Prepa Helpe3a-Polytech 2025 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2025, filière PC, en 4 heures. Thème : Extremums de x^3 + y^2 sur un disque, équation différentielle résolue par série entière, matrices M_r = (1 - r) I_n + r J et couple de variables indépendantes de loi P(X = k) = p q^k.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : extremums d'une fonction de deux variables. Étude d'une fonction polynomiale d'une variable, points critiques de f(x, y) = x^3 + y^2 et absence d'extremum local, existence d'extremums globaux sur le disque fermé, atteints sur le cercle, puis calcul par paramétrage.
- Exercice 2 : équation différentielle d'ordre 2 et série entière. Solution développable en série entière avec relation de récurrence et majoration des coefficients, changement de fonction z(x) = x y(x) e^x, résolution d'une équation du premier ordre avec raccordement en 0 et expression de f.
- Exercice 3 : la matrice J et les matrices M_r. Rang, noyau et éléments propres de la matrice J dont tous les coefficients valent 1, supplémentaires orthogonaux, diagonalisation de M_r, forme bilinéaire symétrique associée réduite par une matrice orthogonale et valeurs de r donnant un produit scalaire.
- Exercice 4 : deux variables indépendantes de loi P(X = k) = p q^k sur N. Loi de X + Y, loi conditionnelle de X sachant X + Y = n, lois du minimum M et de l'écart V = Y - X et étude de l'indépendance de M et V.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Espaces vectoriels normés
- Dérivabilité et convexité
- Équations différentielles linéaires
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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