Mesures et incertitudes : cours, méthodes et exercices corrigés

Mesurer et exprimer un résultat avec son incertitude-type : évaluations de type A et B, propagation, simulation Monte-Carlo, écart normalisé, régression linéaire et chiffres significatifs, en physique, en chimie et en SII.

19méthodes
36exercices corrigés
4problèmes
14pièges
58figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Cinq élèves chronomètrent le même pendule et ne trouvent pas la même période. Une concentration titrée s'écarte un peu de l'étiquette du flacon. Une droite d'étalonnage a un coefficient de corrélation de $0{,}999$ , et pourtant ses points dessinent un arc. En physique, en chimie et en sciences industrielles, une mesure ne vaut que par l'incertitude qui l'accompagne : c'est elle qui dit si deux résultats s'accordent, si un modèle tient, quelle mesure il faut améliorer. Ce chapitre donne les outils pour évaluer, propager, écrire et exploiter une incertitude. À la fin, tu dois savoir :

identifier les sources d'incertitude d'un protocole et distinguer erreur aléatoire et erreur systématique ;
évaluer une incertitude-type par une série de mesures (type A) ou par les informations disponibles (type B) ;
composer les incertitudes d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient, et repérer la contribution qui domine ;
propager des incertitudes par une simulation de Monte-Carlo en Python ;
écrire un résultat avec un nombre adapté de chiffres significatifs ;
comparer deux valeurs par l'écart normalisé et analyser une incompatibilité ;
exploiter une régression linéaire et valider un modèle sans s'en tenir au coefficient $R^2$ ;
lire la résolution et la quantification d'un capteur ou d'un convertisseur.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$u(x)$ : incertitude-type de $x$ , toujours avec son argument ; $u(x)/\lvert x\rvert$ : incertitude relative.
$\bar x$ , $s_x$ , $N$ : moyenne, écart-type expérimental, nombre de mesures.
$\Delta$ seul : demi-largeur d'un intervalle sûr ; $\Delta x$ reste une variation finie.
$z$ : écart normalisé ; $z_i$ : écart normalisé d'un point à une droite ; $a_1$ , $a_0$ : pente et ordonnée à l'origine ; $q_{\text{CAN}}$ : quantum d'un convertisseur.

À retenir Vocabulaire

Mesurande : la grandeur qu'on veut mesurer ; sa valeur vraie est inconnue.
Sources d'incertitude : opérateur, environnement, instruments, méthode.
Erreur aléatoire : disperse les mesures ; une moyenne la réduit. Erreur systématique : les décale toutes ; une moyenne ne la corrige pas.
Fidèle : peu de dispersion. Juste : moyenne proche de la valeur vraie.

À retenir Évaluer une incertitude-type

Type A (série de $N$ mesures) : $s_x = \sqrt{\dfrac{1}{N-1}\sum(x_i - \bar x)^2}$ ; $u(\bar x) = \dfrac{s_x}{\sqrt N}$ pour la moyenne, $s_x$ pour une mesure isolée. En Python : np.std(x, ddof=1).
Type B (intervalle sûr $[x - \Delta\,;\,x + \Delta]$ , loi uniforme) : $u(x) = \dfrac{\Delta}{\sqrt3} \approx 0{,}58\,\Delta$ ; à partir de la largeur $2\Delta$ : $\dfrac{2\Delta}{\sqrt{12}}$ , le même nombre.
Une précision de notice ( $p\ \%$ de la lecture $+\,n$ digits), une tolérance, une demi-graduation sont des demi-largeurs $\Delta$ , pas des incertitudes-types.
Mesurer $N_p$ périodes, franges ou pixels d'un coup divise l'incertitude de lecture par $N_p$ .

À retenir Composer

Somme, différence : $u(y) = \sqrt{u(x_1)^2 + u(x_2)^2}$ (absolues).
Produit, quotient : $u(y)/\lvert y\rvert = \sqrt{(u(x_1)/x_1)^2 + (u(x_2)/x_2)^2}$ (relatives) ; une constante exacte ne compte pas.
Puissance, hors des quatre cas du programme : l'incertitude relative de $x^{\alpha}$ vaut $\lvert\alpha\rvert\,u(x)/\lvert x\rvert$ (différentielle logarithmique) ; jamais $\sqrt2$ pour un carré.
Contribution dominante : une contribution trois fois plus petite change le total d'environ $5\ \%$ ; on améliore la mesure dominante.
Grandeurs indépendantes seulement ; jamais la somme des valeurs absolues.

À retenir Simulation de Monte-Carlo

Une loi par entrée : normale d'écart-type $u(x)$ (type A), uniforme de demi-largeur $\Delta$ (type B).
$N$ tirages de chaque entrée (numpy.random.normal, numpy.random.uniform).
Un résultat par tirage.
Écart-type des résultats (ddof=1) : incertitude-type ; histogramme avec hist.

La simulation propage les incertitudes ; elle ne fixe pas celle d'une grandeur d'entrée.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Identifier les sources d'incertitude d'un protocole et dire si chaque erreur est aléatoire ou systématique

Quand l’utiliser

L'énoncé décrit un protocole et demande « les sources d'incertitude », « ce qui limite la précision », ou l'on prépare un TP.

Rappel de cours

Quatre familles de sources : opérateur, environnement, instruments, méthode (cours, section 1). Une erreur aléatoire disperse les mesures ; une erreur systématique les décale toutes du même côté, et une moyenne ne la corrige pas (cours, section 2).

Démarche

Suivre le protocole pas à pas et noter, à chaque lecture, ce qui peut varier.
Ranger chaque source dans l'une des quatre familles.
Dire si elle produit une erreur aléatoire (dispersion) ou systématique (décalage).
Estimer son ordre de grandeur et garder les deux ou trois sources qui comptent.

Rédaction type

« Les principales sources d'incertitude sont le repérage visuel de la coïncidence des deux signaux à l'oscilloscope (erreur aléatoire) et la lecture de la position du micro sur la règle (erreur aléatoire, de l'ordre du millimètre) ; une température de la salle non relevée produirait une erreur systématique dans la comparaison à la valeur tabulée. »

Exemple traité

(Physique) On mesure la célérité du son en déplaçant un micro le long d'une règle devant un haut-parleur alimenté par un générateur de signaux, et en repérant à l'oscilloscope les positions où les deux signaux sont en phase. Sources : le repérage visuel de la coïncidence des signaux (opérateur, aléatoire), la lecture de la position sur la règle (instrument, aléatoire), la température de la salle, qui fixe la célérité (environnement : si on ne la note pas, la comparaison à la valeur tabulée subit une erreur systématique), les réflexions sur la table (méthode, systématique). La première domine : elle se réduit en mesurant la distance sur plusieurs longueurs d'onde.

Erreurs fréquentes

Citer « l'erreur humaine » sans dire laquelle ni son ordre de grandeur.
Croire qu'une moyenne de nombreuses mesures corrige un décalage d'étalonnage.
Oublier la méthode : un modèle simplifié est aussi une source d'écart.

Pour s’entraîner

Exercices 1 et 15.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Erreur aléatoire ou systématique, juste ou fidèle (physique, chimie) ★☆☆

Pour chaque situation, dire si l'erreur commise est plutôt aléatoire ou plutôt systématique, et si une moyenne de nombreuses mesures la réduit. a. Un élève lit toujours un thermomètre à liquide en se plaçant un peu au-dessus du niveau du liquide (parallaxe). b. Un chronomètre est déclenché et arrêté à la main. c. Une balance affiche $0{,}12$ g quand le plateau est vide, et l'on oublie de faire la tare. d. Le volume versé par une burette est lu au-dessus du bas du ménisque, à chaque lecture. e. Un thermomètre numérique, mal étalonné, indique $0{,}8\ °\text{C}$ de trop sur toute sa gamme. f. Le dernier chiffre d'un afficheur de tension change sans cesse.
Quatre tireurs visent le centre d'une cible. Les impacts du premier sont serrés autour du centre ; ceux du deuxième sont serrés, mais loin du centre ; ceux du troisième sont dispersés de part et d'autre du centre ; ceux du quatrième sont dispersés et décalés d'un même côté. Dire, pour chacun, si la série est juste, fidèle, les deux ou aucun, et faire le lien avec les deux types d'erreur.

Indications

Méthode 1 : une erreur aléatoire disperse les mesures et change de signe d'une mesure à l'autre ; une erreur systématique les décale toutes du même côté.

Correction détaillée

1. a. Systématique : l'œil toujours au-dessus fait lire toujours trop haut (ou trop bas selon la graduation), du même côté. Une moyenne ne la corrige pas ; seule la lecture à hauteur d'œil la supprime. b. Surtout aléatoire : le temps de réaction change d'une mesure à l'autre, au départ comme à l'arrivée. Une moyenne la réduit. Si l'opérateur arrête toujours en retard, il s'y ajoute une part systématique. c. Systématique : toutes les masses sont trop grandes de $0{,}12$ g. La moyenne garde ce décalage ; il faut faire la tare. d. Systématique : chaque lecture est faussée dans le même sens. Le volume versé, différence de deux lectures, est en partie protégé si l'erreur est la même aux deux lectures, mais ce n'est pas garanti : on lit toujours le bas du ménisque, l'œil à sa hauteur. e. Systématique : décalage constant d'étalonnage. Seule une comparaison à un thermomètre de référence le révèle. f. Aléatoire : fluctuation de la grandeur ou du bruit de l'appareil. La moyenne de plusieurs lectures la réduit.

2. Premier tireur : juste et fidèle, erreurs aléatoire et systématique faibles. Deuxième : fidèle mais pas juste, faible erreur aléatoire et forte erreur systématique (arme mal réglée). Troisième : juste mais peu fidèle, forte erreur aléatoire et faible erreur systématique ; la moyenne des impacts tombe près du centre. Quatrième : ni juste ni fidèle, les deux erreurs sont grandes.

Méthodes à retenir

Méthode 1 : la fidélité se lit dans la dispersion (erreur aléatoire), la justesse dans le décalage de la moyenne (erreur systématique). Répéter améliore la fidélité de la moyenne, jamais sa justesse.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 14 pièges corrigés, la carte mentale, 36 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Mesurer : mesurande, valeur mesurée, variabilité
2. Erreur aléatoire et erreur systématique
3. L'incertitude-type
4. Évaluation de type A
5. Évaluation de type B
6. Loi normale, intervalle de confiance, incertitude élargie
7. Incertitude-type composée
- 7.1 Somme et différence
- 7.2 Produit et quotient
- 7.3 Comparer les contributions
- 7.4 Puissance et autres fonctions
- 7.5 Ce que les règles supposent
8. Simulation de Monte-Carlo
9. Écrire le résultat
10. Comparer deux valeurs
- 10.1 L'écart normalisé
- 10.2 Analyser une incompatibilité
11. Régression linéaire et validation d'un modèle
- 11.1 Linéariser
- 11.2 Régression avec polyfit et barres d'incertitude
- 11.3 Valider le modèle
- 11.4 Incertitudes sur la pente et l'ordonnée à l'origine
12. Capteurs et chaînes de mesure en sciences industrielles

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Identifier les sources d'incertitude d'un protocole et dire si chaque erreur est aléatoire ou systématique
Évaluer une incertitude-type de type A et choisir entre $s_x$ et $s_x/\sqrt N$
Évaluer une incertitude-type de type B : lecture, résolution, tolérance, latitude de netteté
Évaluer l'incertitude-type d'un appareil à partir de sa notice
Réduire une incertitude en mesurant plusieurs périodes, franges ou pixels d'un coup
Composer l'incertitude-type d'une somme ou d'une différence
Composer l'incertitude-type d'un produit ou d'un quotient
Traiter une puissance ou une fonction non linéaire : différentielle logarithmique ou Monte-Carlo
Repérer la contribution dominante et décider quelle mesure améliorer
Propager des incertitudes par une simulation de Monte-Carlo en Python
Écrire un résultat : incertitude à deux chiffres au plus, valeur au même rang, unité
Comparer deux valeurs par l'écart normalisé et conclure
Analyser une incompatibilité : passer en revue les causes et proposer une amélioration
Linéariser une loi pour se ramener à une droite
Exploiter une régression linéaire avec polyfit et tracer les barres d'incertitude
Valider un modèle linéaire : barres, écarts normalisés des points, pas le seul $R^2$
Obtenir les incertitudes sur la pente et l'ordonnée à l'origine par Monte-Carlo
Exploiter la résolution, la quantification et la fidélité d'un capteur ou d'un convertisseur
Passer à l'incertitude élargie et écrire le résultat avec son niveau de confiance

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Erreur aléatoire ou systématique, juste ou fidèle (physique, chimie)
Seize allers-retours ou un seul ? (physique)
Règle graduée et viseur sur un banc d'optique (physique)
Multimètre : précision, incertitude-type et choix du calibre (physique)
Pèse-personne et balance de laboratoire (physique, chimie)
Pipette, fiole et burette (chimie)
Distance entre deux positions sur un banc d'optique (physique)
Masse volumique de l'eau à la fiole et à la balance (chimie)
Puissance dissipée dans un résistor (physique)
Écritures correctes et fautives d'un résultat (chimie, physique)
Deux dosages du dioxygène dissous comparés (chimie)
Ressort et pesanteur sur une autre planète (physique)
Compter des franges pour mesurer un déplacement (physique)
Résolution d'un codeur incrémental (SII)
Écrire un résultat à 95 % (physique, chimie)

Entraînement (16)

Incertitude d'un titrage acide-base (chimie)
Masse de glycine dans un comprimé (chimie)
Teneur en eau d'un sucre par coulométrie (chimie)
Distance focale par la relation de conjugaison (physique, Python)
Taille des pixels d'un écran (physique)
Durée d'un signal sonore bref et étalement en fréquence (physique)
Vélocimètre : lire un programme de Monte-Carlo (physique, Python)
Balise clignotante de chantier : dispersion de quinze montages (physique)
Loi de la réflexion : valider un modèle linéaire (physique)
Loi de puissance en log-log : exposant et son incertitude (physique)
Constante de temps d'une base motorisée par régression (SII)
Pendule : régression de $T_0^2$ en fonction de $\ell$ (physique, Python)
Ordre d'une réaction et énergie d'activation (chimie)
Chaîne de mesure d'une vitesse de télésiège (SII)
Vitesse de rotation mesurée par un codeur (SII)
Droite d'étalonnage, coefficient de corrélation et incertitudes du logiciel (chimie)

Approfondissement (5)

Indice d'un prisme : trois façons de propager (physique, Python)
Champ magnétique terrestre par une boussole et un solénoïde (physique, Python)
Distance entre deux sources : incertitudes d'un ajustement (physique)
Droite d'étalonnage et lecture inverse (chimie, Python)
Mesure, simulation et exigence du cahier des charges (SII)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Mesurer le niveau d'un réservoir : capteur et convertisseur
CNC 2015, filière TSI, Physique II (questions 6.5.4.1 à 6.5.4.4)
Casque classique ou casque profilé : statistique d'essais et simulation
Centrale-Supélec 2023, filière PC, Physique 1 (questions Q9 à Q13)
Longueur d'onde d'un laser par défilement d'anneaux
e3a-Polytech 2026, filière MP, Physique-chimie (questions Q16 et Q17)
Valider un modèle de cristallisation par une simulation de Monte-Carlo
Centrale-Supélec 2024, filière PSI, Physique-chimie 2 (questions Q36 à Q38, annexes 1 et 2)

Comment y accéder

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