Prepa Helpe3a-Polytech 2025 PSI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2025, filière PSI, en 4 heures. Thème : Série de fonctions exp(-x racine(n)), polynômes propres de P'' - 4XP' et points critiques, matrices de Vect(I_n, J) et système différentiel.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : une série de fonctions. Fonctions u_n(x) = exp(-x racine(n)) : domaine de convergence, décroissance de la somme f, convergence normale sur [1, +infini[, limite en +infini et calcul de l'intégrale de f sur [1, +infini[ comme somme d'une série.
- Exercice 2 : polynômes propres et points critiques. Endomorphisme P -> P'' - 4X P' de R_n[X] : matrice, diagonalisabilité, polynômes propres unitaires H_p et relations entre eux, puis points critiques de G(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 moins la somme des ln|x - y|, obtenus à partir d'un polynôme propre de degré 3.
- Exercice 3 : matrices de Vect(I_n, J) et système différentiel. Matrice J dont tous les coefficients valent 1 : puissances, rang, noyau, image, diagonalisation et orthogonalité de Im(J) et Ker(J), puis matrice M_r de Vect(I_n, J), puissances, diagonalisation et résolution du système Z' = M_r Z pour n = 3.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Suites et séries de fonctions
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Équations différentielles linéaires
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