Prepa Helpe3a-Polytech 2021 PC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2021, filière PC, en 4 heures. Thème : Sommes de séries par intégration terme à terme, endomorphisme intégral sur les polynômes, nombre d'or et exponentielle d'une matrice, polynômes de Lagrange.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : sommes de séries alternées par intégration. Convergence de la série harmonique alternée, calcul de sa somme par intégration terme à terme, domaine de la fonction somme associée, puis valeur d'une série alternée en 1/((2n+1)(2n+2)).
- Exercice 2 : endomorphisme L défini par une intégrale sur R_n[X]. Dérivée d'une intégrale fonction de sa borne, application g = L(f) solution de y' + y = f, noyau, automorphisme, éléments propres de L et non-diagonalisabilité, puis L^(-1) = D + Id et sa matrice.
- Exercice 3 : nombre d'or, suites de Fibonacci et exponentielle d'une matrice. Suites récurrentes couplées et formule de b_n, écriture matricielle V_(n+1) = M V_n, diagonalisation de M, relation M^n = a_n I_2 + b_n M, limite de la somme des M^k/k! et similitude avec une matrice diagonale.
- Exercice 4 : produit scalaire discret et polynômes de Lagrange. Produit scalaire défini par des valeurs en n+1 points, base orthonormale des polynômes de Lagrange, coordonnées d'un polynôme, orthogonal d'un hyperplan, projeté orthogonal et distance.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Équations différentielles linéaires
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
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