e3a-Polytech 2026 PC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2026, filière PC, en 4 heures. Thème : Endomorphisme antisymétrique de R^5, intégrales fonctions de x de f(t)/(x+t), variance maximale et minimale d'une variable à trois valeurs.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : un endomorphisme antisymétrique de R^5. Questions préliminaires sur les éléments propres de g et g^2, puis f antisymétrique : rang, f^2 symétrique et diagonalisable, 0 seule valeur propre de f, E = Ker(f) + Im(f) en somme directe, plans stables et réduction de M à une forme par blocs.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Exercice 2 : la transformation T(f) = F, intégrale de f(t)/(x+t). Dérivée d'une intégrale dont les bornes dépendent de x, calcul de F_n pour f(t) = t^n par une relation de récurrence faisant apparaître ln(1 + 1/x), puis cas de e^t : régularité, fonction constante et équivalent en 0+.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Exercice 3 : variance extrémale d'une variable à valeurs dans {1, 2, 3}. Variance exprimée avec p_1 et p_2, extremums d'une fonction de deux variables sur un triangle fermé borné, gradient et absence de point critique intérieur, étude sur le bord et cas de variance minimale.
  À revoir : Espaces vectoriels normés, Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Espaces vectoriels normés
• Dérivabilité et convexité

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