Prepa Helpe3a-Polytech 2022 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2022, filière PC, en 4 heures. Thème : Sauts successifs et loi d'une variable aléatoire, série d'intégrales de Wallis alternée, diagonalisation simultanée en dimension n, intégrale de (sin t / t)^2.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : un sauteur et la loi du dernier saut réussi. Probabilités composées, loi de la variable X égale au numéro du dernier saut réussi, vérification que les probabilités somment à 1 à l'aide de la série de l'exponentielle et calcul de l'espérance.
- Exercice 2 : série alternée des intégrales de cos^n. Convergence par le critère des séries alternées, calcul d'une intégrale par linéarisation, impossibilité d'une intégration terme à terme, puis somme de la série par convergence dominée.
- Exercice 3 : deux endomorphismes de R^n diagonalisables dans une même base. Matrices de f et g = f - id, image et noyau supplémentaires orthogonaux, spectre de g par l'endomorphisme induit puis par g^2, matrice de passage et résolution d'un système différentiel X' = FX + tU.
- Exercice 4 : intégrale à paramètre et valeur de l'intégrale de (sin t / t)^2. Fonction f(x) intégrale de e^(-xt)(sin t / t)^2 : définition et continuité, classe C2 par domination, expression de f'' par passage aux complexes, limites en l'infini, expression de f et valeur de l'intégrale.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Suites et séries de fonctions
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
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