Prepa Helpe3a-Polytech 2020 PSI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2020, filière PSI, en 4 heures. Thème : Série alternée de fonctions, matrices à diagonale propre, intégrales impropres de fonctions périodiques et isométrie d'un plan.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : une série de fonctions alternée. Série des (-1)^n/racine(1 + nx) sur [1, +infini[ : convergence simple, absence de convergence normale, convergence uniforme, limite de la somme en +infini et développement asymptotique de la somme à l'ordre 1/x^(3/2).
- Exercice 2 : matrices à diagonale propre. Matrices dont le polynôme caractéristique est le produit des X - a_ii : exemples, condition sur une matrice 3 x 3, probabilité qu'une matrice construite avec trois variables géométriques indépendantes le soit, calcul de tr(A^T A) et caractérisation des matrices symétriques réelles à diagonale propre.
- Exercice 3 : intégrales impropres et fonctions périodiques. Existence de I(lambda), intégrale de (lambda - f(t))/t sur [a, +infini[, unicité de lambda, cas d'une fonction f continue et périodique avec la primitive H_lambda bornée, puis équivalents des intégrales de |sin(nt)|/sin(t) et |sin(nt)|/t sur [0, pi/2].
- Exercice 4 : un produit scalaire et une isométrie du plan. Forme bilinéaire symétrique définie par Phi(i,i) = Phi(j,j) = 1 et Phi(i,j) = cos(theta) : produit scalaire, isométrie f de matrice C, base orthonormée adaptée, reconnaissance d'une rotation et valeurs de theta pour lesquelles f^m = id.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Suites et séries de fonctions
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Nombres complexes et trigonométrie
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