Prepa Helpe3a-Polytech 2024 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2024, filière PC, en 4 heures. Thème : Endomorphisme T_lambda de R_2n[X] défini par une forme linéaire intégrale, loi de Poisson et parité, nature de la série de sin(n^a)/n, produit scalaire sur R[X] défini par une série.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : forme linéaire intégrale et endomorphisme T_lambda sur R_2n[X]. Produit scalaire intégral sur [-1,1], noyau de la forme L(P) intégrale de P, supplémentaire orthogonal, endomorphisme T_lambda(P) = P + lambda L(P) X : matrice, valeurs propres, diagonalisabilité, composée et inverse.
- Exercice 2 : loi de Poisson, parité et produit par une variable indépendante. Loi de la variable indicatrice de l'imparité d'une variable de Poisson exprimée avec sh et ch, puis loi du produit T = XZ avec Z uniforme sur {1, 2} et probabilité que T soit pair.
- Exercice 3 : nature de la série de terme général sin(n^a)/n. Comparaison série-intégrale par l'inégalité des accroissements finis, convergence de l'intégrale de sin(t)/t par intégration par parties et changement de variable, convergence de la série et étude de la convergence absolue.
- Exercice 4 : produit scalaire sur R[X] défini par une série. Convergence absolue de la somme des 2^(-n) P(n) Q(n), produit scalaire, sommes des n^a 2^(-n) par dérivation d'une série géométrique, puis distance de X^2 à R_1[X].
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Dérivabilité et convexité
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