Prepa Helpe3a-Polytech 2023 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2023, filière PC, en 4 heures. Thème : Endomorphisme annulé par X^2 - 3X + 2, variable aléatoire et équivalent d'une somme, symétries orthogonales par rapport à une droite, intégrales à paramètre I_n(x).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : endomorphisme vérifiant u^2 - 3u + 2 id = 0. Diagonalisabilité par polynôme annulateur, valeurs propres possibles, décomposition E = Ker(v) + Ker(w) en somme directe, puis application à une matrice d'ordre 3 avec matrice de passage.
- Exercice 2 : variable aléatoire X_n et équivalent de son espérance. Développement limité de (1 - x)^a, série télescopique, loi d'une variable à valeurs dans N*, intégrales I_p comparées à une somme harmonique, encadrement par ln(n) et équivalent de l'espérance quand n tend vers l'infini.
- Exercice 3 : symétries orthogonales par rapport à une droite. Endomorphisme phi_u, involution conservant le produit scalaire, nature géométrique, exemple dans R^3 avec projections orthogonales sur un plan et sa normale, puis réciproque.
- Exercice 4 : intégrales à paramètre I_n(x) de (1 - t^2)^n cos(tx). Parité, classe C^k par récurrence, relation entre I_n' et I_(n+1), valeur de I_n(0) avec des factorielles, somme alternée associée et développement en série entière de I_n.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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