CNC 2022 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2022, filière MP. Thème : Morphismes de l'algèbre M_n(C).

À savoir sur cette copie. Copie du sujet officiel dont la question 0.3.2 de l'exercice (page 1), écrite en bleu, a été modifiée par un enseignant, qui le signale en marge ; le paragraphe encadré en bleu juste avant, qui définit les sous-espaces F_k et les projections p_k, accompagne cette modification. Les autres questions sont celles du sujet officiel. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie intacte.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : base orthonormée d'un hyperplan de R^n. Hyperplan H d'équation x_1 + ... + x_n = 0, base (v_1, ..., v_(n-1)) de H, orthogonalisation de cette famille, système linéaire de matrice de Gram et base orthonormée de H.
• Partie 1 : les matrices C_n et D_n. Matrice de permutation circulaire C_n et matrice diagonale D_n des racines n-ièmes de l'unité : relation D_n C_n = w C_n D_n, polynômes caractéristiques, diagonalisabilité et base de M_n(C) formée des C_n^k D_n^l.
• Partie 2 : une question de réduction. Deux endomorphismes f et g avec f^n = g^n = id et fg = w gf : diagonalisabilité, spectre égal aux racines n-ièmes de l'unité, et base où leurs matrices sont D_n et C_n.
• Partie 3 : morphismes de M_n(C). Tout morphisme d'algèbre Phi de M_n(C) s'écrit Phi(M) = PMP^-1 avec P inversible.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Structures algébriques usuelles
• Nombres complexes et trigonométrie

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