Équations différentielles linéaires du premier ordre en prépa : forme canonique, solution, Euler

Q: Qu'est-ce que la forme canonique d'une équation du premier ordre ?

C'est l'écriture y' + y/τ = y_∞/τ, obtenue en divisant par le coefficient de y'. Elle donne sans calcul le temps caractéristique τ et la valeur finale y_∞. Le second membre vaut y_∞/τ, et non y_∞ : le contrôle d'homogénéité le montre. Les SII préfèrent τy' + y = K_s y_e, où τ se lit directement.

Q: Comment résoudre vite une équation du premier ordre à second membre constant ?

Cherche trois nombres : la valeur initiale y_0, la valeur finale y_∞ et le temps caractéristique τ. La solution s'écrit alors y(t) = y_∞ + (y_0 - y_∞) e^(-t/τ). Pour une charge de 4 V à 12 V avec τ = 2 ms, on a 12 - 8 e^(-t/τ), en volts. La variation de la constante n'est pas utile ici.

Q: Que signifie le signe de la constante de temps ?

Si τ est positif, l'écart à la valeur d'équilibre s'efface et le système est stable. S'il est négatif, l'écart croît exponentiellement. Pour une température ou un circuit passif, un τ négatif signale une erreur de signe dans le bilan. Pour un système réellement instable, il décrit un emballement, jusqu'à ce que la saturation mette fin au modèle.

Reconnaître, mettre sous forme canonique et résoudre l'équation du premier ordre à coefficients constants : temps caractéristique, régimes permanent et transitoire, conditions initiales, séparation des variables et méthode d'Euler, en physique, en chimie et en SII.

18méthodes
39exercices corrigés
4problèmes
21pièges
70figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants décrit tout système dont le taux de variation est proportionnel à l'écart à une valeur d'équilibre : circuit RC, refroidissement, réaction d'ordre 1, moteur. Sa forme canonique $\dot y + y/\tau = y_\infty/\tau$ donne le temps caractéristique et la valeur finale sans calcul, et, pour un second membre constant, la solution tient en trois nombres : $y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . Ce chapitre d'outils mathématiques vaut pour les filières scientifiques du Maroc et de France, avec une résolution limitée au second membre constant en ATS II et ATS GC ; il sert en physique, en chimie et en sciences industrielles, de la méthode d'Euler à l'identification d'une réponse à un échelon.

Ce que tu sauras faire

Une tension qui monte en arrondi, une tasse qui refroidit, une espèce chimique qui disparaît, un moteur qui prend sa vitesse : ces quatre évolutions obéissent à la même équation. Quand on la reconnaît, on connaît la réponse avant d'avoir calculé. Le chapitre sur les fonctions usuelles a appris à lire la solution ; celui-ci apprend à écrire l'équation et à l'exploiter, en physique, en chimie et en sciences industrielles.

À la fin de ce chapitre, tu sais :

reconnaître une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ;
la mettre sous forme canonique et y lire le temps caractéristique et la valeur finale, avec leur dimension et leur signe ;
prévoir une réponse sans la calculer, puis la résoudre vite ;
trouver une condition initiale par la continuité d'une grandeur, et un régime permanent sans équation ;
écrire un bilan entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$ en électricité, en thermique, en chimie et en mécanique ;
passer de l'écriture de la physique à celle de la chimie et des SII ;
remonter d'une courbe à l'équation ;
appliquer la méthode d'Euler à la main et en Python, choisir le pas et valider un programme.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$y$ : inconnue ; $y_0$ , $y_\infty$ : valeurs initiale et finale ; $\tau$ : temps caractéristique ; $B$ : constante d'intégration ; $y_{\text H}$ , $y_{\text P}$ : solutions homogène et particulière.
$\mathcal S(t)$ : second membre de $\dot y + y/\tau = \mathcal S(t)$ .
$0^-$ , $0^+$ : juste avant, juste après ; $\Delta t$ : pas ; $y_n$ , $t_n$ : valeurs au rang $n$ .
$\mathcal E$ : force électromotrice ; $R_{\text{él}}$ : résistance électrique ; $h_{\text{th}}$ , $C_{\text{th}}$ : coefficient d'échange, capacité thermique.
Une tension porte un indice ( $u_C$ , $u_L$ ) : $u(x)$ est une incertitude-type.
SII : sortie $y$ , entrée $y_{\text e}$ . Les SII écrivent $s$ , $e$ , $K$ , $T$ pour $y$ , $y_{\text e}$ , $K_{\text s}$ , $\tau$ .

À retenir Reconnaître

Ordre : la dérivée la plus élevée. Linéaire : $y$ et $\dot y$ au premier degré, sans produit entre eux. Coefficients constants : rien ne dépend de $t$ devant $y$ et $\dot y$ . Modèle : un taux de variation proportionnel à l'écart à une valeur d'équilibre.

À retenir Forme canonique, trois écritures

Discipline	Écriture
physique	$\dot y + y/\tau = y_\infty/\tau$
SII	$\tau\dot y + y = K_{\text s}\,y_{\text e}$
chimie	$\mathrm{d}[\mathrm A]/\mathrm{d}t = -\lvert\nu_{\text A}\rvert\,k[\mathrm A]$

Le second membre vaut $y_\infty/\tau$ , pas $y_\infty$ . $\tau$ est un temps, positif pour un système qui revient à l'équilibre.

À retenir Solution

Homogène : $y_{\text H} = B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ , $B$ a la dimension de $y$ .
Second membre constant : $y_{\text P} = y_\infty$ .
Somme d'abord, constante ensuite.
Formule directe, second membre constant : $y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ .
Pente à l'origine : $(y_\infty - y_0)/\tau$ .

À retenir Condition initiale

Continus : $u_C$ , $i_L$ , $T$ , $v$ , si la puissance reste finie.
Peuvent sauter : $i_C$ , $u_L$ , $\dot y$ .
Démarche : grandeur continue en $0^-$ , même valeur en $0^+$ , lois du circuit en $0^+$ .

À retenir Régime permanent de second membre constant

Dérivées nulles. Condensateur : interrupteur ouvert. Bobine : fil. Éteindre une source de tension : un fil. Temps par la résistance vue, sources éteintes : $\tau = R_{\text{éq}}C$ ou $\tau = L/R_{\text{éq}}$ .

À retenir Temps caractéristiques

Système	$\tau$	$y_\infty$
RC	$R_{\text{él}}C$	$\mathcal E$
RL	$L/R_{\text{él}}$	$\mathcal E/R_{\text{él}}$
chute	$m/\alpha_{\text f}$	$mg/\alpha_{\text f}$
refroidissement	$mc_p/(h_{\text{th}}S) = R_{\text{th}}C_{\text{th}}$	$T_{\text{ext}}$
ordre 1	$1/(\lvert\nu_{\text A}\rvert\,k)$	$0$
renversable	$1/(k_1 + k_{-1})$	$x_{\text é}$
cuve	$V/D_V$	$[\mathrm X]_{\text e}$
moteur	$R_{\text{él}}J_{\text{eq}}/(K_{\text e}K_{\text m})$	$\mathcal E/K_{\text e}$ à vide

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Résoudre : homogène, particulière, somme, constante, ou formule directe

Quand l’utiliser

L'énoncé demande l'expression de la solution, pour un second membre constant.

Rappel de cours

$y = y_\infty + B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ , puis $B$ sur la somme (cours, section 5.3).

Démarche

Écrire la forme canonique.
Écrire $y_{\text H} = B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ .
Écrire $y_{\text P} = y_\infty$ : une constante pour un second membre constant.
Écrire la somme.
Appliquer la condition initiale à la somme, et trouver $B$ .
Écrire le résultat, puis le contrôler en $t = 0$ et à l'infini.

Si le second membre est constant, on peut écrire directement $y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ : les étapes 2 à 5 sont faites d'un coup.

Rédaction type

« La solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante : $u_C = \mathcal E + B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . La tension étant continue, $u_C(0^+) = u_0$ , d'où $B = u_0 - \mathcal E$ . »

Exemple traité

(Physique) Un condensateur, chargé à $u_0 = 4{,}0$ V, est relié à $t = 0$ à une source de $\mathcal E = 12$ V à travers une résistance, avec $\tau = 2{,}0$ ms. En volts :

u_C = 12 + (4{,}0 - 12)\,\mathrm e^{-t/\tau} = 12 - 8{,}0\,\mathrm e^{-t/\tau} .

Contrôle : $4{,}0$ V en $t = 0$ , $12$ V à l'infini. On atteint $10$ V quand $8{,}0\,\mathrm e^{-t/\tau} = 2{,}0$ , soit $t = \tau\ln4 = 2{,}8$ ms.

Erreurs fréquentes

Fixer la constante sur la solution homogène.
Prendre $y_{\text P}$ égale au second membre : c'est $y_\infty$ , pas $y_\infty/\tau$ .
Conclure que $y(0) = 0$ donne $B = 0$ .
Employer la variation de la constante pour un second membre constant.
Appliquer la formule directe à un second membre qui dépend du temps.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 5, 7, 8, 11, 15, 19 et 33.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Charge, temps à 90 %, « presque chargé » (physique) ★☆☆

Un condensateur déchargé, de capacité $C$ , se charge à travers une résistance $R_{\text{él}}$ sous une tension constante $\mathcal E$ . On ferme K à $t = 0$ .

Circuit série : source de tension E, interrupteur K, résistance, condensateur C ; la tension u_C est fléchée aux bornes du condensateur, l'intensité i sur le fil.

Établir l'équation vérifiée par $u_C$ et donner sa solution.
Pour $R_{\text{él}} = 1{,}0\ \text{k}\Omega$ et $C = 1{,}0\ \mu\text{F}$ , calculer l'instant où $u_C$ atteint $90\ \%$ de sa valeur finale.
Dans un autre circuit, $R_{\text{él}} = 10\ \text{k}\Omega$ et $C = 10$ nF. Un énoncé estime qu'à $3\tau$ le condensateur est presque totalement chargé. Calculer $\tau$ , $3\tau$ et le pourcentage de la charge atteint. Que change le choix de $5\tau$ ?
On revient au circuit de la question 2, avec $\mathcal E = 10$ V (valeur construite pour l'exercice). Multiplier la maille par $i$ et nommer chaque terme. En déduire, pour la charge complète, l'énergie fournie par la source, l'énergie stockée, l'énergie dissipée, puis le rendement.

Indications

Méthode 5 : homogène, particulière, somme, puis constante ; ou formule directe. La condition initiale vient de la continuité de $u_C$ . Pour la question 3, retiens qu'aucun programme n'impose de facteur. Pour la question 4, $u_Ci$ se reconnaît comme une dérivée.

Correction détaillée

1. Loi des mailles pour $t > 0$ , avec $i = C\dot u_C$ :

R_{\text{él}}C\,\dot u_C + u_C = \mathcal E,\qquad \text{soit}\quad \dot u_C + \frac{u_C}{\tau} = \frac{\mathcal E}{\tau},\quad \tau = R_{\text{él}}C.

Solution homogène : $B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . Solution particulière constante : $\mathcal E$ . Somme : $u_C = \mathcal E + B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . La tension est continue, donc $u_C(0^+) = 0$ , ce qui donne $B = -\mathcal E$ sur la solution totale :

u_C(t) = \mathcal E\,(1 - \mathrm e^{-t/\tau}).

2. $\tau = 1{,}0$ ms. On écrit $\mathrm e^{-t/\tau} = 0{,}10$ , d'où

t_{90\,\%} = \tau\ln10 = 2{,}3\ \text{ms}.

Ce résultat ne dépend pas de $\mathcal E$ .

3. $\tau = 10^4\ \Omega\times10^{-8}\ \text{F} = 100\ \mu\text{s}$ , donc $3\tau = 300\ \mu\text{s}$ . À cet instant, $u_C/\mathcal E = 1 - \mathrm e^{-3} = 95{,}0\ \%$ . À $5\tau$ , on atteint $99{,}3\ \%$ . « Presque chargé » est une convention : les deux usages existent dans les sujets, et l'énoncé dit lequel il retient. La charge n'est jamais achevée au sens strict.

4. En multipliant $\mathcal E = R_{\text{él}}i + u_C$ par $i = C\dot u_C$ :

\mathcal Ei = R_{\text{él}}i^2 + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac12Cu_C^2\Big).

La puissance fournie par la source se partage entre l'effet Joule et l'énergie stockée. La source fait passer la charge $C\mathcal E$ sous la tension $\mathcal E$ : elle fournit $C\mathcal E^2 = 100\ \mu\text{J}$ . Le condensateur stocke $\frac12C\mathcal E^2 = 50\ \mu\text{J}$ . La résistance dissipe le reste, $50\ \mu\text{J}$ , ce que confirme le calcul de $\int_0^\infty R_{\text{él}}i^2\,\mathrm dt$ . Le rendement vaut $1/2$ , quelle que soit $R_{\text{él}}$ : ce résultat ne vaut que pour une charge sous tension constante à travers une résistance.

Méthodes à retenir

Méthode 5 : la constante se fixe sur la solution complète. $\tau\ln10$ donne le temps à $90\ \%$ , et $3\tau$ ou $5\tau$ sont des usages, pas des valeurs du programme. Multiplier la maille par $i$ donne le bilan d'énergie.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 18 méthodes, 21 pièges corrigés, la carte mentale, 39 exercices corrigés, 4 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Reconnaître l'équation
2. D'où vient l'équation
3. La forme canonique
4. Le signe de $\tau$
5. La solution
- 5.1 Solution de l'équation homogène
- 5.2 Solution particulière
- 5.3 Somme d'abord, condition ensuite
- 5.4 La formule directe
- 5.5 Variation de la constante et coefficient variable
- 5.6 Quand la « même forme » échoue
6. La condition initiale et la continuité
- 6.1 Pourquoi il faut regarder avant $t = 0$
- 6.2 Ce qui est continu, et pourquoi
- 6.3 Trouver la valeur en $0^+$
7. Le régime permanent et les autres grandeurs, sans équation
- 7.1 Le régime permanent
- 7.2 Le temps caractéristique par la résistance vue
- 7.3 Une autre grandeur, sans refaire l'équation
8. La même équation partout
- 8.1 Le refroidissement
- 8.2 Résistance et capacité thermiques
- 8.3 En chimie : deux chemins
- 8.4 Le bilan d'énergie
9. Durée du transitoire et échelles de temps
- 9.1 Combien de temps dure le transitoire
- 9.2 Ce qui fixe $\tau$ , ce qui fixe $y_\infty$
- 9.3 Comparer deux temps
10. Réponse à un échelon, identifier
11. La méthode d'Euler
- 11.1 Suivre la tangente
- 11.2 À la main
- 11.3 Choisir le pas
- 11.4 Pourquoi Euler sert vraiment
12. Euler en Python
13. Séparer les variables
14. odeint, sa spécification étant fournie
14. Cinétique, cuve et calcul numérique
15. Euler sur deux espèces

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Reconnaître le type d'une équation : ordre, linéarité, coefficients, second membre
Mettre sous forme canonique, lire $\tau$ et $y_\infty$ , contrôler la dimension et le signe
Passer d'une écriture à l'autre : physique, SII, chimie
Prévoir sans résoudre : valeur initiale, valeur finale, $\tau$ , pente à l'origine, allure
Résoudre : homogène, particulière, somme, constante, ou formule directe
Trouver la condition initiale : grandeur continue, schéma en $0^+$
Trouver le régime permanent sans équation : schémas équivalents
Établir l'équation d'un circuit : une maille, ou deux mailles par élimination, résistance vue ou modèle de Thévenin
Obtenir une autre grandeur sans refaire l'équation
Écrire un bilan temporel hors électricité : système, entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$ , canonique
Remonter d'une courbe à l'équation : $y_0$ , $y_\infty$ , $\tau$ , seconde lecture, premier ordre ou non
Appliquer la méthode d'Euler à la main
Programmer Euler, choisir le pas, valider
Comparer deux temps caractéristiques pour négliger une dynamique
Séparer les variables, avec des bornes
Utiliser odeint, sa spécification étant fournie
Appliquer Euler à deux espèces
Traiter une cinétique et une cuve, et simuler en pseudo-code

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Reconnaître dix équations (SII, physique, chimie)
Six équations, une forme canonique (chimie, physique, SII)
Prévoir une réponse sans la calculer (SII)
Charge, temps à 90 %, « presque chargé » (physique)
Établissement d'un courant (physique)
Juste après, très longtemps après : quatre circuits (physique)
Réaction d'ordre 1 (chimie)
Dater un bois par le carbone 14 (chimie)
Écriture des SII (SII)
Identifier un système sur sa réponse (SII)
Particule chargée freinée (physique)
Euler à la main (physique)
Compléter un programme d'Euler (physique, Python)
Retrouver l'exponentielle (physique)
Une cuve et une réaction d'ordre 1 (chimie)

Entraînement (18)

Deux mailles, résistance vue (physique)
Un éclair vu comme la décharge d'un condensateur (physique)
Remonter d'un oscillogramme à l'équation (physique)
Une maison qui se refroidit (physique)
Échauffement d'un anneau de cuivre (physique)
Chute d'une gouttelette (physique)
Thermomètre plongé (physique)
Réaction renversable (chimie)
Réactions parallèles (chimie)
Rincer la cuve tampon (chimie, physique)
Médicament dans le sang (chimie)
Moteur de 12 V (SII)
Pourquoi négliger l'inductance (SII)
Plateau chauffant (SII)
Trois zones du pas (physique, Python)
Ordre 1 et ordre 2 (chimie)
odeint contre Euler (physique, Python)
Impact du pas (chimie)

Approfondissement (6)

Deux condensateurs reliés (physique)
Retard de traînage sur une rampe (SII)
Dent de scie par Euler (physique, Python)
Trois durées pour une tige de cuivre (physique)
L'intermédiaire d'une réaction successive (chimie)
A vers B vers C par Euler (chimie, Python)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le plongeur et l'eau froide : bilan thermique et épaisseur de combinaison
CNC 2025, filière MP, Physique II (questions 3.1.4 à 3.3.4)
Le moteur à courant continu : démarrage, couple résistant et identification
CNC 2026, filière TSI, Physique I (questions 3.9 à 3.15) ; CNC 2022, filière MP, Sciences industrielles (questions 9 et 10)
La décomposition de la phosphine : suivre une réaction par la pression
CNC 2008, filière MP, Chimie (questions 2.2.1 à 2.2.4)
Le voyant qui clignote : deux régimes, Euler et bascule, puis une lampe de secours
Mines-Ponts 2024, filière MPI, Physique II (questions Q1 à Q8) ; CCINP 2022, filière TSI, Physique-Chimie (questions Q25 à Q27 et Q31 à Q39)

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la forme canonique d'une équation du premier ordre ?

C'est l'écriture $\dot y + y/\tau = y_\infty/\tau$ , obtenue en divisant par le coefficient de $\dot y$ . Elle donne sans calcul le temps caractéristique $\tau$ et la valeur finale $y_\infty$ . Le second membre vaut $y_\infty/\tau$ , et non $y_\infty$ : le contrôle d'homogénéité le montre. Les SII préfèrent $\tau\dot y + y = K_{s}\,y_{e}$ , où $\tau$ se lit directement.

Comment résoudre vite une équation du premier ordre à second membre constant ?

Cherche trois nombres : la valeur initiale $y_0$ , la valeur finale $y_\infty$ et le temps caractéristique $\tau$ . La solution s'écrit alors $y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,\mathrm e^{-t/\tau}$ . Pour une charge de $4$ V à $12$ V avec $\tau = 2$ ms, on a $12 - 8\,\mathrm e^{-t/\tau}$ , en volts. La variation de la constante n'est pas utile ici.

Où fixer la constante d'intégration ?

Sur la solution complète, jamais sur la solution homogène seule. On écrit d'abord la somme $y = y_\infty + B\,\mathrm e^{-t/\tau}$ , puis la condition initiale donne $B = y_0 - y_\infty$ . Une condition initiale nulle ne rend donc pas la constante nulle : c'est l'une des erreurs les plus relevées par les rapports de jury.

Que signifie le signe de la constante de temps ?

Si $\tau$ est positif, l'écart à la valeur d'équilibre s'efface et le système est stable. S'il est négatif, l'écart croît exponentiellement. Pour une température ou un circuit passif, un $\tau$ négatif signale une erreur de signe dans le bilan. Pour un système réellement instable, il décrit un emballement, jusqu'à ce que la saturation mette fin au modèle.

Quelles grandeurs sont continues dans un circuit ?

La tension d'un condensateur et l'intensité dans une bobine, parce qu'elles mesurent une énergie stockée qui ne peut pas sauter si la puissance reste finie. L'intensité dans un condensateur et la tension aux bornes d'une bobine peuvent sauter. C'est cette continuité qui fournit la condition initiale, puisque l'équation ne vaut que pour $t > 0$ .

Le régime transitoire dure-t-il cinq constantes de temps ?

C'est un usage, pas une règle du programme, qui demande seulement un ordre de grandeur. Il reste $5{,}0\ \%$ de l'écart initial après $3\tau$ et $0{,}7\ \%$ après $5\tau$ . Une exponentielle n'atteint jamais sa limite : il faut donc dire à quelle tolérance on se place.

Quel pas choisir pour la méthode d'Euler ?

Le pas doit être très petit devant le temps le plus court du problème. Sur un premier ordre linéaire, $\Delta t \approx \tau/50$ donne environ $1\ \%$ d'erreur sur l'écart à la valeur finale à $t = \tau$ . Au-delà de $\Delta t = \tau$ , la suite oscille, et au-delà de $2\tau$ elle diverge. Pour valider un programme, on le compare à un cas connu, puis on divise le pas par deux.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet, les tarifs ou une question, écris-nous sur WhatsApp.