Prepa HelpCCINP 2025 MPI Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2025, filière MPI, en 4 heures. Thème : Inégalité de Hadamard, polynômes de Tchebychev et matrices de rang 1.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : inégalité arithmético-géométrique et inégalité de Hadamard. Inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique avec son cas d'égalité, version matricielle pour une matrice symétrique définie positive, puis majoration du déterminant par le produit des coefficients diagonaux.
- Exercice 2 : polynômes de Tchebychev. Suite de polynômes définie par récurrence, relation avec cos(n theta), produit scalaire intégral et base orthonormale de R_k[X].
- Problème, partie I : exemples de matrices de rang 1. Matrices aléatoires construites sur des variables de Bernoulli ou de Poisson : loi du rang et de la trace, probabilité d'obtenir une projection, puis diagonalisation de la matrice dont tous les coefficients valent 1.
- Problème, partie II : résultats généraux. Écriture A = CL, relation A^2 = Tr(A)A, polynômes caractéristique et minimal, diagonalisabilité si et seulement si la trace est non nulle, et similitude de deux matrices de rang 1 de même trace.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.