e3a-Polytech 2024 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2024, filière PSI, en 4 heures. Thème : Matrices aléatoires et binôme, opérateur intégral de noyau min(x, t), matrices I_n + alpha U_X + beta U_Y, équivalent d'une intégrale.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : matrices aléatoires triangulaires. Coefficient de X^n dans (1 + X)^(2n) et somme des carrés des coefficients binomiaux, condition de diagonalisabilité d'une matrice triangulaire 2 x 2, puis probabilités que A(omega), construite avec deux variables binomiales indépendantes, soit diagonalisable ou inversible.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Exercice 2 : l'opérateur T de noyau min(x, t). Équation y'' + alpha y = 0, dérivée d'une intégrale fonction de sa borne, fonction F(x) intégrale de min(x, t) f(t) qui vérifie F'' = -f, endomorphisme T de C^0([0, 1], R), injectivité, image, puis valeurs propres et sous-espaces propres de T.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Exercice 3 : réduction de M = I_n + alpha X X^T + beta Y Y^T. Matrice symétrique M construite sur deux vecteurs libres X et Y : rang, image, noyau et polynôme annulateur de U_X = X X^T, cas beta = 0, puis plan F = Vect(X, Y) stable, matrice G de l'endomorphisme induit et valeurs propres de M.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Exercice 4 : équivalent d'une suite d'intégrales. Intégrale gamma_n de (1 - t^(1/n))/(1 - t)^(1 + 1/n) : existence, encadrement de l'exponentielle par ses sommes partielles, limites d'intégrales, développement de l'intégrale de -ln(t)/(1 - t) en série et équivalent gamma_n ~ pi^2/(6n).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Compléments d'algèbre linéaire
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles

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