Grandeurs, unités, analyse dimensionnelle et ordres de grandeur : cours, méthodes et exercices corrigés

Grandeurs et unités du SI, dimensions, homogénéité, analyse dimensionnelle, adimensionnement et ordres de grandeur, pour contrôler et trouver une loi en physique, en chimie et en SII.

18méthodes
35exercices corrigés
3problèmes
15pièges
52figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Ce que tu sauras faire

Une pompe dont on lit la plaque, une formule de puissance qu'on soupçonne fausse, une période d'oscillation qu'on veut prévoir avant de mesurer, une quantité de matière qui paraît énorme : en physique, en chimie et en sciences industrielles, un résultat n'a de sens qu'avec son unité, et une formule n'est crédible que si ses deux membres parlent de la même chose. Ce chapitre donne les outils pour exprimer une grandeur, contrôler une relation, trouver une loi sans tout calculer et juger un résultat en ordre de grandeur. À la fin, tu dois savoir :

écrire une grandeur avec sa valeur et son unité, et convertir avant de calculer ;
connaître les sept unités de base du Système international et les constantes qui les définissent depuis 2019 ;
établir la dimension d'une grandeur et vérifier l'homogénéité d'une relation ;
trouver une loi de puissance par la méthode des exposants, et dire ce que la méthode ne donne pas ;
construire un temps, une longueur ou un nombre sans dimension caractéristiques, et adimensionner une équation ;
estimer un ordre de grandeur, comparer deux termes par leur rapport et juger un résultat ;
écrire un résultat numérique avec un nombre adapté de chiffres significatifs.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$\mathcal G = \{\mathcal G\}\,[\mathcal G]_{\text{u}}$ : valeur numérique fois unité ; changer d'unité change le nombre, pas la grandeur.
$[\mathcal G]$ : dimension, produit de puissances de $\mathsf T$ , $\mathsf L$ , $\mathsf M$ , $\mathsf I$ , $\Theta$ , $\mathsf N$ , $\mathsf J$ ; grandeur sans dimension : $[\mathcal G] = 1$ .
$c$ : célérité de la lumière ; $c_s$ : célérité du son ; $h$ : constante de Planck ; $f$ : fréquence ; $\psi$ : fonction inconnue ; $T_0$ : période ; $v_{\text{r}}$ : vitesse de réaction ; $N_{\text{tr}}$ : tours par minute.

À retenir Le Système international

Sept unités de base : seconde (s), mètre (m), kilogramme (kg), ampère (A), kelvin (K), mole (mol), candela (cd).
Depuis le 20 mai 2019, elles se déduisent de sept constantes de valeur exacte : $\Delta\nu_{\text{Cs}} = 9\,192\,631\,770$ Hz, $c = 299\,792\,458\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , $h = 6{,}626\,070\,15\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ , $e = 1{,}602\,176\,634\times10^{-19}$ C, $k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ , $N_A = 6{,}022\,140\,76\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ , $K_{\text{cd}} = 683\ \text{lm}\cdot\text{W}^{-1}$ .
$R = N_Ak_B$ et $\mathcal F = N_Ae$ sont exactes ; $G$ , $m_e$ , $m_p$ , $\varepsilon_0$ , $\mu_0$ restent mesurées.

À retenir Unités dérivées usuelles

Unité	En unités de base	Unité	En unités de base
N	$\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$	C	$\text{A}\cdot\text{s}$
Pa	$\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$	V	$\text{W}\cdot\text{A}^{-1}$
J	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$	$\Omega$	$\text{V}\cdot\text{A}^{-1}$
W	$\text{J}\cdot\text{s}^{-1}$	F	$\text{C}\cdot\text{V}^{-1}$
Hz	$\text{s}^{-1}$	H	$\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}$

Préfixes à connaître sûrement : pico $10^{-12}$ , nano $10^{-9}$ , micro $10^{-6}$ , milli $10^{-3}$ , centi $10^{-2}$ , kilo $10^{3}$ , méga $10^{6}$ , giga $10^{9}$ , téra $10^{12}$ . L'exposant porte sur le préfixe : $1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ , $1\ \text{cm}^3 = 10^{-6}\ \text{m}^3$ .

Unités d'usage : $1$ bar $= 10^5$ Pa ; $1$ atm $= 1{,}013\,25\times10^5$ Pa ; $1$ L $= 10^{-3}\ \text{m}^3$ ; $1$ eV $= 1{,}602\times10^{-19}$ J ; $1$ kWh $= 3{,}6\times10^6$ J ; $\omega = 2\pi N_{\text{tr}}/60$ .

À retenir Dimensions de base

Vitesse $\mathsf{LT^{-1}}$ ; accélération $\mathsf{LT^{-2}}$ ; force $\mathsf{MLT^{-2}}$ ; énergie $\mathsf{ML^2T^{-2}}$ ; puissance $\mathsf{ML^2T^{-3}}$ ; pression $\mathsf{ML^{-1}T^{-2}}$ ; charge $\mathsf{IT}$ .
$\left[\dfrac{\mathrm d^nA}{\mathrm dB^n}\right] = \dfrac{[A]}{[B]^n}$ ; $\left[\displaystyle\int A\,\mathrm dB\right] = [A][B]$ .
Énergies : $\tfrac12Cu^2$ , $\tfrac12Li^2$ , $mgH$ , $k_BT$ , $hf$ . Temps : $R_{\text{él}}C$ , $L/R_{\text{él}}$ , $\sqrt{LC}$ , $\sqrt{m/k_{\text{r}}}$ , $\sqrt{\ell/g}$ .
Les facteurs numériques sont sans dimension ; les constantes physiques ( $G$ , $R$ , $k_B$ , $h$ , $\varepsilon_0$ ) en ont une.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Écrire une valeur avec son unité et la convertir avant le calcul

Quand l’utiliser

Les données sont en unités usuelles (litres, minutes, tours par minute, kilowattheures, grammes, centimètres carrés, bars) et la formule à appliquer est écrite en unités SI.

Rappel de cours

$\mathcal G = \{\mathcal G\}\,[\mathcal G]_{\text{u}}$ : on remplace l'unité par sa valeur en unités SI. Un exposant porte sur l'unité préfixée entière : $1\ \text{cm}^3 = 10^{-6}\ \text{m}^3$ . $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$ , $1\ \text{bar} = 10^5\ \text{Pa}$ , $1\ \text{kWh} = 3{,}6\times10^6\ \text{J}$ , $\omega = 2\pi N_{\text{tr}}/60$ .

Démarche

Écrire chaque donnée avec son unité, sous forme scientifique.
Remplacer chaque unité usuelle par sa valeur SI, préfixes et exposants compris.
Faire le calcul littéral, puis l'application numérique en unités SI.
Convertir le résultat dans l'unité demandée, s'il y en a une.

Rédaction type

« Le débit vaut $D_V = 30\ \text{L}\cdot\text{min}^{-1}$ , soit

D_V = \frac{30\times10^{-3}\ \text{m}^3}{60\ \text{s}} = 5{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1} . »

Exemple traité

(Sciences industrielles) La plaque d'une pompe indique $1{,}5$ kW et $1\,450\ \text{tr}\cdot\text{min}^{-1}$ ; elle débite $30\ \text{L}\cdot\text{min}^{-1}$ . En unités SI : $D_V = 5{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$ et $\omega = \dfrac{2\pi\times1\,450}{60} = 152\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Si elle tourne $4$ heures, elle consomme $1{,}5\times4 = 6{,}0$ kWh, soit $6{,}0\times3{,}6\times10^6 = 2{,}2\times10^7$ J. Le kilowattheure est une énergie, pas une puissance : c'est ce qu'on paie sur la facture.

Erreurs fréquentes

Écrire $1\ \text{cm}^2 = 10^{-2}\ \text{m}^2$ : l'exposant oublie le préfixe.
Garder les tours par minute dans une formule qui attend des radians par seconde.
Prendre le kilowattheure pour une puissance, ou écrire des « kilowatts par heure ».

Pour s’entraîner

Exercices 1, 9, 10, 11, 20, 21 et 24.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Unités de base, unités dérivées et préfixes (physique, chimie, SII) ★☆☆

Exprimer en unités de base du SI le newton, le pascal, le joule, le watt, le volt, l'ohm, le farad, le henry et le tesla.
Convertir en unités SI : $1\ \text{cm}^3$ ; $1\ \text{cm}^2$ ; une masse volumique de $1\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}$ ; une vitesse de $90\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ ; une vitesse de rotation de $3\,000\ \text{tr}\cdot\text{min}^{-1}$ ; $1\ \text{kWh}$ ; $1\ \text{eV}$ .
Un camarade affirme que la minute et l'année-lumière sont des unités dérivées du SI. Qu'en penser ?

Indications

Méthodes 1 et 2 : partir de la relation la plus simple qui contient la grandeur ( $F = ma$ , $P = F/S$ , $W = Fd$ , $\mathcal P = W/t$ , $\mathcal P = ui$ , $u = R_{\text{él}}i$ , $q = Cu$ , $u = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ , $F = qvB$ ) ; pour une conversion, remplacer chaque unité par sa valeur en unité SI, préfixe et exposant compris.

Correction détaillée

1. $F = ma$ donne $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ . Puis, de proche en proche :

unité	relation utilisée	unités de base
pascal	$P = F/S$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$
joule	$W = Fd$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$
watt	$\mathcal P = W/t$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}$
volt	$\mathcal P = ui$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-1}$
ohm	$u = R_{\text{él}}i$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-2}$
farad	$q = Cu$ , avec $q$ en $\text{A}\cdot\text{s}$	$\text{kg}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{4}\cdot\text{A}^{2}$
henry	$u = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$	$\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^{-2}$
tesla	$F = qvB$	$\text{kg}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^{-1}$

2. Le préfixe s'élève à la puissance de l'unité : $1\ \text{cm}^3 = (10^{-2}\ \text{m})^3 = 10^{-6}\ \text{m}^3$ et $1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ . Ensuite :

1\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3} = \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 1{,}0\times10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3},

la masse volumique de l'eau liquide.

90\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} = \dfrac{90\times10^3\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = 25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

Un tour vaut $2\pi$ radians :

\omega = \frac{3\,000\times2\pi}{60} \approx 314\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}.

1\ \text{kWh} = 10^3\ \text{W}\times3\,600\ \text{s} = 3{,}6\times10^{6}\ \text{J}.

Enfin, $1\ \text{eV}$ est l'énergie gagnée par une charge $e$ sous $1$ V : $1{,}602\,176\,634\times10^{-19}\ \text{J}$ , valeur exacte puisque $e$ est fixée depuis 2019.

3. Faux. Une unité dérivée du SI est un produit de puissances des sept unités de base, sans facteur numérique. La minute ( $60$ s) et l'année-lumière (la distance parcourue par la lumière en une année julienne, environ $9{,}46\times10^{15}$ m) sont des unités hors SI : elles mesurent une durée et une longueur, mais avec un facteur qui n'est pas $1$ .

Méthodes à retenir

Méthodes 1 et 2 : une unité dérivée s'obtient par la relation la plus simple ; une conversion se fait unité par unité, avec le préfixe élevé à la puissance.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 15 pièges corrigés, la carte mentale, 35 exercices corrigés, 3 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Ce chapitre est offert : il s’ouvre en entier avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Grandeur, valeur, unité
- 1.1 Ce qu'on lit sur une plaque
- 1.2 Rapport de deux grandeurs de même nature
2. Le Système international d'unités
- 2.1 Sept grandeurs de base
- 2.2 Des unités définies par des constantes
3. Unités dérivées, préfixes, unités d'usage
- 3.1 Unités dérivées
- 3.2 Grandeurs sans dimension qui ont une unité
- 3.3 Préfixes
- 3.4 Unités d'usage hors du SI
- 3.5 Masse molaire et masse volumique dans les formules
4. Dimension d'une grandeur
- 4.1 Équation aux dimensions
- 4.2 Établir une dimension par la relation la plus simple
- 4.3 Raccourcis par les énergies et les temps
- 4.4 Les constantes ont une dimension
5. Homogénéité
- 5.1 Le principe
- 5.2 Logarithme d'une grandeur qui a une dimension
- 5.3 En chimie : activité, quotient de réaction et constante d'équilibre
- 5.4 Unité de la constante de vitesse
- 5.5 En sciences industrielles
- 5.6 Nécessaire, pas suffisant
6. Analyse dimensionnelle pour établir une loi
- 6.1 La méthode des exposants
- 6.2 Les limites de la méthode
7. Grandeurs caractéristiques et nombres sans dimension
- 7.1 Temps caractéristiques
- 7.2 Longueurs caractéristiques
- 7.3 Nombres sans dimension
- 7.4 Échelles de la diffusion
8. Adimensionner une équation
- 8.1 La démarche
- 8.2 Trois exemples
- 8.3 Pourquoi adimensionner
9. Ordres de grandeur
- 9.1 Écriture scientifique et ordre de grandeur
- 9.2 Valeurs de référence
- 9.3 Comparer deux termes par leur rapport
- 9.4 Estimation de Fermi
- 9.5 Juger un résultat
10. Écrire un résultat numérique
- 10.1 Symbole, valeur, unité
- 10.2 Chiffres significatifs
11. Constantes fondamentales et valeurs utiles
12. Python : lire un exposant, simuler en variables réduites
- 12.1 Lire un exposant sur un tracé log-log
- 12.2 Simuler une équation réduite

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Écrire une valeur avec son unité et la convertir avant le calcul
Établir la dimension et l'unité SI d'une grandeur par la relation la plus simple qui la contient
Utiliser les raccourcis par les énergies et les temps caractéristiques
Vérifier l'homogénéité d'une relation
Trier des formules candidates : homogénéité, puis cas limites et signe
Trouver l'unité d'un coefficient inconnu dans une loi donnée
Rendre sans dimension l'argument d'un logarithme ou d'une exponentielle
Trouver une loi de puissance par la méthode des exposants, puis fixer la constante
Reconnaître qu'une analyse dimensionnelle ne conclut pas et écrire $\mathcal G = \mathcal G_0\,\psi(\Pi)$
Construire un temps ou une longueur caractéristique et estimer avec
Adimensionner une équation différentielle et lire les paramètres sans dimension
Comparer deux termes par l'ordre de grandeur de leur rapport et justifier qu'on en néglige un
Mener une estimation de Fermi
Écrire un résultat numérique : unité, puissance de dix, chiffres significatifs adaptés
Juger un résultat par un ordre de grandeur de référence
Python : lire un exposant sur un tracé log-log et simuler en variables réduites
Calculer un nombre de Reynolds et conclure sur le régime ou sur le modèle de traînée
Relier les échelles de temps et de longueur d'une diffusion, $\ell_D \sim \sqrt{D\,t}$

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Unités de base, unités dérivées et préfixes (physique, chimie, SII)
Dimension ou unité ? (physique)
Dimensions des constantes fondamentales (physique)
Homogénéité de cinq relations (physique, chimie)
Choisir l'expression de l'interfrange (physique)
Pendule simple par la méthode des exposants (physique)
Unité de la constante de vitesse et ordre d'une réaction (chimie)
Activité, pH et constante d'équilibre sans dimension (chimie)
Moteur d'un vélo à assistance électrique (SII)
Rapport de réduction d'un lève-vitre (SII)
Cheval-vapeur et kilowattheure (SII)
Écrire un résultat avec le bon nombre de chiffres (physique, chimie)
Ordres de grandeur de référence (physique)

Entraînement (17)

Le sillage d'un jouet sur une mare (physique)
Le son des dunes (physique)
Corde tendue et son dans un fluide (physique)
Troisième loi de Kepler et masse de Jupiter (physique)
Gouttes de pluie : coefficient et vitesse limite (physique)
La pompe de la citerne : puissance hydraulique et lois de similitude (SII)
Atmosphère d'une tornade : hauteur d'échelle et pression dynamique (physique)
Vitesse des molécules d'un gaz (chimie)
Pente d'un changement d'état par analyse dimensionnelle (chimie)
Ordre d'une réaction et temps de demi-réaction (chimie)
Corrosion : millimètres par an et densité de courant (chimie)
Forces sur un proton (physique)
Circuits RC et RLC en variables réduites (physique)
Estimations de Fermi (physique, chimie)
Vélo cargo : inertie équivalente et unités d'un schéma-bloc (SII)
Écoulement dans une conduite : viscosité et nombre de Reynolds (physique)
Chauffage d'une paroi : longueur de diffusion (physique)

Approfondissement (5)

Atomes froids : vitesse et longueur d'onde thermique (physique)
Traînée d'un grain de sable et tracé log-log (physique, Python)
Pendule de grande amplitude (physique, Python)
Vent sur un ballon-sonde (physique)
Lois d'échelle des micro-moteurs (SII)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le corps noir et la catastrophe ultraviolette
CNC 2017, filière MP, Physique I (questions 1.4.4.7, 1.4.4.8 et 2.1.1 à 2.1.5)
L'atome d'hydrogène et les ondes de matière
CNC 2019, filière MP, Physique II (questions 2.1.2 à 2.1.3.3)
Le protoxyde d'azote : un équilibre impossible et une cinétique d'ordre 1
CNC 2024, filière TSI, Chimie (questions 2.4, 2.7 à 2.11 et 3.1 à 3.9)

Comment y accéder

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