sur l'intervalle $]0, +\infty[$ ; $g$ et $h$ sont continues en $0$ , donc la constante vaut $g(0) - h(0) = \ln 2 - \ln 2 = 0$ . Ainsi $g(x) = \ln(1 + e^{-x})$ pour tout $x \geq 0$ .

5. $\sup_{x\geq0}\lvert u_n(x)\rvert = \frac{1}{n}$ , atteint en $0$ , et $\sum\frac{1}{n}$ diverge : la convergence n'est pas normale sur $[0, +\infty[$ .

Méthodes à retenir

Pour une série alternée de fonctions, on majore le reste par le premier terme négligé, puis on rend ce majorant indépendant de $x$ . C'est le cas type de convergence uniforme sans convergence normale. Voir les méthodes 8 et 13.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 20 pièges corrigés, la carte mentale, 34 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Convergence simple et convergence uniforme
- 1.1 Convergence simple
- 1.2 Convergence uniforme
- 1.3 Convergence uniforme sur des parties
2. Régularité de la limite d'une suite de fonctions
- 2.1 Continuité
- 2.2 Intégration sur un segment
- 2.3 Dérivation
- 2.4 Double limite pour une suite
3. Séries de fonctions : modes de convergence
- 3.1 Convergence simple et convergence uniforme
- 3.2 Convergence normale
- 3.3 Séries alternées de fonctions
4. Régularité de la somme d'une série de fonctions
- 4.1 Continuité
- 4.2 Double limite : intervertir une limite et une somme
- 4.3 Intégration terme à terme sur un segment
- 4.4 Dérivation terme à terme
5. Étude d'une fonction définie par une série
6. Approximation uniforme
- 6.1 Approximation par des fonctions en escalier
- 6.2 Le théorème de Weierstrass
7. Applications dans une algèbre normée de dimension finie

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Organiser l'étude d'une suite ou d'une série de fonctions
Étudier la convergence simple
Prouver la convergence uniforme par le calcul de $\sup\lvert f_n - f\rvert$
Prouver la convergence uniforme par une majoration indépendante de $x$
Prouver l'absence de convergence uniforme
Se restreindre : convergence uniforme sur tout segment, sur $[a, +\infty[$ , au voisinage d'un point
Prouver la convergence normale d'une série de fonctions
Prouver la convergence uniforme d'une série sans convergence normale : majorer le reste
Prouver qu'une série ne converge pas normalement, ou pas uniformément
Montrer la continuité d'une limite ou d'une somme
Trouver la limite d'une somme en une borne : double limite ou encadrement
Intégrer sur un segment une limite uniforme ou une série terme à terme
Montrer qu'une limite ou une somme est de classe $\mathcal{C}^1$
Montrer qu'une somme est de classe $\mathcal{C}^k$ ou $\mathcal{C}^\infty$
Trouver un équivalent d'une somme en une borne
Exploiter une relation fonctionnelle ou la monotonie d'une somme
Étudier une suite de fonctions définie par récurrence
Approcher uniformément une fonction par des fonctions en escalier ou affines par morceaux
Utiliser le théorème de Weierstrass, et en connaître les limites
Dériver $t \mapsto \exp(ta)$ , et justifier la continuité d'une somme dans une algèbre normée

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (14)

Convergence simple, puis uniforme
Calculer une norme uniforme
Le critère séquentiel
Une bosse en $0$
Limite d'une intégrale sur un segment
La série géométrique, série de fonctions
Convergence normale sur des parties
Limite uniforme, dérivées divergentes
Une limite classique, uniformément sur tout segment
Une suite à étudier sur trois intervalles
Double limite pour une suite, continuité en un point
Approcher $x^2$ par des fonctions en escalier
Moments nuls
Exponentielle d'une matrice triangulaire

Entraînement (15)

Uniforme sans être normale
Le terme général d'une série uniformément convergente
Une somme et la constante d'Euler
Étude complète d'une somme
Une somme alternée et sa relation fonctionnelle
Une suite d'intégrales qui ne suit pas la limite
Une série de fonctions définie par récurrence
Un équivalent par le terme dominant
Modes de convergence et somme explicite
Une intégrale calculée par une série alternée
Une somme croissante
Primitives et convergence uniforme
Limite uniforme de polynômes sur $\mathbb{R}$
Le lemme de Riemann-Lebesgue sur un segment
Dériver un inverse par une série

Approfondissement (5)

Un équivalent par comparaison à une intégrale
Une limite qui n'est pas celle des termes
Uniforme sur $\mathbb{R}_+$ sans être normale
Des polynômes qui approchent $\sqrt{x}$
Polynômes à coefficients entiers

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

La fonction zêta et la fonction zêta alternée
CNC 2021, filières MP et PSI, Mathématiques I, partie 2, questions 1 à 5 (partie 1 remplacée par un rappel, domaine de la question 2 corrigé)
Une fonction définie par une série et son équation différentielle
CNC 2023, filières MP et PSI, Mathématiques I, troisième partie, questions 3.1 à 3.3.4
Des polynômes qui approchent la valeur absolue
CNC 2009, filière MP, Mathématiques I, deuxième partie, A, B et C (questions B.1 et B.3.b adaptées, question C.4 corrigée)
Une suite de bosses
CCINP 2015, filière PC, Mathématiques, problème 1, partie 1, questions 1, 2.d, 2.e, 3, 4 et 5
Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass
CNC 2016, filière MP, Mathématiques I, problème 1, parties I et III, questions I.1 à I.5, III.1 et III.2 (question I.4.c.ii corrigée)
Séries de Lambert
CCINP 2019, filière MP, Mathématiques 1, problème, questions Q4 (sans la remarque finale), Q5, Q6, Q10, Q11 et Q12 (hypothèse sur la suite (a_n) remplacée)

Sujets de concours sur ce chapitre

5 sujets à télécharger gratuitement en PDF, sans corrigé. Tous les sujets de concours.

e3a-Polytech 2026 PSI, Mathématiques
Exercice 2 : suite récurrente et série de fonctions
e3a-Polytech 2025 PSI, Mathématiques
Exercice 1 : une série de fonctions
e3a-Polytech 2023 PSI, Mathématiques
Exercice 2 : intégrales et séries de fonctions
e3a-Polytech 2022 PC, Mathématiques
Exercice 2 : série alternée des intégrales de cos^n
e3a-Polytech 2020 PSI, Mathématiques
Exercice 1 : une série de fonctions alternée

Questions fréquentes

Quelle différence entre convergence simple et convergence uniforme ?

La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ si $f_n(x) \to f(x)$ pour chaque $x$ : le rang à partir duquel l'écart est petit peut dépendre de $x$ . Elle converge uniformément si $\sup_x|f_n(x) - f(x)| \to 0$ : un même rang convient pour tous les $x$ . La convergence uniforme entraîne la convergence simple ; la réciproque est fausse, comme le montre $x^n$ sur $[0, 1[$ , dont la borne supérieure vaut $1$ pour tout $n$ .

Comment montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément ?

On identifie d'abord la limite simple $f$ , puis on majore $|f_n(x) - f(x)|$ par une quantité $\alpha_n$ qui ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ , ou l'on calcule la borne supérieure de $|f_n - f|$ par une étude de fonction. Si cela échoue sur l'intervalle entier, on cherche la convergence uniforme sur tout segment ou sur tout $[a, +\infty[$ , ce qui suffit pour la continuité et la dérivation.

Comment montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme ?

On trouve une suite de points $x_n$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tend pas vers $0$ , souvent le point où la bosse de $f_n$ est la plus haute. Ou l'on remarque que la limite simple de fonctions continues est discontinue : une limite uniforme serait continue. Par exemple, $nxe^{-nx}$ vaut $\frac1e$ en $\frac1n$ : la convergence vers $0$ n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}_+$ .

Qu'est-ce que la convergence normale d'une série de fonctions ?

La série $\sum u_n$ converge normalement sur $A$ si la série numérique $\sum\sup_{x \in A}|u_n(x)|$ converge, ou s'il existe $\alpha_n$ indépendant de $x$ avec $|u_n(x)| \leq \alpha_n$ et $\sum\alpha_n$ convergente. Elle entraîne la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point. Une série peut converger uniformément sans converger normalement : c'est souvent le cas des séries alternées, dont on majore alors le reste.

Peut-on intégrer terme à terme une série de fonctions ?

Sur un segment $[a, b]$ , oui, si les fonctions sont continues et si la série converge uniformément sur ce segment : $\int_a^b\sum u_n = \sum\int_a^bu_n$ . Sur un intervalle qui n'est pas un segment, la convergence uniforme ne suffit pas ; on utilise le théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque, vu avec les intégrales dépendant d'un paramètre.

Qu'est-ce que le théorème de Weierstrass ?

Toute fonction continue sur un segment, à valeurs réelles ou complexes, est limite uniforme d'une suite de polynômes. Il est au programme de MP et de MPI, sans démonstration exigible, et n'est pas au programme de PC et de PSI. Il ne vaut que sur un segment : $\frac1x$ n'est pas limite uniforme de polynômes sur $]0, 1]$ , car elle n'est pas bornée.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.