e3a-Polytech 2026 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2026, filière PSI, en 4 heures. Thème : Extremum d'une fonction de n variables, suite récurrente et série de fonctions, polynômes propres orthogonaux, dés truqués et fonctions génératrices.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : extremum d'une fonction de n variables. Formule de Taylor-Young à l'ordre 2, rang et valeurs propres de la matrice J, caractère défini positif de I_n + J, puis gradient, point critique unique, hessienne et nature de l'extremum d'une fonction polynomiale de degré 2 sur R^n.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Exercice 2 : suite récurrente et série de fonctions. Suite v_(n+1) = f(v_n) avec f logarithmique sur [-1, 1] : intervalle stable, inégalité des accroissements finis, convergence vers 0, puis convergence uniforme sur [-1, 1] de la série des fonctions u_n définies par la même récurrence.
  À revoir : Suites récurrentes, Dérivabilité et convexité, Séries numériques et vectorielles, Suites et séries de fonctions
• Exercice 3 : un endomorphisme de R_n[X] et ses polynômes propres. Endomorphisme P -> ((X^2 - 1)P)'' : matrice, valeurs propres distinctes, diagonalisabilité, base de polynômes propres unitaires Q_k, parité, produit scalaire intégral de poids 1 - t^2 sur [-1, 1], symétrie de l'endomorphisme et orthogonalité de la base.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Exercice 4 : peut-on truquer deux dés ?. Racines de X^11 - 1 et de 1 + X + ... + X^10, fonctions génératrices de deux dés indépendants, factorisation G_S(t) = t^2 Q(t) R(t) et contradiction montrant que la somme de deux dés ne peut pas suivre une loi uniforme.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Suites récurrentes
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Suites et séries de fonctions
• Compléments d'algèbre linéaire
• Nombres complexes et trigonométrie
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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