Prepa Helpe3a-Polytech 2020 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2020, filière PC, en 4 heures. Thème : Réduction d'une matrice à paramètre, intégrale à paramètre, série entière définie par récurrence, matrices vérifiant 2M^2 = 3M - I et produit scalaire sur R_2[X].
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : réduction d'une matrice d'ordre 3 à paramètre. Valeurs du réel a pour lesquelles M_a est diagonalisable ou inversible, puis similitude avec une matrice triangulaire lorsque M_a n'est pas diagonalisable.
- Exercice 2 : intégrale à paramètre f(x) de e^(-t)/(1+xt). Définition de f sur R+, sens de variation par comparaison des intégrandes, puis limite de f en l'infini à l'aide de la suite (f(n)).
- Exercice 3 : série entière associée à une suite définie par récurrence. Encadrement de a_n par récurrence, rayon de convergence, produit de Cauchy avec la série des x^n/(n+2), équation vérifiée par la somme f, expression de f à l'aide de fonctions usuelles et somme des a_n/2^n.
- Exercice 4 : matrices vérifiant 2M^2 = 3M - I_n et loi définie par une récurrence. Sous-espace F = Vect(I_n, M, M^2), base adaptée, calculs dans F et recherche des matrices T de F telles que T^2 = M, puis loi d'une variable aléatoire dont les probabilités suivent une récurrence linéaire d'ordre 2, espérance et variance.
- Exercice 5 : produit scalaire sur R_2[X]. Produit scalaire construit avec P(1), P'(1) et P''(1), base orthonormale, distance de X^2 - 4 à R_1[X] et matrice de la projection orthogonale sur l'hyperplan des polynômes nuls en 1.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.