Prepa Helpe3a-Polytech 2023 PSI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2023, filière PSI, en 4 heures. Thème : Couple aléatoire et matrice de rang 1, intégrales et séries de fonctions, matrices de type n, intégrales de Fresnel.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : loi conjointe et matrice de rang 1. Couple (X, Y) à valeurs dans [1, n + 1]^2 de loi conjointe donnée : constante, lois marginales, indépendance, loi de X - 1, puis matrice B associée : rang, image, noyau, écriture B = CL, relation B^2 = tr(B) B, valeurs propres et diagonalisabilité.
- Exercice 2 : intégrales et séries de fonctions. Division de X^(n+1) - 1 par X - 1, somme d'une série géométrique, limite d'une suite d'intégrales u_n, puis étude de la série des u_n - l par interversion série-intégrale et convergence normale, jusqu'à un développement asymptotique en n.
- Exercice 3 : matrices de type n. Matrices A dont la transposée vaut A^n : types 0, 1 et -1, exemple d'une matrice de rotation de taille 3, puis cas général avec B = A^T A symétrique positive, projection orthogonale, égalité des noyaux et des images, supplémentarité orthogonale de Im(A) et Ker(A).
- Exercice 4 : calcul des intégrales de Fresnel. Questions de cours sur exp(i theta) et les séries alternées, fonction F définie par une intégrale à paramètre sur [0, 1], convergence des intégrales de exp(iu)/racine(u), série alternée des w_n et valeur de l'intégrale de exp(i t^2) sur [0, +infini[.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Suites et séries de fonctions
- Nombres complexes et trigonométrie
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.