CNC 2020 MP Mathématiques (épreuve unique) : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques (épreuve unique) du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2020, filière MP. Thème : Intégrale à paramètre, série de fonctions et hyperplans de M_n(C) stables par produit.

À savoir sur cette copie. L'en-tête de cette copie porte « Session 2010 » : c'est pourtant bien le sujet de l'épreuve unique de mathématiques de 2020 (deux exercices et un problème), différent des deux sujets MP de 2010, comme le confirme son corrigé.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : fonction définie par une intégrale. Étude de f(x), intégrale sur R de exp(tx - t^2) : intégrabilité, classe C^infini par dérivation sous l'intégrale, relation différentielle vérifiée par f et expression explicite à l'aide de l'intégrale de Gauss.
• Exercice 2 : série de fonctions. Série des (-1)^(n+1) e^(-nx)/n sur [0, +infini[ : convergence uniforme, continuité, classe C^1 sur ]0, +infini[ et expression de la somme avec des fonctions usuelles.
• Problème, partie 1 : isomorphisme de M_n(C) sur son dual. Formes linéaires M -> Tr(AM), isomorphisme A -> T_A de M_n(C) sur son dual, hyperplans comme noyaux Ker(T_A), égalité Tr(MN) = Tr(NM) et transport de Ker(T_A) par similitude.
• Problème, partie 2 : le cas n = 2. Pour A non nulle de trace nulle dans M_2(C), étude de l'hyperplan Ker(T_A) selon que A est diagonalisable ou non, et de sa stabilité par le produit matriciel.
• Problème, partie 3 : hyperplans stables par produit. Un hyperplan de M_n(C) stable par produit contient I_n ; un argument de dimension donne n = 2, puis on décrit ces hyperplans.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Structures algébriques usuelles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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