Espaces préhilbertiens et euclidiens en MP, MPI, PSI, PC, PT, TSI et TPC : cours, méthodes et exercices corrigés

Q: Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

C'est une application qui à deux vecteurs associe un réel, bilinéaire, symétrique, positive et définie : ⟨x, x⟩ = 0 entraîne x = 0. Le dernier point se justifie souvent par la continuité, pour une intégrale, ou par le nombre de racines d'un polynôme. Exemples : Xᵀ Y sur ℝ^n, tr(Aᵀ B) sur les matrices carrées, ∫_a^b fg sur les fonctions continues.

Q: Comment utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?

On choisit d'abord le produit scalaire, souvent suggéré par la contrainte, puis deux vecteurs dont le produit scalaire est la quantité à majorer. L'inégalité donne |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖ ‖y‖, et le cas d'égalité, quand x et y sont colinéaires, dit si la borne est atteinte.

Q: Comment calculer un projeté orthogonal ?

Sur un sous-espace F de dimension finie, le projeté de x est l'unique vecteur y de F tel que x - y soit orthogonal à F. Avec une base orthonormée (e_i) de F, c'est Σ ⟨x, e_i⟩ e_i ; avec une base seulement orthogonale, on divise chaque terme par le carré de la norme ; sinon, on résout un système. Pour un hyperplan, on retire à x sa composante sur un vecteur normal.

Q: À quoi sert le procédé de Gram-Schmidt ?

Il transforme une famille libre en une famille orthonormée qui engendre les mêmes sous-espaces successifs, en retirant à chaque vecteur ses composantes sur les précédents, puis en le normant. Il sert à construire une base orthonormée d'un sous-espace, avant une projection ou une diagonalisation. En TPC, le procédé est à connaître sans formule exigible.

Q: Comment reconnaître une matrice orthogonale ?

Une matrice carrée réelle A est orthogonale si Aᵀ A = I_n, c'est-à-dire si ses colonnes forment une base orthonormée. Son déterminant vaut alors 1 ou -1, mais la réciproque est fausse : une matrice de déterminant 1 n'est pas forcément orthogonale.

Q: Que dit le théorème spectral ?

Toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe P orthogonale et D diagonale réelle telles que S = PDPᵀ. Ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. En MP, MPI, PC et PSI, il s'énonce aussi pour les endomorphismes autoadjoints ; sa démonstration n'est exigible qu'en MP et MPI.

Produit scalaire, normes euclidiennes, orthogonalité, bases orthonormées, projection orthogonale, isométries et matrices orthogonales, endomorphismes autoadjoints et théorème spectral.

19méthodes
44exercices corrigés
11problèmes
23pièges
43figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Un produit scalaire mesure des longueurs, des angles et des écarts dans un espace vectoriel réel : vecteurs, matrices, fonctions. On établit l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on construit des bases orthonormées par le procédé de Gram-Schmidt, puis on étudie la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, qui donne la distance à ce sous-espace et résout les problèmes de minimisation, comme les moindres carrés. Viennent ensuite les matrices orthogonales et les isométries, avec la classification des isométries du plan, et le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans une base orthonormée. Selon la filière : isométries de l'espace avec leur axe et leur angle (MP, MPI, PSI, PT, TSI et TPC, la détermination de l'axe et de l'angle étant attendue en PSI, PT, TSI et TPC), endomorphismes autoadjoints et positivité (MP, MPI, PC, PSI), représentation des formes linéaires (MP, MPI, PSI) et adjoint (MP, MPI). Ce chapitre suit le programme de MP, PSI et TSI au Maroc et de MP, MPI, PC, PSI, PT, TSI et TPC en France, pour le CNC et les concours français.

Ce que tu sauras faire

Un produit scalaire permet de mesurer, dans un espace vectoriel réel quelconque, des longueurs, des angles et des écarts : entre deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$ , entre deux matrices, entre deux fonctions. Ce chapitre en tire la projection orthogonale, qui donne la meilleure approximation d'un vecteur dans un sous-espace, puis étudie les transformations qui conservent les longueurs et les matrices symétriques réelles. À la fin, tu dois savoir :

montrer qu'une application est un produit scalaire et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
construire une base orthonormée par le procédé de Gram-Schmidt et décomposer un vecteur dans une telle base ;
calculer un projeté orthogonal, une distance à un sous-espace, et résoudre un problème de minimisation par une projection ;
reconnaître une matrice orthogonale, une isométrie, et classer les isométries du plan ;
diagonaliser une matrice symétrique réelle dans une base orthonormée.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Produit scalaire

Produit scalaire : forme bilinéaire, symétrique, positive, définie ( $\langle x, x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0$ ). Préhilbertien réel ; euclidien si la dimension est finie.
Exemples : $X^\top Y$ sur $\mathbb{R}^n$ ; $\operatorname{tr}(A^\top B)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ; $\int_a^bfg$ sur $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ (continuité indispensable) ; $\int_a^bPQw$ et $\sum_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k)$ (sur $\mathbb{R}_n[X]$ ) pour les polynômes.
Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y\rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$ , égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
$\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ ; polarisation $\langle x, y\rangle = \frac14(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2)$ ; parallélogramme $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$ .

À retenir Orthogonalité

$A^\perp$ est un sous-espace ; $A^\perp = \operatorname{Vect}(A)^\perp$ ; $A \subset B \Rightarrow B^\perp \subset A^\perp$ ; $E^\perp = \{0\}$ .
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Pythagore : $x \perp y \Leftrightarrow \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ ; pour une famille orthogonale, $\|\sum x_i\|^2 = \sum\|x_i\|^2$ .

À retenir Bases orthonormées

Gram-Schmidt : $v_k = u_k - \sum_{j<k}\langle u_k, e_j\rangle e_j$ , $e_k = \frac{v_k}{\|v_k\|}$ ; $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_k)$ .
Dans une BON : $x = \sum\langle x, e_i\rangle e_i$ , $\langle x, y\rangle = X^\top Y$ , $\|x\|^2 = \sum x_i^2$ , $m_{ij} = \langle e_i, u(e_j)\rangle$ .

À retenir Projection orthogonale

$F$ de dimension finie : $E = F \oplus F^\perp$ ; en dimension finie, $\dim F^\perp = n - \dim F$ et $(F^\perp)^\perp = F$ .
$p_F(x)$ : l'unique $y \in F$ tel que $x - y \in F^\perp$ .
BON $(e_i)$ de $F$ : $p_F(x) = \sum\langle x, e_i\rangle e_i$ ; base orthogonale $(f_i)$ : $p_F(x) = \sum\frac{\langle x, f_i\rangle}{\|f_i\|^2}f_i$ ; sinon, système $\langle x - p_F(x), f_i\rangle = 0$ .
Hyperplan de vecteur normal $n$ : $p_H(x) = x - \frac{\langle x, n\rangle}{\|n\|^2}n$ , $d(x, H) = \frac{|\langle x, n\rangle|}{\|n\|}$ ; symétrie $s_F = 2p_F - \mathrm{id}$ .
$d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$ , atteinte seulement en $p_F(x)$ ; $d(x, F)^2 = \|x\|^2 - \|p_F(x)\|^2$ ; $\|p_F(x)\| \leq \|x\|$ .

À retenir Fonctions périodiques

Sur les fonctions continues $T$ -périodiques, $\langle f, g\rangle = \frac1T\int_0^Tfg$ est un produit scalaire ; avec $\omega = \frac{2\pi}{T}$ , la famille $1$ , $\cos(k\omega t)$ , $\sin(k\omega t)$ ( $k \geq 1$ ) est orthogonale, $\|1\|^2 = 1$ , $\|\cos(k\omega\,\cdot)\|^2 = \|\sin(k\omega\,\cdot)\|^2 = \frac12$ .

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Calculer un projeté orthogonal

Quand l’utiliser

On demande $p_F(x)$ , la matrice d'une projection orthogonale, ou un vecteur de $F$ « le plus proche » de $x$ .

Rappel de cours

Pour $F$ de dimension finie, $p_F(x)$ est l'unique $y \in F$ tel que $x - y \in F^\perp$ . Avec une BON $(e_i)$ de $F$ , $p_F(x) = \sum\langle x, e_i\rangle e_i$ ; avec une base orthogonale $(f_i)$ , $p_F(x) = \sum\frac{\langle x, f_i\rangle}{\|f_i\|^2}f_i$ ; pour un hyperplan de vecteur normal $n$ , $p_H(x) = x - \frac{\langle x, n\rangle}{\|n\|^2}n$ .

Démarche

Choisir la voie : BON de $F$ connue, base orthogonale, système, ou passage par $F^\perp$ quand il est plus petit.
Calculer les produits scalaires nécessaires.
Écrire le projeté et contrôler que $x - p_F(x)$ est orthogonal aux générateurs de $F$ .

Rédaction type

$F$ est de dimension finie. La famille $([\ldots])$ est une base orthogonale de $F$ , donc $p_F(x) = \sum\frac{\langle x, f_i\rangle}{\|f_i\|^2}f_i = [\ldots]$ . On vérifie que $x - p_F(x) = [\ldots]$ est orthogonal à chaque $f_i$ .

Exemple traité

Projeté de $x = (3, 0, 0)$ sur le plan $H$ d'équation $x - 2y + 2z = 0$ de $\mathbb{R}^3$ . Un vecteur normal est $n = (1, -2, 2)$ , avec $\|n\|^2 = 9$ et $\langle x, n\rangle = 3$ :

p_H(x) = (3, 0, 0) - \frac13(1, -2, 2) = \Big(\frac83, \frac23, -\frac23\Big) ,

et l'on contrôle $\frac83 - \frac43 - \frac43 = 0$ . 2. Projeté de $x = (1, 2, 0, 1)$ sur $F = \operatorname{Vect}(f_1, f_2)$ dans $\mathbb{R}^4$ , avec $f_1 = (1, 1, 0, 0)$ et $f_2 = (0, 0, 1, 1)$ , orthogonaux mais non unitaires ( $\|f_i\|^2 = 2$ ) :

p_F(x) = \frac{3}{2}f_1 + \frac12f_2 = \Big(\frac32, \frac32, \frac12, \frac12\Big) .

Le vecteur $x - p_F(x) = \big(-\frac12, \frac12, -\frac12, \frac12\big)$ est bien orthogonal à $f_1$ et à $f_2$ .

Erreurs fréquentes

Appliquer $\sum\langle x, e_i\rangle e_i$ avec une base qui n'est pas orthonormée.
Projeter sur $F$ par un long calcul alors que $F^\perp$ est une droite.
Oublier de vérifier que $F$ est de dimension finie.

Pour s’entraîner

Exercices 6, 7, 8, 12, 16, 20 et 24.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Projeter une fonction sur deux cosinus ★☆☆

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et $2\pi$ -périodiques de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ .

Montrer que $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt$ définit un produit scalaire sur $E$ .
Soit $F$ le sous-espace engendré par $t \mapsto \cos t$ et $t \mapsto \cos 2t$ . Déterminer le projeté orthogonal sur $F$ de $u : t \mapsto \sin^2t$ , puis la distance de $u$ à $F$ .

Indications

Méthode 7. Pour le caractère défini, utiliser la périodicité. Pour 2, linéariser $\sin^2t$ et reconnaître un élément de $F$ plus un élément de $F^\perp$ .

Correction détaillée

1. Symétrie, bilinéarité et positivité viennent des propriétés de l'intégrale. Si $\langle f, f\rangle = 0$ , $f^2$ est continue, positive et d'intégrale nulle sur $[0, 2\pi]$ , donc $f$ est nulle sur $[0, 2\pi]$ , puis sur $\mathbb R$ par périodicité.

2. On linéarise : $\sin^2t = \frac12 - \frac12\cos 2t$ . La fonction $t \mapsto -\frac12\cos 2t$ est dans $F$ . La fonction constante $h = \frac12$ est orthogonale à $F$ , car

\langle h, \cos\rangle = \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\cos t\,dt = 0 , \qquad \langle h, \cos 2\cdot\rangle = \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\cos 2t\,dt = 0 .

La décomposition $u = \big(-\frac12\cos 2t\big) + h$ avec un terme dans $F$ et l'autre dans $F^\perp$ caractérise le projeté :

p_F(u) = \Big(t \mapsto -\frac12\cos 2t\Big) , \qquad d(u, F) = \lVert h\rVert = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac14\,dt} = \frac12 .

La fonction $\sin^2$ est « au plus près » de $F$ en sa partie oscillante ; ce que $F$ ne peut pas reproduire est sa valeur moyenne $\frac12$ .

Méthodes à retenir

Le projeté est caractérisé par « $p(x) \in F$ et $x - p(x) \in F^\perp$ » : quand une décomposition évidente apparaît, il suffit de vérifier ces deux conditions, sans calculer de base orthonormée. Voir la méthode 7.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 23 pièges corrigés, la carte mentale, 44 exercices corrigés, 11 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Produit scalaire et norme euclidienne
- 1.1 Produit scalaire
- 1.2 Exemples de référence
- 1.3 Norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz
- 1.4 Identités remarquables, polarisation
2. Orthogonalité
- 2.1 Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie
- 2.2 Familles orthogonales, théorème de Pythagore
3. Bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt
- 3.1 Le procédé de Gram-Schmidt
- 3.2 Bases orthonormées
4. Projection orthogonale et distance
- 4.1 Supplémentaire orthogonal
- 4.2 Projecteur orthogonal
- 4.3 Distance à un sous-espace, minimisation
- 4.4 Un exemple : les fonctions périodiques
- 4.5 Représentation des formes linéaires
- 4.6 Adjoint d'un endomorphisme
5. Matrices orthogonales et isométries
- 5.1 Matrices orthogonales
- 5.2 Orientation
- 5.3 Isométries vectorielles
- 5.4 Isométries du plan
- 5.5 Isométries de l'espace de dimension 3
- 5.6 Réduction d'une isométrie
6. Matrices symétriques réelles, endomorphismes autoadjoints
- 6.1 Matrices symétriques réelles et théorème spectral
- 6.2 Endomorphismes autoadjoints
- 6.3 Endomorphismes et matrices positifs

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Montrer qu'une application est un produit scalaire
Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Exploiter la norme : développer, polariser
Montrer qu'une famille est orthonormée, décomposer dans une base orthonormée
Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt
Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace
Calculer un projeté orthogonal
Calculer une distance, résoudre un problème de minimisation
Écrire la matrice d'une projection orthogonale ou d'une symétrie orthogonale
Montrer qu'une matrice est orthogonale, qu'un endomorphisme est une isométrie
Reconnaître une isométrie du plan
Diagonaliser une matrice symétrique réelle dans une base orthonormée
Exploiter le théorème spectral : encadrer $X^\top SX$
Montrer qu'un endomorphisme est autoadjoint
Étudier la positivité d'un endomorphisme autoadjoint ou d'une matrice symétrique
Représenter une forme linéaire par un vecteur
Déterminer et utiliser l'adjoint d'un endomorphisme
Déterminer la nature et les éléments d'une isométrie de l'espace
Écrire la matrice d'une rotation d'axe et d'angle donnés

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (18)

Reconnaître des produits scalaires
Une borne inférieure par Cauchy-Schwarz
Majorer une intégrale
Orthogonal d'une somme, d'une intersection
Gram-Schmidt dans l'espace
Projeter une fonction sur deux cosinus
Des matrices de similitude
Distance aux matrices triangulaires supérieures
Isométries : trois caractérisations
Deux isométries du plan
Projecteur orthogonal et matrice symétrique
Les matrices de Gram de colonnes
Les formes linéaires de l'espace des matrices
L'adjoint d'une multiplication
Endomorphismes normaux
Trois matrices de l'espace
Une rotation et une réflexion données
Une rotation en deux réflexions

Entraînement (21)

Deux diagonalisations en base orthonormée
Distance à un hyperplan de $\mathbb R^4$
Une base orthonormée pour un produit scalaire inusuel
Les polynômes de Tchebychev
Une réflexion qui échange deux vecteurs
Une symétrie par rapport à une droite
Projecteurs, isométries et la matrice aI + bJ
Une isométrie diagonalisable est une symétrie orthogonale
Extrema sur la sphère unité
Moindres carrés
La décomposition QR
Un opérateur intégral autoadjoint
Une matrice définie positive
Produit de deux autoadjoints
Représenter une évaluation
Noyau et image de l'adjoint
Une matrice circulante orthogonale
Un produit scalaire sur les polynômes et une rotation
Une isométrie négative
L'inégalité de Bessel pour une suite
Les polynômes de Laguerre

Approfondissement (5)

Le simplexe régulier
Une famille obtusangle
Un projecteur qui ne fait pas grandir
Les racines des polynômes orthogonaux
Une base orthonormée envoyée sur une famille orthogonale

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Isométries et distance dans un espace de polynômes
CNC 2017, filières TSI et PSI, Mathématiques II, problème 2, parties I et II (questions I.4.a et II.4.a écrites sans le vocabulaire des endomorphismes symétriques ; existence d'un vecteur propre ajoutée en I.4.b)
Une base orthonormée d'un hyperplan de $\mathbb R^n$
CNC 2022, filières PSI et TSI, Mathématiques II, exercice 2, questions 2.1 à 2.4
Distances aux matrices symétriques et antisymétriques
CNC 2025, filière TSI, Mathématiques II, partie 2, questions 1 à 4.b
Une base orthogonale de polynômes sur [0, 1]
CCINP 2022, filière TPC, Mathématiques, exercice 1, questions Q1 à Q9 (en Q9.d, la demande de rappeler la définition de la projection n'est pas reprise ; question Q9.f ajoutée)
Une minimisation à poids exponentiel
CCINP 2023, filières MP et MPI, Mathématiques 2, exercice 1, questions Q1 à Q3
Quotients de Rayleigh et valeurs propres
Banque PT 2021, filière PT, Mathématiques A, problème d'algèbre linéaire, parties I à III
Décomposition polaire et distance au groupe orthogonal
CNC 2023, filière MP, Mathématiques II, problème, questions 1.1 à 3.6
Racine carrée d'une matrice symétrique positive
CNC 2021, filières MP et PSI, Mathématiques II, problème, partie 4, questions 1 à 3 (question d'application ajoutée)
Matrices et déterminants de Gram
CNC 2019, filière MP, Mathématiques II, problème, parties 2 et 3, questions 3.1 à 4.3.2 (déterminant de Cauchy de la partie 1 admis)
Une rotation et un produit scalaire sur les matrices symétriques
CCINP 2019, filière TSI, Mathématiques, problème 1, parties I à III, questions Q1 à Q12
Un retournement et les produits de réflexions
Banque PT 2020, filière PT, Mathématiques A, problème d'algèbre linéaire, parties I à IV

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

C'est une application qui à deux vecteurs associe un réel, bilinéaire, symétrique, positive et définie : $\langle x, x\rangle = 0$ entraîne $x = 0$ . Le dernier point se justifie souvent par la continuité, pour une intégrale, ou par le nombre de racines d'un polynôme. Exemples : $X^\top Y$ sur $\mathbb{R}^n$ , $\operatorname{tr}(A^\top B)$ sur les matrices carrées, $\int_a^b fg$ sur les fonctions continues.

Comment utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?

On choisit d'abord le produit scalaire, souvent suggéré par la contrainte, puis deux vecteurs dont le produit scalaire est la quantité à majorer. L'inégalité donne $|\langle x, y\rangle| \leq \lVert x\rVert \lVert y\rVert$ , et le cas d'égalité, quand $x$ et $y$ sont colinéaires, dit si la borne est atteinte.

Comment calculer un projeté orthogonal ?

Sur un sous-espace $F$ de dimension finie, le projeté de $x$ est l'unique vecteur $y$ de $F$ tel que $x - y$ soit orthogonal à $F$ . Avec une base orthonormée $(e_i)$ de $F$ , c'est $\sum \langle x, e_i\rangle e_i$ ; avec une base seulement orthogonale, on divise chaque terme par le carré de la norme ; sinon, on résout un système. Pour un hyperplan, on retire à $x$ sa composante sur un vecteur normal.

À quoi sert le procédé de Gram-Schmidt ?

Il transforme une famille libre en une famille orthonormée qui engendre les mêmes sous-espaces successifs, en retirant à chaque vecteur ses composantes sur les précédents, puis en le normant. Il sert à construire une base orthonormée d'un sous-espace, avant une projection ou une diagonalisation. En TPC, le procédé est à connaître sans formule exigible.

Comment reconnaître une matrice orthogonale ?

Une matrice carrée réelle $A$ est orthogonale si $A^\top A = I_n$ , c'est-à-dire si ses colonnes forment une base orthonormée. Son déterminant vaut alors $1$ ou $-1$ , mais la réciproque est fausse : une matrice de déterminant $1$ n'est pas forcément orthogonale.

Que dit le théorème spectral ?

Toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe $P$ orthogonale et $D$ diagonale réelle telles que $S = PDP^\top$ . Ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. En MP, MPI, PC et PSI, il s'énonce aussi pour les endomorphismes autoadjoints ; sa démonstration n'est exigible qu'en MP et MPI.

Comment y accéder

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