Structures algébriques MP : groupes, anneaux, exercices

Un groupe est un ensemble muni d'une loi associative, avec un neutre et des inverses ; un anneau ajoute un produit, et un corps rend inversible tout élément non nul. En MP, la plupart des exercices de structures algébriques reviennent à trois gestes : montrer qu'une partie est un sous-groupe ou un idéal, calculer un ordre avec le théorème de Lagrange, et raisonner dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, qui est un corps si et seulement si $n$ est premier.

Ce chapitre est au programme de MP au Maroc, de MP et MPI en France, pas de PSI ni de PC.

Quelle structure reconnaître ?

Comment montrer qu'une partie est un sous-groupe ?

1. Chercher un raccourci. Un noyau ou une image de morphisme, une intersection de sous-groupes, un sous-groupe engendré sont des sous-groupes sans aucun calcul.
2. Vérifier l'inclusion et le neutre. Sinon, écrire $H \subset G$ et $e \in H$.
3. Vérifier la stabilité. Prendre $x, y \in H$ quelconques et montrer que $xy^{-1} \in H$ (en notation additive, $x - y \in H$).
4. Contrôler. Dans un groupe fini, l'ordre de chaque élément de $H$ divise le cardinal de $G$ (Lagrange).

La stabilité par produit seule ne suffit pas : $\{x \in \mathbb{Q}^* \ ;\ x \geq 1\}$ est stable par produit dans $(\mathbb{Q}^*, \times)$, mais l'inverse de $2$ n'y est pas.

Comment calculer l'ordre d'un élément ?

L'ordre de $x$ est le plus petit entier $d \geq 1$ tel que $x^d = e$. Dans un groupe fini de cardinal $n$, le théorème de Lagrange dit que $d$ divise $n$. Tu n'as donc pas à tester toutes les puissances : pour prouver que $x$ est d'ordre $n$, il suffit de vérifier $x^{n/p} \neq e$ pour chaque diviseur premier $p$ de $n$.

La réciproque de Lagrange est fausse : $6$ divise $|S_3|$, et $S_3$ n'a aucun élément d'ordre $6$.

Exercice 1 : un sous-groupe de $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times$

Soit $G = (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times$, de cardinal $12$, et $H = \{x \in G \ ;\ x^4 = \bar 1\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe et le déterminer. Calculer ensuite l'ordre de $\bar 2$, puis celui de $\bar 5$.

Sous-groupe. $G$ est commutatif, donc $(xy)^4 = x^4 y^4$ : l'application $x \mapsto x^4$ est un morphisme de $G$ dans $G$. $H$ est son noyau, c'est un sous-groupe.

Éléments. Modulo $13$, $5^2 = 25 \equiv -1$, donc $5^4 \equiv 1$, et $(-5)^4 \equiv 1$ aussi. Ainsi $\bar 1$, $\bar 5$, $\bar 8 = -\bar 5$ et $\overline{12} = -\bar 1$ sont dans $H$. Comme $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ est un corps, le polynôme $X^4 - 1$ y a au plus quatre racines :

$H = \{\bar 1, \bar 5, \bar 8, \overline{12}\}.$

Contrôle : $H = \langle \bar 5 \rangle$, car $5^2 \equiv 12$, $5^3 \equiv 8$ et $5^4 \equiv 1$ modulo $13$.

Ordre de $\bar 2$. Il divise $12$, dont les diviseurs premiers sont $2$ et $3$. On teste $2^{12/2}$ et $2^{12/3}$ : $2^6 = 64 \equiv -1$ et $2^4 = 16 \equiv 3$. Aucun ne vaut $1$, donc $\bar 2$ est d'ordre $12$ : il engendre $G$, qui est cyclique.

Ordre de $\bar 5$. $5^4 \equiv 1$ et $5^2 \equiv -1 \not\equiv 1$ : l'ordre divise $4$ sans diviser $2$, il vaut $4$.

Contrôle : $2^9 = 512 = 39 \times 13 + 5$, donc $\bar 5 = \bar 2^9$, d'ordre $\frac{12}{12 \wedge 9} = 4$.

Exercice 2 : l'anneau $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$

Soit $A = \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$. Donner ses inversibles et l'inverse de $\bar 7$. $A$ est-il un corps ? Résoudre $x^2 = x$ dans $A$. Déterminer l'idéal engendré par $\bar 6$.

Inversibles. $\bar k$ est inversible si et seulement si $k \wedge 15 = 1$. Cela donne $\bar 1, \bar 2, \bar 4, \bar 7, \bar 8, \overline{11}, \overline{13}, \overline{14}$, soit $\varphi(15) = 2 \times 4 = 8$ éléments. Et $7 \times 13 = 91 = 6 \times 15 + 1$, donc $\bar 7^{-1} = \overline{13}$.

Corps. Non : $\bar 3 \times \bar 5 = \bar 0$ avec deux facteurs non nuls.

Équation. $\bar k^2 = \bar k$ équivaut à $15 \mid k(k - 1)$, c'est-à-dire à ce que $3$ et $5$ divisent $k(k - 1)$. Comme ils sont premiers, $k \equiv 0$ ou $1$ modulo $3$, et $k \equiv 0$ ou $1$ modulo $5$. Le théorème chinois donne une classe modulo $15$ par cas :

$x \in \{\bar 0, \bar 1, \bar 6, \overline{10}\}.$

Contrôle : $36 = 2 \times 15 + 6$ et $100 = 6 \times 15 + 10$. Quatre solutions pour une équation de degré $2$ : c'est possible parce que $A$ n'est pas intègre.

Idéal. $6 \wedge 15 = 3$, et $3 = 3 \times 6 - 15$, donc $\bar 3 \in \bar 6 A$. Inversement, $\bar 6 = 2 \times \bar 3$. Ainsi

$\bar 6 A = \bar 3 A = \{\bar 0, \bar 3, \bar 6, \bar 9, \overline{12}\}.$

Trois points à vérifier sur ta copie

1. La loi est écrite. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ et $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ sont deux groupes différents : précise toujours dans lequel tu calcules un ordre.
2. L'ordre est exact. $x^k = e$ dit seulement que l'ordre divise $k$. Pour l'égalité, teste les diviseurs stricts utiles.
3. Les entiers sont premiers entre eux. Le théorème d'Euler, le théorème chinois et $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ ne s'appliquent pas sans cette hypothèse.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• La réunion de deux sous-groupes. $2$ et $3$ sont dans $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$, pas leur somme $5$.
• Une application mal définie sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Vérifie que le résultat ne dépend pas du représentant choisi.
• Simplifier dans un anneau non intègre. Dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, $\bar 3 \times \bar 5 = \bar 3 \times \bar 0$ et $\bar 5 \neq \bar 0$.
• Le sens de l'inclusion. $a \mid b$ équivaut à $bA \subset aA$ : le multiple engendre le plus petit idéal.

Questions fréquentes

Un idéal est-il un sous-anneau ?

En général non. $2\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ sans contenir $1$, et un idéal qui contient $1$ est l'anneau entier. À l'inverse, $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ sans en être un idéal.

Faut-il savoir démontrer le théorème de Lagrange ?

La démonstration n'est exigible que dans le cas commutatif : on compare le produit de tous les éléments du groupe et celui de leurs images par $x \mapsto ax$, qui est une bijection.

Pour aller plus loin

Au CNC MP, ce chapitre sert surtout par la structure d'algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, vue à la fin du cours : les morphismes d'algèbres de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans la partie 3 de Mathématiques II 2022, et les hyperplans stables par le produit matriciel dans l'épreuve de 2020 : un tel hyperplan contient $I_n$, c'est donc une sous-algèbre.

Le chapitre « Structures algébriques usuelles » de maths spé, pour MP et MPI, va jusqu'aux polynômes irréductibles et aux algèbres, avec 18 méthodes et 36 exercices corrigés ; sa page publique montre un extrait et le plan. Il s'ouvre en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.

Sujets de concours sur ce thème

• CCINP 2024 MP, Mathématiques 2
• CCINP 2023 MP, Mathématiques 2
• CNC 2022 MP, Mathématiques II
• CNC 2020 MP, Mathématiques (épreuve unique)