e3a-Polytech 2022 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2022, filière PSI, en 4 heures. Thème : Loi discrète et télescopage, opérateur de moyenne sur R_n[X], équation différentielle et série entière, matrices orthotransposables.

Lire le sujet 8 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,3 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : une variable aléatoire à valeurs dans N*. Décomposition de 3/(n(n + 3)), choix de la constante alpha pour que P(X = n) soit proportionnel à 1/(n(n+1)(n+2)(n+3)), puis calcul de E(X), de E(X(X + 1)) et de V(X) par télescopage.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Exercice 2 : un endomorphisme de R_n[X]. Application qui associe à P le polynôme Q égal à la moyenne de P sur [1, x], via la division de X^p - 1 par X - 1 : endomorphisme, automorphisme et inverse exprimé avec les dérivées, matrice triangulaire, spectre, diagonalisabilité, multiplicité des racines et sous-espaces propres.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Exercice 3 : équation différentielle et série entière. Solutions de x y'' + y' - 4 x y = 0 : recherche d'une solution développable en série entière, étude de la fonction F, intégrale de exp(2x cos t) sur [0, 2 pi], régularité C^infini par domination, développement de F à l'aide des intégrales J_n de cos^n sur [0, 2 pi] et comparaison avec la solution trouvée.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Exercice 4, partie 1 : matrices orthogonales et produits AB, BA. Stabilité de O_n(R) par transposition et produit, égalité des polynômes caractéristiques de AB et BA par un calcul de déterminants par blocs, diagonalisation de M^T M en base orthonormée et existence de R orthogonale avec M^T M = R^T M M^T R.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Exercice 4, partie 2 : matrices orthotransposables. Matrices M telles que Q^T M Q = M^T pour une Q orthogonale : cas des matrices symétriques, stabilité des antisymétriques par conjugaison orthogonale, cas n = 2 où toute matrice l'est, puis condition nécessaire det[M^T, M] = 0 pour n impair.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.