Simplification d'un modèle : linéarisation, non-linéarités et pôles dominants, cours et exercices corrigés

Q: Quel est le gain d'un modèle linéarisé ?

C'est le gain local K_0 = (ds/de)_0, pente de la tangente à la caractéristique au point de fonctionnement, avec son unité : Δ s ≈ K_0 Δ e. Ce n'est pas le rapport s_0/e_0, sauf pour une droite qui passe par l'origine. Pour une loi en carré, la pente vaut deux fois le rapport ; pour une loi en racine, la moitié.

Point de fonctionnement et linéarisation d'une caractéristique ou d'une équation, domaine de validité chiffré, non-linéarités (courbure, seuil, saturation, hystérésis, avec le jeu et le frottement sec) et retard pur par leurs effets sur la réponse, pôles dominants et réduction de l'ordre d'un modèle, validation d'un modèle par comparaison à une mesure (écarts absolu et relatif).

19méthodes
33exercices corrigés
6problèmes
23pièges
119figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Simplifier un modèle, c'est le rendre utilisable sans le trahir. On linéarise d'abord autour d'un point de fonctionnement, obtenu en annulant les dérivées : le gain local est la pente de la tangente au point, avec son unité, et non le rapport de la sortie à l'entrée. On reconnaît ensuite les non-linéarités du programme, courbure, seuil, saturation et hystérésis, ainsi que le retard pur, par leur cause physique et leur effet sur la réponse. On réduit enfin l'ordre en gardant les pôles dominants et le gain statique, puis on valide le modèle par comparaison à une mesure, avec un domaine de validité chiffré. Ce chapitre de deuxième année en sciences industrielles concerne la MP et la PSI au Maroc et la MP, la PSI, la PT et la TSI en France ; en TSI, on lit les effets des non-linéarités sur une simulation sans les modéliser. Les sujets du CNC, du CCINP, de Centrale-Supélec et de la Banque PT demandent une pente au point, une zone saturée ou un modèle réduit, et les exercices corrigés en sont tirés.

Ce que tu sauras faire

Les chapitres précédents ont donné des outils puissants : fonction de transfert, schéma-blocs, réponse indicielle, diagramme de Bode. Tous supposent un modèle linéaire, et ils deviennent lourds dès que l'ordre grandit. Or les lois de la physique sont souvent non linéaires (une racine, un carré, un sinus), et un modèle complet compte souvent plus de pôles qu'il n'en faut. Ce chapitre apprend à simplifier un modèle sans le trahir, puis à dire jusqu'où il reste vrai. À la fin du chapitre, tu dois savoir :

dire pourquoi et quand on simplifie un modèle ;
trouver un point de fonctionnement ;
linéariser une caractéristique, puis une équation, à une ou plusieurs variables, et tracer le schéma-blocs en variations ;
chiffrer l'erreur de linéarisation et donner un domaine de validité ;
reconnaître les non-linéarités du programme et le retard pur, en nommer la cause physique et prévoir leur effet sur une réponse ;
repérer les pôles dominants et réduire l'ordre d'un modèle en gardant son gain statique ;
valider un modèle en le comparant à une mesure (écarts absolu et relatif), puis l'enrichir ;
simuler une non-linéarité en Python et répondre sur un document réponse.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Pourquoi simplifier

Fonction de transfert, schéma-blocs et Bode exigent un modèle linéaire ; on préfère un ordre faible.
Trois opérations : linéariser autour d'un point, réduire l'ordre par les pôles dominants, valider par une mesure et dire le domaine de validité.

À retenir Point de fonctionnement et caractéristique

Point de fonctionnement $(e_0, s_0)$ : équilibre sous entrée constante, obtenu en annulant les dérivées.
Linéarisation : $\Delta s \approx K_0\,\Delta e$ , $K_0 = (\mathrm ds/\mathrm de)_0$ , pente de la tangente, avec son unité ; pas le rapport $s_0/e_0$ .
Loi en carré : pente = 2 × rapport ; loi en racine : pente = rapport / 2.
Tangente pour un travail autour d'un point ; régression pour une plage ; jamais la corde sans le dire.
Erreur de la tangente : croît comme le carré de l'écart au point.

À retenir Linéariser une équation

Équation complète et équation d'équilibre.
$x = x_0 + \Delta x$ ; développement au premier ordre ( $\sin\theta \approx \theta$ , $\cos\theta \approx 1$ autour de 0).
Retrancher l'équilibre : plus de constantes.
Négliger les produits de variations.
Laplace à conditions initiales nulles (départ à l'équilibre).

Plusieurs variables : un bloc par dérivée partielle au point, puis un sommateur.

\Delta s \approx \left(\frac{\partial s}{\partial e_1}\right)_0\Delta e_1 + \left(\frac{\partial s}{\partial e_2}\right)_0\Delta e_2

Saturation $[a\,;\,b]$ en variations : $[a - e_0\,;\,b - e_0]$ . Les coefficients dépendent du point ; la classe peut changer.

À retenir Domaine de validité

On choisit une précision, on en déduit l'écart admissible ; le domaine dépend de la grandeur jugée.
Angles en radians. Pendule : période juste à 1 % près jusque vers 23° ; $\sin\theta \approx \theta$ à 1 % près jusqu'à 14°.

À retenir Non-linéarités

Non-linéarité	Cause typique	Effet sur la réponse
courbure	loi physique (racine, carré, exponentielle)	gain qui dépend du point
seuil (zone morte)	frottement sec	écart final dans $\pm e_s/G$
saturation	actionneur limité, butée	rampe ; $t_{r5\%}$ qui dépend de l'amplitude
hystérésis	jeu (engrenage, vis-écrou) ; relais à deux seuils	plateau au changement de sens ; oscillation entretenue

L'inertie n'est pas une non-linéarité. Jeu et frottement sec ne sont pas nommés par le programme.
Retard pur $\mathrm e^{-Tp}$ : linéaire, non rationnel ; limite d'un modèle d'ordre faible.
Zone saturée au début de la réponse. Valeur simulée impossible : saturation oubliée.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Réduire l'ordre d'une fonction de transfert

Quand l’utiliser

Quand un sujet demande un modèle d'ordre plus faible, ou de justifier qu'on néglige une constante de temps (compétence : modéliser).

Rappel de cours

Forme canonique d'abord ; on garde les pôles dominants, les intégrateurs et le gain statique ; on néglige un pôle dont la partie réelle est au moins 5 à 10 fois plus grande (règle d'usage : environ 13 % d'écart de réponse pour un rapport 5, 8 % pour 10).

Démarche

Écrire la fonction de transfert sous forme canonique : $K$ devant des facteurs $1 + \tau p$ .
Comparer les constantes de temps ; calculer leur rapport.
Supprimer les facteurs des pôles rapides, garder $K$ .
Chiffrer l'écart (temps de réponse, dépassement) et conclure sur l'exigence.

Rédaction type

« $\dfrac{30}{(p + 2)(p + 40)} = \dfrac{0{,}375}{(1 + 0{,}5p)(1 + 0{,}025p)}$ . Les constantes de temps sont dans le rapport 20 : on garde $\dfrac{0{,}375}{1 + 0{,}5p}$ . Temps de réponse : 1,50 s, contre 1,52 s pour le modèle complet ; écart des réponses de 4,3 % au plus. L'exigence de 2 s est tenue, et le modèle réduit suffit pour la vérifier. »

Exemple traité

Le moteur d'une scie à ruban de menuiserie a pour fonction de transfert $\dfrac{30}{(p + 2)(p + 40)}$ , vitesse de la lame en m/s pour une tension en volts. Valeurs choisies pour l'exemple. La lame doit atteindre sa vitesse en moins de 2 s.

Erreurs fréquentes

Écrire $\dfrac{30}{p + 2}$ : le gain statique passe de 0,375 à 15.
Réduire avec un rapport de 2 ou 3 sans chiffrer l'erreur.
Supprimer un zéro avec un pôle sans vérifier qu'ils sont voisins.

Pour s’entraîner

Exercices 8, 9, 10, 11, 16, 18, 20, 25, 27 et 30.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Le chariot retourneur : le pôle dominant d'un second ordre apériodique ★☆☆

Suite de l'exercice 22 du chapitre « Modèles de comportement et réponse temporelle » et de l'exercice 21 du chapitre « Réponse fréquentielle et diagrammes de Bode ». Dans la boucle de vitesse du berceau du chariot retourneur de bobines, le sujet prend pour fonction de transfert entre le courant de consigne et la vitesse

H_2(p) = \frac{K_2}{1 + \dfrac{4{,}6}{100}\,p + \dfrac{p^2}{100^2}} = \frac{K_2}{(1 + T_1p)(1 + T_2p)},

avec $T_1 = 1/437{,}12$ s et $T_2 = 1/22{,}87$ s, factorisation établie dans l'exercice 22 du chapitre « Modèles de comportement et réponse temporelle ». Le sujet note $z$ le facteur d'amortissement et $\omega_n$ la pulsation propre ; on écrit ici $\xi$ et $\omega_0$ . On jugera le modèle réduit acceptable si son temps de réponse à 5 % reste à moins de 5 % de celui du modèle complet (exigence choisie pour l'exercice).

Donner $\omega_0$ et $\xi$ , puis les deux pôles. Les placer dans le plan complexe et calculer le rapport de leurs parties réelles.
Justifier que $H_2(p) \approx \dfrac{K_2}{1 + T_3p}$ et identifier $T_3$ .
Calculer le temps de réponse à 5 % des deux modèles et conclure.

Indications

Méthodes 11 et 12. Pour $\xi > 1$ , les pôles sont réels : $p = -\omega_0\left(\xi \pm \sqrt{\xi^2 - 1}\right)$ ; leur produit vaut $\omega_0^2$ .

Correction détaillée

1. $\omega_0 = 100$ rad/s et $2\xi/\omega_0 = 0{,}046$ s, donc $\xi = 2{,}3$ : deux pôles réels, $-100\left(2{,}3 \pm \sqrt{4{,}29}\right)$ , soit −22,88 et −437,1 s⁻¹ (le sujet écrit 22,87 : écart sans effet). Les deux pôles sont sur l'axe réel, l'un 19,1 fois plus loin de l'axe imaginaire que l'autre. Les constantes de temps valent $T_1 = 2{,}29$ ms et $T_2 = 0{,}0437$ s.

2. Le pôle −22,88 domine : son mode $\mathrm e^{-22{,}88\,t}$ dure dix-neuf fois plus longtemps que l'autre. On garde son facteur et le gain $K_2$ : $T_3 = T_2 = 0{,}0437$ s.

3. Modèle réduit : $3T_3 = 0{,}131$ s. Modèle complet (calcul numérique ou abaque du second ordre) : 0,133 s. L'écart vaut 1,8 %, sous les 5 % exigés : la réduction est acceptée. Les deux réponses s'écartent au plus de 4,4 % de la valeur finale, au début, où le modèle complet part avec une tangente horizontale.

Méthodes à retenir

Un second ordre de $\xi$ nettement supérieur à 1 a deux pôles réels très séparés ; on garde le plus lent, avec le gain statique, et l'on chiffre l'écart sur la grandeur que vise l'exigence (méthodes 11 et 12).

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 23 pièges corrigés, la carte mentale, 33 exercices corrigés, 6 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi simplifier
2. Caractéristique statique et point de fonctionnement
3. Linéariser une caractéristique
4. Linéariser une équation
5. Domaine de validité d'une linéarisation
6. Les non-linéarités
7. Effets d'une non-linéarité sur une réponse
8. Pôles dominants et réduction de l'ordre
9. Valider et enrichir un modèle
10. Le calcul par Python
11. Contrôler et répondre sur le document réponse
12. Histoire de la notion
13. Expériences sans achat
14. Ce qui vient ensuite
En TSI

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Trouver un point de fonctionnement
Linéariser une caractéristique statique et donner le gain local
Choisir entre tangente et droite de régression, et chiffrer l'erreur
Linéariser une équation différentielle non linéaire
Linéariser une fonction de plusieurs variables et tracer le schéma-blocs en variations
Chiffrer l'erreur de linéarisation et donner le domaine de validité
Reconnaître une non-linéarité et nommer sa cause physique
Placer un bloc de saturation et prévoir son effet sur la réponse indicielle
Expliquer l'erreur due à un seuil ou à un jeu, et la chiffrer
Repérer une grandeur simulée impossible et conclure sur la validité du modèle
Placer les pôles et repérer les pôles dominants
Réduire l'ordre d'une fonction de transfert
Juger une compensation pôle-zéro
Réduire un modèle dans une bande de pulsations
Valider un modèle par comparaison à une mesure
Enrichir ou recaler un modèle
Simuler une non-linéarité en Python et comparer au modèle linéarisé
Répondre sur un document réponse
Exploiter une simulation fournie pour dire les limites d'un modèle linéaire

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (13)

Tangente, corde et domaine d'une caractéristique
Une proportionnalité qui cache une linéarisation
Linéariser l'équation d'un miroir orientable autour d'un angle non nul
Quatre caractéristiques, quatre causes
Le chauffage tout ou rien d'une salle d'étude : un relais à deux seuils
Le sismomètre : un jeu au changement de sens
La canne robotisée : où placer la saturation de courant
Huit réponses indicielles : quels pôles dominent
Forme canonique d'abord
Le chariot retourneur : le pôle dominant d'un second ordre apériodique
La téléchographie : une constante de temps négligeable pour deux inerties
La rampe de pulvérisation : une compensation zéro-pôle
Réduire selon la bande de pulsations utile

Entraînement (15)

La barrière autoroutière : linéariser une loi bielle-manivelle et dire son domaine
La lévitation magnétique : linéariser une force autour de l'équilibre
Le pont de levage : deux premiers ordres, puis un seul
Le centre d'usinage : lire une carte de pôles et ne pas oublier le zéro
Le goniomètre : une réduction qu'il faut refuser
Le chariot retourneur : un zéro qu'on ne peut pas négliger
Le robot à géométrie variable : modèle de connaissance contre modèle identifié
Le four de rétraction : un retard pur oublié
La tuyère d'un lanceur : une saturation à 200 V
Un seuil qui laisse une erreur : position en correction proportionnelle
L'erreur de linéarisation en pour cent
Réduire et compenser, sans calculatrice
Le flotteur houlomoteur : linéariser avec deux angles
Un pôle nul n'est pas toujours seul à dominer
Les limites d'un modèle linéaire lues sur une simulation : écarts absolu et relatif, paramètre prépondérant

Approfondissement (5)

La régulation de niveau : produit, racine, saturations décalées et classe qui change
L'avion d'école : modèle non linéaire, modèle linéarisé et modèle simplifié dans une bande
La suspension pneumatique : deux variables, réduction, bande de validité
Le bras du robot de cueillette : lire la forme de l'écart entre loi calculée et mesures
Python : simuler un jeu et une saturation dans une boucle

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

Le véhicule électrique : négliger la constante électrique, puis juger la simplification sur le courant mesuré
CNC 2011, filière MP, Sciences industrielles, questions 25 c, 26 et 28 a à d
Le pont roulant à conteneur : linéariser les équations du balancement
CNC 2005, filière MP, Sciences industrielles, questions 14 et 16
La résidence équipée de panneaux photovoltaïques : la résistance du modèle linéarisé d'un panneau
Centrale-Supélec 2025, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 12 à 18
L'autofocus d'un objectif : frottement sec, bande morte et comparaison du simulé au réel
Centrale-Supélec 2019, filière TSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 16, 20 à 27, 29 et 30
Le robot delta d'une machine de conditionnement : saturation du courant et temps de réponse
Banque PT 2023, épreuve SI A, questions 43 à 45
Le chariot de manutention de moteurs d'avion : un modèle qui demande 186 000 V
CCINP 2023, filière PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur, questions 25, 28 et 29

Questions fréquentes

Comment linéariser autour d'un point de fonctionnement ?

On écrit l'équation d'équilibre, en annulant les dérivées, pour trouver le point $(e_0, s_0)$ . On pose $x = x_0 + \Delta x$ pour chaque grandeur, on développe au premier ordre, $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$ , puis on retranche l'équation d'équilibre et l'on néglige les produits de variations. On passe enfin en Laplace à conditions initiales nulles ; les coefficients obtenus dépendent du point choisi.

Quel est le gain d'un modèle linéarisé ?

C'est le gain local $K_0 = (\mathrm ds/\mathrm de)_0$ , pente de la tangente à la caractéristique au point de fonctionnement, avec son unité : $\Delta s \approx K_0\,\Delta e$ . Ce n'est pas le rapport $s_0/e_0$ , sauf pour une droite qui passe par l'origine. Pour une loi en carré, la pente vaut deux fois le rapport ; pour une loi en racine, la moitié.

Quelles sont les non-linéarités au programme de SI ?

Le programme en nomme quatre : la courbure (loi physique non linéaire), le seuil (souvent dû au frottement sec), la saturation (actionneur limité, butée) et l'hystérésis (jeu d'un engrenage, relais à deux seuils). S'y ajoute le retard pur $\mathrm e^{-Tp}$ , linéaire mais non rationnel, qu'un modèle d'ordre faible ne reproduit pas. L'inertie n'est pas une non-linéarité : elle s'écrit $J\ddot\theta$ , un terme linéaire.

Quel est l'effet d'une saturation sur la réponse indicielle ?

Tant que la commande demandée dépasse la limite, la sortie monte en rampe, à vitesse limitée : le temps de réponse s'allonge et dépend de l'amplitude de la consigne. La zone saturée est au début de la réponse, là où l'écart est le plus grand. Si la saturation cesse avant la fin, la valeur finale est celle du modèle linéaire.

Qu'est-ce qu'un pôle dominant ?

C'est le pôle réel ou la paire de pôles complexes de plus petite partie réelle en valeur absolue, c'est-à-dire le plus proche de l'axe imaginaire : son mode s'éteint le dernier et fixe le temps de réponse. Il se juge sur la partie réelle, pas sur le module. Les pôles nuls, ou intégrateurs, se gardent toujours.

Comment réduire l'ordre d'une fonction de transfert ?

On met d'abord la fonction sous forme canonique, avec des facteurs $1 + \tau p$ , puis on supprime les facteurs des pôles éloignés en gardant le gain statique et les intégrateurs ; une paire complexe se garde ou se néglige entière, jamais un seul de ses deux pôles. Ainsi $\frac{5}{(p + 1)(p + 100)} = \frac{0{,}05}{(1 + p)(1 + 0{,}01\,p)} \approx \frac{0{,}05}{1 + p}$ . L'usage est de négliger un pôle dont la partie réelle est au moins 5 à 10 fois plus grande en valeur absolue ; ce n'est pas une règle du programme, et un sujet qui fixe son critère s'applique.

Comment y accéder

Ce chapitre fait partie de l'accès complet. Les trois premiers chapitres de chaque matière (deux par bloc en économie et droit, en management et gestion) sont offerts avec un compte d'essai gratuit. Créer un compte d'essai ou se connecter. Pour l'accès complet et les tarifs, vois les offres.