Fonctions usuelles et lecture des graphes en prépa : exponentielle, logarithmes, échelles semi-log et log-log

Q: Comment déterminer graphiquement une constante de temps ?

Lis d'abord la valeur initiale y_0 et la valeur finale y_∞. Trace ensuite la tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote y = y_∞ à l'instant t = τ. Tu peux aussi calculer y_0 + 0,632 (y_∞ - y_0) et lire l'instant où la courbe atteint cette valeur. Sur des mesures bruitées, la tangente est difficile à poser : la droite ln|y - y_∞| en fonction de t, de pente -1/τ, exploite tous les points utiles, si y_∞ est connu.

Q: Pourquoi 63 % pour la constante de temps ?

Après une durée τ, l'écart à la valeur finale a été multiplié par e^(-1) ≃ 0,37 : il reste 37 % du trajet, donc 63 % ont été parcourus. Le pourcentage porte sur le trajet de y_0 à y_∞, pas sur la valeur finale. Pour une montée de 2 à 10 V, le point à τ est à 7,1 V, et non à 6,3 V. Après 3τ, 95 % du trajet sont faits ; après 5τ, 99,3 %.

Q: Le temps de réponse à 5 % vaut-il toujours trois fois la constante de temps ?

Non, seulement au premier ordre, où t_(5 %) = τln 20 ≃ 3,0 τ. Pour un second ordre, on lit le temps de réponse directement sur la courbe : c'est l'instant de la dernière entrée dans la bande à ± 5 % de la valeur finale. Pour reconnaître l'ordre, regarde la tangente à l'origine : pente non nulle au premier ordre, tangente horizontale pour un ordre au moins égal à 2.

Q: Comment lire une échelle logarithmique ?

Chaque décade, où la grandeur est multipliée par 10, a la même longueur, et les graduations se resserrent vers le haut : 2 est à 30 % de la décade, 3 à 48 %, 5 à 70 %. Le milieu de la décade entre 10 et 100 vaut 32, pas 55. Un axe logarithmique n'a pas de zéro, et les longueurs n'y sont pas proportionnelles aux écarts : on ne lit pas linéairement entre deux graduations et on ne fait pas de rapport de longueurs.

Q: Comment linéariser une loi pour obtenir une droite ?

On choisit les variables qui rendent la loi affine. Pour y = y_0 e^(-t/τ), on porte ln y en fonction de t, de pente -1/τ. Si la valeur finale n'est pas nulle, on porte ln|y - y_∞|. Pour y = Kx^α, on porte ln y en fonction de ln x, de pente α. Pour la loi d'Arrhenius, on porte ln k en fonction de 1/T, de pente -E_a/R. L'argument d'un logarithme est rapporté à une unité, et u(ln y) = u(y)/|y| : à bruit constant, les derniers points sont les moins fiables.

Connaître et tracer les fonctions du physicien, lire un graphe et choisir son échelle : affine, puissance, exponentielle, logarithme, trigonométrie, échelles semi-logarithmique et log-log, tracés avec matplotlib, en physique, en chimie et en SII.

20méthodes
39exercices corrigés
4problèmes
17pièges
85figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Lire un graphe, c'est regarder dans l'ordre les axes, les échelles, la forme et les valeurs repères, puis traduire ce qu'on lit en paramètres d'une loi. Une évolution exponentielle s'écrit $y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ et se lit avec trois nombres ; une droite en semi-log signale une exponentielle, une droite en log-log une loi de puissance, dont l'exposant se compte en décades. Ce chapitre d'outils mathématiques vaut pour les filières scientifiques du Maroc et de France, avec des fonctions exigibles réduites en ATS II et ATS GC ; il sert en physique, en chimie et en sciences industrielles, en TP comme à l'écrit des concours.

Ce que tu sauras faire

Un débit relevé d'heure en heure, une tension qui remonte en arrondi, un diagramme aux axes gradués $1$ , $10$ , $100$ : en physique, en chimie et en sciences industrielles, une grande part des points se gagne en lisant une courbe. Une courbe bien lue dit la loi, ses paramètres et son domaine ; mal lue, elle fait perdre une question entière pour un axe mal regardé. Ce chapitre donne les fonctions que tu dois reconnaître d'un coup d'œil et les gestes de lecture que les concours attendent. À la fin, tu dois savoir :

lire un graphe dans l'ordre et donner une pente avec son unité ;
reconnaître une fonction usuelle à son allure et à deux valeurs repères ;
lire une exponentielle : valeurs initiale et finale, constante de temps, temps à $63\ \%$ et à $95\ \%$ , temps de demi-réaction ;
lire une sinusoïde : amplitude, période, décalage, déphasage ;
lire une réponse à un échelon ;
trouver un comportement asymptotique et un extremum, tracer une allure sans étude complète ;
choisir les variables qui rendent une loi rectiligne ;
lire un axe logarithmique, reconnaître une exponentielle en semi-log et une puissance en log-log ;
lire un réseau de courbes et un abaque ;
tracer un graphe de compte rendu, à la main et avec matplotlib.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$y_0$ , $y_\infty$ , $\tau$ : valeurs initiale et finale, constante de temps ; $t_{5\,\%}$ : temps de réponse à $5\ \%$ ; $t_{1/2}$ : temps de demi-réaction.
$\ln$ népérien, $\log$ décimal ; $y = a_1x + a_0$ ; $y = Kx^\alpha$ ; $\mathrm H(t)$ : échelon.
$\mathcal P_s$ : puissance surfacique, dont l'irradiance. Jamais $u(I)$ pour une tension : $u(x)$ est une incertitude-type.

À retenir Lire un graphe

Dans l'ordre : axes (grandeur, unité, facteur en tête d'axe), échelles (linéaire ou logarithmique, sens, origine), forme, valeurs repères. Une pente a pour unité le quotient des unités des axes ; elle se calcule sur deux points de la droite moyenne, éloignés l'un de l'autre.

Allures à reconnaître d'un coup d'œil : droite, x², racine de x, 1/x, croissance et décroissance exponentielles, logarithme, cosinus.

À retenir Puissances

$y = Kx^\alpha$ : multiplier $x$ par $s$ multiplie $y$ par $s^\alpha$ . Parabole $y = a_2x^2 + a_1x + a_0$ : sommet en $x = -a_1/(2a_2)$ .

À retenir Exponentielle

Forme canonique : $y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ .
Trajet parcouru : $63{,}2\ \%$ à $\tau$ ; $86{,}5\ \%$ à $2\tau$ ; $95{,}0\ \%$ à $3\tau$ ; $99{,}3\ \%$ à $5\tau$ . Le pourcentage porte sur le trajet $y_\infty - y_0$ , pas sur $y_\infty$ .
La tangente à l'origine coupe l'asymptote en $t = \tau$ .
$t_{5\,\%} \simeq 3{,}0\,\tau$ au premier ordre seulement.
$t_{1/2} = \tau\ln2$ ; ordre 1 : $t_{1/2} = \ln2/k$ , indépendant de $[\mathrm A]_0$ ; ordre 2 : $t_{1/2} = 1/(k[\mathrm A]_0)$ .

À retenir Logarithmes

$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ ; $\ln10 \simeq 2{,}30$ ; $\log2 \simeq 0{,}30$ ; $\log3 \simeq 0{,}48$ ; $\log5 \simeq 0{,}70$ . Une décade : facteur $10$ . Doubler une puissance : $+3{,}0$ dB. Diluer dix fois un acide fort : $+1$ de pH, loin de $\mathrm{pH} = 7$ . L'argument est sans dimension. Incertitude : $u(\ln y) = u(y)/\lvert y\rvert$ .

À retenir Sinusoïde

Amplitude : moitié de l'écart entre maximum et minimum. $\omega = 2\pi/T_0$ . $\lvert\varphi\rvert = 2\pi\,\lvert\Delta t\rvert/T_0$ . Le maximum qui vient le premier est en avance.

À retenir Réponse à un échelon

Regarder l'entrée. Tangente à l'origine de pente non nulle : premier ordre ; horizontale : ordre au moins 2. Gain statique : rapport des variations, avec son unité.

À retenir Comportements

Terme dominant aux deux bouts, en comparant des grandeurs de même dimension. Une asymptote est une forme suivie, pas seulement une limite. Un extremum : $y' = 0$ , nature, valeur, signification.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Lire

\tau

sur un graphe : tangente à l'origine, 63 %,

t_{5\,\%}

Quand l’utiliser

L'énoncé demande une constante de temps « par lecture », ou donne une courbe de charge, de décharge, de réponse.

Rappel de cours

La tangente en $t = 0$ coupe l'asymptote $y = y_\infty$ en $t = \tau$ . On a $y(\tau) = y_0 + 0{,}632\,(y_\infty - y_0)$ et $t_{5\,\%} \simeq 3{,}0\,\tau$ (cours, section 5).

Démarche

Lire $y_0$ et $y_\infty$ sur le graphe, et l'instant où l'évolution commence.
Soit tracer la tangente à l'origine jusqu'à l'asymptote et lire l'abscisse.
Soit calculer $y_0 + 0{,}632\,(y_\infty - y_0)$ et lire l'abscisse de ce point.
Si le temps ne part pas de zéro, retirer l'instant de départ.
Contrôler par une seconde lecture, et donner une marge.

Rédaction type

« La valeur à $63\ \%$ du trajet vaut $0{,}20 + 0{,}632\times0{,}80 = 0{,}71$ A ; elle est atteinte à $t = 4{,}0$ ms. Donc $\tau = 4{,}0$ ms, à $0{,}2$ ms près. La tangente à l'origine, qui coupe l'asymptote au même instant, le confirme. »

Exemple traité

(Physique) Le courant d'une bobine passe de $0{,}20$ A à $1{,}00$ A. La tangente à l'origine rejoint $1{,}00$ A à $t = 4{,}0$ ms ; la lecture à $0{,}71$ A donne le même instant : $\tau = 4{,}0$ ms. Prendre $63\ \%$ de $1{,}00$ A aurait donné $0{,}63$ A, atteint à $3{,}1$ ms, soit une erreur de $23\ \%$ . On en déduit $t_{5\,\%} \simeq 12$ ms.

Erreurs fréquentes

Prendre $63\ \%$ de la valeur finale au lieu de $63\ \%$ du trajet.
Mener la tangente jusqu'à l'axe des abscisses alors que l'asymptote n'est pas cet axe.
Oublier le décalage temporel quand l'échelon n'est pas appliqué à $t = 0$ .

Pour s’entraîner

Exercices 5, 14, 15, 17, 25 et 33.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Constante de temps d'une charge (physique) ★☆☆

Un condensateur de capacité $C = 10\ \mu\text{F}$ , initialement déchargé, se charge à travers une résistance $R_{\text{él}}$ sous une tension constante. La figure donne $u_C(t)$ (courbe construite pour l'exercice).

Charge d'un condensateur : u_C part de 0, croît et tend vers l'asymptote 5 V ; le temps est gradué de 0 à 0,5 s.

Lire la valeur finale. Tracer la tangente à l'origine et en déduire $\tau$ .
Retrouver $\tau$ par la lecture à $63\ \%$ .
En déduire $R_{\text{él}}$ , puis la valeur de $t_{5\,\%}$ .
On recommence la charge en partant de $u_C(0) = 2{,}0$ V, avec le même circuit et la même valeur finale. Quelle tension lit-on à $t = \tau$ ?

Indications

Méthode 5. La tangente à l'origine se prolonge jusqu'à l'asymptote. Le pourcentage porte sur le trajet $y_\infty - y_0$ . Cours complet du circuit : chapitre « Régimes transitoires ».

Correction détaillée

1. La courbe tend vers $y_\infty = 5{,}0$ V. La tangente à l'origine a pour pente $(y_\infty - y_0)/\tau$ : elle atteint l'asymptote à $t = \tau$ . On lit l'intersection à $t \approx 0{,}10$ s, soit une pente de $50\ \text{V}\cdot\text{s}^{-1}$ . Marge de lecture : environ $0{,}01$ s, à cause du tracé de la tangente.

2. Le niveau à $63\ \%$ vaut $0{,}632\times5{,}0 = 3{,}2$ V, atteint à $t \approx 0{,}10$ s. Les deux lectures concordent.

R_{\text{él}} = \frac{\tau}{C} = \frac{0{,}10\ \text{s}}{10\times10^{-6}\ \text{F}} = 10\ \text{k}\Omega.

Unité : $\text{s}\cdot\text{F}^{-1} = \Omega$ . Et $t_{5\,\%} = 3{,}0\,\tau = 0{,}30$ s.

4. Le temps caractéristique ne dépend pas du point de départ. À $t = \tau$ , on a parcouru $63\ \%$ du trajet de $3{,}0$ V :

u_C(\tau) = 2{,}0 + 0{,}632\times3{,}0 = 3{,}9\ \text{V},

et non $3{,}2$ V. Prendre $63\ \%$ de la valeur finale serait faux dès que $y_0 \neq 0$ .

Méthodes à retenir

Méthode 5 : la tangente à l'origine va jusqu'à l'asymptote ; $63\ \%$ porte sur le trajet $y_\infty - y_0$ ; $t_{5\,\%} = 3{,}0\,\tau$ .

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 20 méthodes, 17 pièges corrigés, la carte mentale, 39 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

Ouvrir l'essai gratuit Une question ? WhatsApp

Plan du cours

1. Lire un graphe
2. Fonction affine et proportionnalité
3. Puissances et polynôme du second degré
- 3.1 Lois de puissance
- 3.2 Polynôme du second degré
4. L'exponentielle
- 4.1 Un taux proportionnel à la grandeur
- 4.2 La forme canonique
- 4.3 Valeurs repères
5. Lire une constante de temps
- 5.1 La tangente à l'origine
- 5.2 Lecture à 63 % et à 95 %
- 5.3 Droite en semi-log
- 5.4 Quelle lecture choisir
- 5.5 Demi-vie et temps de demi-réaction
6. Logarithmes
7. Fonctions circulaires, lues sur un graphe
8. Autres courbes à reconnaître
- 8.1 Arc tangente
- 8.2 Fonctions hyperboliques
- 8.3 Sinus cardinal et gaussienne
9. Signaux canoniques et réponses
10. Comportement d'une fonction du physicien
- 10.1 Terme dominant et cas limites
- 10.2 Asymptotes
- 10.3 Extremum
- 10.4 Allure sans étude complète
- 10.5 Famille de courbes
11. Se ramener à une droite
12. Échelles logarithmiques
- 12.1 Pourquoi
- 12.2 Lire un axe
- 12.3 Pas de zéro
- 12.4 Semi-log : l'exponentielle
- 12.5 Log-log : la puissance
- 12.6 Ce qu'un axe logarithmique interdit
- 12.7 Le diagramme de Bode, un log-log déguisé
13. Réseaux de courbes, iso-valeurs, abaques
14. Tracer
15. Python : tracer avec matplotlib

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Lire un graphe dans l'ordre : axes, unités, échelles, origine, forme, valeurs repères
Calculer une pente et une ordonnée à l'origine avec leurs unités
Reconnaître une fonction à son allure et à deux valeurs repères, prévoir l'effet d'un doublement
Mettre une évolution sous forme canonique et lire $y_0$ , $y_\infty$ , $\tau$
Lire $\tau$ sur un graphe : tangente à l'origine, 63 %, $t_{5\,\%}$
Lire un temps de demi-réaction et tester s'il dépend de la valeur initiale
Lire une réponse indicielle : ordre, gain statique, $t_{5\,\%}$ , dépassement
Trouver un comportement asymptotique : terme dominant, cas limites
Tracer l'allure d'une fonction du physicien sans étude complète
Trouver un extremum et dire ce qu'il signifie
Lire une sinusoïde : amplitude, période, décalage, déphasage
Choisir la transformation qui rend une loi rectiligne
Reconnaître une exponentielle en semi-log et en tirer $\tau$
Placer et lire un point sur un axe logarithmique, compter des décades
Reconnaître une loi de puissance en log-log, en tirer l'exposant et la constante
Lire un réseau de courbes, un abaque, des courbes iso-valeur
Tracer un graphe de compte rendu : titre, axes, unités, points, barres, échelle
Tracer avec matplotlib : courbe, nuage, deux courbes, axes logarithmiques
Lire un diagramme de Bode : point, pente, coupure, signal de sortie
Passer d'un tableau à un graphe et rédiger une courte synthèse

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (16)

Caractéristique d'une pile (physique)
Quelle courbe pour quelle situation (SII, physique, chimie)
Doubler la distance, la longueur, la température (physique)
Forme canonique de quatre évolutions (physique, chimie)
Constante de temps d'une charge (physique)
Hydrolyse d'un substrat dans un digesteur (chimie)
Logarithmes sans calculatrice (chimie, physique)
Reconnaître un ordre sur une réponse (SII)
Temps de réponse à 5 % sur un relevé bruité (SII)
Amplitude, période, déphasage à l'oscilloscope (physique)
Asymptotes de deux fonctions (physique)
Placer des mesures sur un axe logarithmique (SII, physique)
Droite ou pas droite : choisir les coordonnées (chimie, physique)
Exponentielle et tangente en Python (physique, Python)
Gain lu, signal de sortie (physique)
Cosinus et sinus hyperboliques (physique)

Entraînement (17)

Décharge d'un condensateur : trois lectures comparées (physique)
Refroidissement d'une tasse de thé (physique)
Capteur d'humidité : une exponentielle qui ne tend pas vers zéro (physique)
Anémomètre à fil chaud : une pente par vitesse (physique)
Diagramme du dioxyde de carbone en échelle logarithmique (physique)
Puissance transférée à une charge (physique)
Hypochlorite dans une station d'eau (chimie)
Trois ordres, trois tracés (chimie)
Loi d'Arrhenius lue sur une droite (chimie)
Allure d'un titrage pH-métrique (chimie)
Identifier un four sur sa réponse à un échelon (SII)
Choisir la pompe du réservoir d'une école (SII, physique)
Second ordre : dépassement et temps de réponse (SII)
Six défauts d'un graphe de compte rendu (chimie)
Lois de Kepler sur un graphe log-log (physique, Python)
Vibrations dans un guidon (physique)
Du tableau au graphe et à la synthèse (chimie)

Approfondissement (6)

Chute avec frottement quadratique (physique)
Force de Casimir : l'exposant sans l'ordonnée (physique)
Courbes de Tafel (chimie)
Température d'une pièce : tangente et origine décalée (SII)
Tache de diffraction : sinus cardinal et numpy.sinc (physique, Python)
Bande passante et temps de réponse d'un premier ordre (SII)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Abaque du temps de réponse : régler la commande d'un chariot
CNC 2014, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur (question 15, b et c)
Un panneau solaire pour remplir un bassin : réseau de courbes et diagramme de Moody
Banque PT 2025, filière PT, Physique A (questions Q17 à Q19 et Q41 à Q44)
Trier un sol par sédimentation : résoudre une équation sur un graphe log-log
Banque PT 2026, filière PT, Physique A (questions 5 à 10)
Mesurer une vitesse de rotation : chronogramme et diagramme de Bode d'un filtre
CNC 2023, filière PSI, Physique II (questions 2.4 et 2.5)

Questions fréquentes

Comment déterminer graphiquement une constante de temps ?

Lis d'abord la valeur initiale $y_0$ et la valeur finale $y_\infty$ . Trace ensuite la tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote $y = y_\infty$ à l'instant $t = \tau$ . Tu peux aussi calculer $y_0 + 0{,}632\,(y_\infty - y_0)$ et lire l'instant où la courbe atteint cette valeur. Sur des mesures bruitées, la tangente est difficile à poser : la droite $\ln\lvert y - y_\infty\rvert$ en fonction de $t$ , de pente $-1/\tau$ , exploite tous les points utiles, si $y_\infty$ est connu.

Pourquoi 63 % pour la constante de temps ?

Après une durée $\tau$ , l'écart à la valeur finale a été multiplié par $\mathrm e^{-1} \simeq 0{,}37$ : il reste $37\ \%$ du trajet, donc $63\ \%$ ont été parcourus. Le pourcentage porte sur le trajet de $y_0$ à $y_\infty$ , pas sur la valeur finale. Pour une montée de $2$ à $10$ V, le point à $\tau$ est à $7{,}1$ V, et non à $6{,}3$ V. Après $3\tau$ , $95\ \%$ du trajet sont faits ; après $5\tau$ , $99{,}3\ \%$ .

Le temps de réponse à 5 % vaut-il toujours trois fois la constante de temps ?

Non, seulement au premier ordre, où $t_{5\,\%} = \tau\ln 20 \simeq 3{,}0\,\tau$ . Pour un second ordre, on lit le temps de réponse directement sur la courbe : c'est l'instant de la dernière entrée dans la bande à $\pm 5\ \%$ de la valeur finale. Pour reconnaître l'ordre, regarde la tangente à l'origine : pente non nulle au premier ordre, tangente horizontale pour un ordre au moins égal à $2$ .

Comment lire une échelle logarithmique ?

Chaque décade, où la grandeur est multipliée par $10$ , a la même longueur, et les graduations se resserrent vers le haut : $2$ est à $30\ \%$ de la décade, $3$ à $48\ \%$ , $5$ à $70\ \%$ . Le milieu de la décade entre $10$ et $100$ vaut $32$ , pas $55$ . Un axe logarithmique n'a pas de zéro, et les longueurs n'y sont pas proportionnelles aux écarts : on ne lit pas linéairement entre deux graduations et on ne fait pas de rapport de longueurs.

Quelle est la différence entre un graphe semi-log et un graphe log-log ?

En semi-log, seule l'ordonnée est logarithmique : une droite signale une exponentielle, et une décade perdue correspond à une durée $\tau\ln 10 \simeq 2{,}3\,\tau$ . En log-log, les deux axes sont logarithmiques : une droite signale une loi de puissance $y = Kx^\alpha$ . Une droite ainsi obtenue suggère la loi ; elle ne la prouve pas sans examen des incertitudes.

Comment trouver l'exposant d'une loi de puissance sur un graphe log-log ?

Choisis deux points éloignés sur la droite, et compte les décades parcourues sur chaque axe : $\alpha$ est le nombre de décades parcourues en $y$ divisé par le nombre de décades parcourues en $x$ . Ne mesure pas la pente à la règle : les deux axes n'ont pas forcément la même longueur de décade. La constante $K$ est la valeur de $y$ en $x = 1$ . Sans graphe, deux points suffisent : $\alpha = \ln(y_2/y_1)/\ln(x_2/x_1)$ .

Comment linéariser une loi pour obtenir une droite ?

On choisit les variables qui rendent la loi affine. Pour $y = y_0\,\mathrm e^{-t/\tau}$ , on porte $\ln y$ en fonction de $t$ , de pente $-1/\tau$ . Si la valeur finale n'est pas nulle, on porte $\ln\lvert y - y_\infty\rvert$ . Pour $y = Kx^\alpha$ , on porte $\ln y$ en fonction de $\ln x$ , de pente $\alpha$ . Pour la loi d'Arrhenius, on porte $\ln k$ en fonction de $1/T$ , de pente $-E_a/R$ . L'argument d'un logarithme est rapporté à une unité, et $u(\ln y) = u(y)/\lvert y\rvert$ : à bruit constant, les derniers points sont les moins fiables.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.